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      M矩陣Fan乘積行列式下界估計(jì)

      2017-07-19 06:58:01仲從磊李靈曉
      關(guān)鍵詞:下界行列式乘積

      仲從磊,李靈曉

      (河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023)

      M矩陣Fan乘積行列式下界估計(jì)

      仲從磊,李靈曉

      (河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023)

      針對(duì)M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算問題,結(jié)合M矩陣Hadamard乘積行列式的估計(jì)式,給出了M矩陣Fan乘積行列式下界的幾個(gè)估計(jì)。對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行了比較和推廣,并給出了相應(yīng)的算例。研究結(jié)果表明:采用矩陣的順序主子式替代矩陣元素后行列式多一正項(xiàng),下界變大,結(jié)論更精確,有利于M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算。

      M矩陣;Hadamard乘積;Fan 乘積;行列式;下界

      0 引言

      矩陣的Fan乘積是一種特殊的矩陣乘積,廣泛應(yīng)用于特征函數(shù)以及偏微分方程[1-4]的弱極小原理等方面的研究中。M矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的特殊矩陣類[5],有著廣泛的應(yīng)用。生物、物理和社會(huì)科學(xué)中的諸多問題都與M矩陣有著密不可分的聯(lián)系。因此,M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算和估計(jì)[6]成為特殊矩陣論研究的主要內(nèi)容之一。其中,關(guān)于M矩陣Fan乘積行列式下界的估計(jì)是近幾年的研究熱點(diǎn),并得到了一系列結(jié)論。但這些結(jié)論中的估計(jì)式需要借助于矩陣的所有元素進(jìn)行計(jì)算,所需計(jì)算量較大且所得下界的誤差較大。

      本文結(jié)合M矩陣Hadamard乘積行列式的估計(jì)給出M矩陣Fan乘積的一些估計(jì)式,并對(duì)這些估計(jì)式做了比較。對(duì)于M矩陣Fan乘積的計(jì)算和特征值界的估計(jì)問題[6-7],以及相關(guān)的偏微分方程數(shù)值解等有一定參考價(jià)值。

      1 矩陣Fan 乘積定義

      設(shè)Rm×n為全體m×n實(shí)矩陣的集合,矩陣A=(aij)∈Rm×n,矩陣B=(bij)∈Rm×n,其Hadamard乘積定義為一個(gè)m×n矩陣A°B,其中(A°B)ij=aijbij。A和B的Fan乘積定義為一個(gè)m×n矩陣A*B,其中:

      如果aij≥bij對(duì)所有的i,j成立,則稱A≥B。矩陣A∈Rn×n,如果A=sI-B且s>0,B≥0,s>ρ(B),其中,s為某一實(shí)數(shù),I為n階單位矩陣,ρ(B)為B的譜半徑;稱A為非奇異M矩陣,記Mn為全體n×n非奇異M矩陣的集合。 矩陣A∈Rn×n的比較矩陣定義為一個(gè)n×n矩陣μ(A)=(mij),其中:

      矩陣A∈Rn×n的全體k×k順序主子矩陣記為Ak。

      文獻(xiàn)[6-10]給出了一些關(guān)于兩個(gè)M矩陣Hadamard乘積行列式下界的估計(jì)不等式,經(jīng)典的結(jié)果是:

      定理1[6]若A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn,則

      (1)

      本文將上述結(jié)論推廣到兩個(gè)M矩陣Fan乘積上,并利用文獻(xiàn)[5]的相關(guān)結(jié)論對(duì)其改進(jìn)。

      2 幾個(gè)引理

      引理1[9]如果A∈Mn,那么Ak∈Mk。

      引理2[9]如果A=(aij)∈Mn,那么

      det (Ak)≥0,k=1,…,n。

      (2)

      引理3[10]如果A∈Mn,B∈Mn,那么

      (3)

      證明 根據(jù)引理1,

      因此,

      diag(a11,a22,…,ak-1,k-1)≥Ak-1;

      并且

      從而,

      沖砂系統(tǒng)的開挖與常規(guī)的地下隧洞開挖有區(qū)別的,坡積體段管棚灌漿處理形成了封閉裂隙,加強(qiáng)基巖的完整性,達(dá)到提高巖體強(qiáng)度和剛度的。在開挖過程中明顯出現(xiàn)砂礫石形成整體現(xiàn)象,加上臨時(shí)支護(hù)及時(shí),未出現(xiàn)大量塌方現(xiàn)象,說明該隧洞的坡積體段施工方法可靠。

      (4)

      (5)

      由式(2)、式(4)和式(5),可得:

      引理4[10]若A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn,則

      3 主要結(jié)論

      本部分將給出兩個(gè)M矩陣A和B的det(A*B)界的估計(jì)不等式。

      定理2 設(shè)A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn, 那么

      A*B=μ(A°B)。

      證明 因?yàn)锳∈Mn、B∈Mn,易知aii>0,bii>0且aij≤0,bij≤0(i≠j),從而

      A*B=μ(A°B)。

      根據(jù)定理2和式(1)可得:

      定理4 設(shè)A=(aij)∈Mn、B=(bij)∈Mn,那么

      證明 由引理4可得:

      根據(jù)引理3和定理2,易得:

      det (A*B) =det [μ(A°B)] ≥

      以上結(jié)論通過算例加以驗(yàn)證。

      算例:

      易知A和B都是M矩陣,且

      det(A*B)=1 120;

      顯然

      det (A*B)= det [μ(A°B) ] ≥

      上述算例表明定理4的結(jié)論比定理3的結(jié)論更加精確。

      需要注意的是,矩陣的階數(shù)每提高一階,行列式的順序余子式的個(gè)數(shù)會(huì)增加一個(gè),估計(jì)算法計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)地增加,這個(gè)問題可以借助于計(jì)算機(jī)得到快速解決。對(duì)于偏微分方程數(shù)值解等問題中產(chǎn)生的稀疏矩陣,如果滿足M矩陣的條件,尤其是對(duì)角占優(yōu)矩陣,本文中的估計(jì)不等式也是成立的。文中的推導(dǎo)方法依據(jù)M矩陣Hadamard 乘積行列式的相關(guān)結(jié)論得出,今后也會(huì)有更加精確的估計(jì)式產(chǎn)生,同時(shí)也可以把相關(guān)的結(jié)論推廣到兩個(gè)H矩陣[11]的Fan乘積問題上。

      [1] 王天軍,殷政偉.Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)的一個(gè)注記[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,33(1):71-74.

      [2] 王天軍,賈麗蕊.非線性熱傳導(dǎo)方程的 Lagrange 插值逼近[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,32(2):67-71.

      [3] 王天軍,李清,殷艷紅.非線性熱傳導(dǎo)方程混合問題插值逼近[J].航空計(jì)算技術(shù),2012,42(2):1-3,12.

      [4] 陶冬亞,焦琳,王天軍.非線性Klein-Gordon方程的廣義Hermite譜方法[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,35(6):87-90.

      [5] 黃廷祝,楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

      [6] 周平,李耀堂.非負(fù)矩陣Hadamard積和M矩陣Fan積的特征值界的估計(jì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(6):826-833.

      [7]王峰.非奇異M矩陣的逆矩陣和M矩陣的Hadamard積的最小特征值下界估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,26(2):341-345.

      [8]周平,高美平,李艷艷.M矩陣Hadamard積的新估計(jì)[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,32(1):1-7.

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      [10] YANG Z P,LIU J Z.Some results on Oppenheim’s inequalities forM-matrices[J].SIAM journal on matrix analysis and applications,2000,21(3):904-912.

      [11]LI Y T,ZHONG C L.Some estimations for determinant of the Hadamard product ofH-matrices[J].Journal of computational mathematics,2005,23:401-407.

      國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301152);河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(13B110999)

      仲從磊(1979-),男,山東濟(jì)寧人,助教,碩士,主要研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)與特殊矩陣論.

      2017-01-06

      1672-6871(2017)06-0082-04

      10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.016

      O241.6

      A

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