兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的自同步理論

陳曉哲， 竇景欣， 孔祥希， 聞邦椿

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819; 2. 東北大學 控制工程學院，秦皇島 066004)

兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的自同步理論

陳曉哲1,2， 竇景欣1， 孔祥希1， 聞邦椿1

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819; 2. 東北大學 控制工程學院，秦皇島 066004)

對兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的自同步理論進行了研究。采用拉格朗日方程建立振動系統(tǒng)的運動微分方程。應用小參數(shù)平均法獲得兩激振器的無量綱耦合方程，進而將該類振動系統(tǒng)的同步問題簡化為小參數(shù)無量綱耦合方程零解的存在性與穩(wěn)定性問題。由無量綱耦合方程零解存在的條件得出了兩激振器實現(xiàn)同步運動的同步性條件，并根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)得到了兩激振器同步運動的穩(wěn)定性條件。分析振動系統(tǒng)選擇運動特性可知，在遠共振的情況下當激振器的旋轉(zhuǎn)中心距離質(zhì)心的距離大于機體的當量回轉(zhuǎn)半徑時，振動系統(tǒng)實現(xiàn)相位差為0°的空間圓周運動；反之，振動系統(tǒng)實現(xiàn)相位差為180°的空間圓錐運動。最后通過試驗驗證了理論分析的正確性。

自同步；同步性；穩(wěn)定性；相位差

振動磨機是一種高效、節(jié)能的新型粉磨設備，主要解決冶金、化工、非金屬礦、醫(yī)藥、陶瓷、建筑新材料、水泥、磁性材料等諸多行業(yè)超細粉體加工難題。為滿足日益增長的超細粉加工的需要，振動磨機正在向大型化方向發(fā)展。 對于大型振動磨機，由于筒體長度較大，已經(jīng)不適合用一臺電機驅(qū)動兩個激振器，而設計制造這種多電機驅(qū)動的大型振動磨機，還有很多理論上的問題需要解決。應用自同步理論，采用兩臺電機分別驅(qū)動兩個激振器，使振動磨機的兩個激振器在較大距離下安裝，這樣保證其結(jié)構(gòu)簡單合理，降低了其制造成本，提高其工作效率。

Huygnens于1665年最早發(fā)現(xiàn)機械系統(tǒng)的自同步現(xiàn)象。他發(fā)現(xiàn)并排懸掛在同一木梁上的兩個鐘擺能夠?qū)崿F(xiàn)同步運動。自此之后，學者們在機械系統(tǒng)的自同步理論上做了大量的理論探索與試驗研究，取得了豐富的成果。Blekhman[1]首次實現(xiàn)了機械系統(tǒng)的同步運動，并提出了兩激振器振動機械的自同步理論。聞邦椿等[2]應用平均法求得了兩激振器自同步振動機械的同步性條件和穩(wěn)定性條件。在此基礎上，Zhao等[3-4]將小參數(shù)攝動法引入平均法提出小參數(shù)平均法，將同步問題轉(zhuǎn)化為零值解的存在性和穩(wěn)定性的問題。振動系統(tǒng)的同步過程是電機與電機、電機與振動體之間的機電耦合過程。Dimentberg等[5]采用數(shù)值方法研究了兩機驅(qū)動振動系統(tǒng)的瞬態(tài)同步問題。Palacios等[6]將兩臺直流電機帶動的偏心轉(zhuǎn)子安裝在非線性梁上來研究非線性系統(tǒng)的同步運動問題。與Palacios的懸臂梁模型不同，Balthazar等[7]將兩臺直流電機安裝在門式鋼架上來研究同步運動問題。Danuta等[8]對具有非線性阻尼和剛度的兩臺直流電機帶動偏心轉(zhuǎn)子驅(qū)動振動系統(tǒng)的倍頻和次頻同步進行了研究。

前面所述的大量成果，它們都是以兩個或多個激振器軸線在同一平面上的振動系統(tǒng)為研究對象，但是對于空間兩個激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線的振動系統(tǒng)的同步問題，還沒有得到很好地解決，這已成為該類機械發(fā)展的瓶頸。楊萬東等[9]以同一軸線上兩激振器驅(qū)動的振動磨為研究對象，討論機體的運動軌跡隨相位差的變化規(guī)律。Miklos等[10-12]提出兩激振器的旋轉(zhuǎn)軸重合布置方案用于手持類設備，應用振動系統(tǒng)選擇運動特性來改變振幅。

綜上所述，研究兩激振器同一軸線振動系統(tǒng)的自同步理論具有重要的理論價值和實際意義。

本文以兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線且同向旋轉(zhuǎn)驅(qū)動的振動系統(tǒng)為研究對象，通過拉格朗日方程建立其動力學模型，得到振動系統(tǒng)的運動微分方程及穩(wěn)態(tài)響應，并在此基礎上應用小參數(shù)平均法得到了該類振動系統(tǒng)的同步性條件和同步運動的穩(wěn)定性條件，最后通過試驗來驗證理論分析的正確性。

1 系統(tǒng)動力學模型

如圖1所示，為兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的空間動力學模型，其由振動體m以及兩個激振器m1和m2組成。兩個激振器m1和m2對稱地安裝在振動體m左右兩側(cè)，分別由兩臺電機驅(qū)動并做同向旋轉(zhuǎn)運動。振動體m通過彈簧支撐，同時彈簧對稱地安裝在固定架上。

圖1 兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的動力學模型Fig.1 Dynamic model of the vibration systemdriven by two exciters with same rotational axis

由振動系統(tǒng)的動力學模型可知，oxy為固定坐標系，其原點o為振動系統(tǒng)質(zhì)心平衡點，振動體可產(chǎn)生4個方向的運動，分別為水平方向x的運動，豎直方向y的運動，繞x軸的ψ搖擺運動和繞軸y的θ搖擺運動。另外，兩激振器分別繞電機軸旋轉(zhuǎn)，由φ1和φ2來表示它們的運動。從而，振動系統(tǒng)共需要6個獨立坐標才能確定其在空間的位置，即振動系統(tǒng)有6個自由度。選擇x，y，ψ，θ，φ1和φ2作為廣義坐標，求出振動系統(tǒng)的動能、勢能和能量逸散函數(shù)，代入拉格朗日方程可得到振動系統(tǒng)的運動方程如下

(1)

2 自同步條件及其同步運動穩(wěn)定性條件

2.1 振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應

設兩激振器的平均相位為φ，且激振器1超前激振器2的相位差為2α

φ1=φ+α,φ2=φ-α

(2)

由于振動系統(tǒng)的運動是周期性變化的，即兩電機的外負載是周期性變化的，所以電機轉(zhuǎn)子的角速度也是周期性變化的。取兩激振器穩(wěn)態(tài)時旋轉(zhuǎn)周期的最小公倍數(shù)為T0，則在T0內(nèi)兩激振器的平均角速度一定為常數(shù)，可表示為

(3)

(4)

(5)

i=x,y,ψ,θ。

式中：ωi為系統(tǒng)i方向固有頻率，ξi為系統(tǒng)i方向相對阻尼系數(shù)，π-γi為系統(tǒng)i方向響應的相位滯后角，i=x,y,ψ,θ；rm為偏心轉(zhuǎn)子與機體總質(zhì)量之比，η為兩偏心轉(zhuǎn)子之間質(zhì)量比；lj為系統(tǒng)j方向當量回轉(zhuǎn)半徑，rj為系統(tǒng)偏心轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)中心距離質(zhì)心的距離與系統(tǒng)j方向當量回轉(zhuǎn)半徑之比，j=ψ,θ。

2.2 兩激振器的無量綱耦合方程

(6)

其中，

(7)

同步理論主要研究電機穩(wěn)態(tài)時的自同步過程，由于本文試驗機中的電機為直流電機，所以通常認為直流電機的電樞電壓、勵磁電流、電樞總電阻均為恒值。在此條件下根據(jù)他勵直流電機的等效電路導出其電磁轉(zhuǎn)矩方程，

(8)

式中：U為電源電壓；R為電樞回路總電阻；Ke為電動勢常數(shù)；Km為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

設振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時轉(zhuǎn)子角速度ωm0產(chǎn)生慢變的微小波動量為ε，則轉(zhuǎn)子實際角速度ω=(1+ε)ωm0，將其代入式(8)。電機的電磁轉(zhuǎn)矩在ωm0附近進行泰勒級數(shù)展開并忽略高次項，則：

Te=Te0-ke0ε

(9)

根據(jù)式(9)，得到兩電機在ωm0附近運行時的電磁轉(zhuǎn)矩，

(10)

把式(7)和式(10)代入式(6)，然后將式(6)改寫成矩陣形式，式(6)中的兩個方程相加作為矩陣第一行，兩個方程相減作為矩陣第二行，整理得：

(11)

2.3 兩激振器實現(xiàn)自同步的條件

(12)

其中，

TR1=Te01-fd1ωm0-TuWs0,
TR2=Te02-fd2ωm0-Tuη2Ws0

(13)

將式(12)中兩項相減并整理得

(14)

定義兩激振器的同步力矩和作用在兩電機上的負載力矩的比值為振動系統(tǒng)的同步能力系數(shù)Γ，

(15)

同步能力系數(shù)Γ表示同步力矩克服兩電機電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)同步的能力，當其值大于1時表示振動系統(tǒng)可實現(xiàn)振動同步運動，即一個電機停止電源供電，振動系統(tǒng)仍然可保持同步運動。

2.4 振動系統(tǒng)同步運動的穩(wěn)定性

(16)

其中，C=A′-1B′，

通過C=A′-1B′求出矩陣C，進而通過det(C-λI)=0得到矩陣C的特征方程如下

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(17)

H1=ρ1κ2+ρ2κ1-WsWc,

H2=2κ1κ2+(ρ1+ρ2)Wccos 2α0+(ρ1-ρ2)Wssin 2α0+

H3=(κ1+κ2)Wccos 2α0+(κ1-κ2)Wssin 2α0+2WsWc。

在小阻尼的超遠共振系統(tǒng)中，與Wc相比，表達式c1，c2和c3中的Ws很小甚至可以忽略。因此，忽略Ws后，H0，H1，H2和H3可以化簡為，

(18)

(19)

(20)

(21)

Wccos 2α0>0

(22)

(23)

因為ρ1κ2+ρ2κ1>0，式(23)成立。

綜上所述，式(19)情況滿足Routh-Hurwitz判據(jù)條件，即振動系統(tǒng)同步運動的穩(wěn)定性條件為Wccos 2α0>0。如果Wc>0，則2α∈(-90°,90°)時振動系統(tǒng)的同步運動狀態(tài)是穩(wěn)定的；同理，如果Wc<0，則2α∈(90°,270°)時振動系統(tǒng)的同步運動狀態(tài)是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值討論

根據(jù)第2節(jié)的討論，本節(jié)將進一步給出一些定量的數(shù)值分析，具體參數(shù)見表1。

表1 振動系統(tǒng)仿真參數(shù)

由式(14)可知影響振動系統(tǒng)同步運動的主要參數(shù)包括Ws0和Wc，他們是無量參數(shù)rm，rψ，rθ，η，μx，μy，μψ和μθ的函數(shù)。由于在超遠共振系統(tǒng)里μx，μy,μψ和μθ變化很小，接下來主要研究無量綱參數(shù)rm，rψ和η對同步運動的影響。

因為振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為Wccos 2α>0，而且從無量綱參數(shù)Wc的表達式可以看出其隨rψ的變化，Wc將出現(xiàn)一個零值點，所以Wc變化決定相位差2α的變化，這就是振動系統(tǒng)的選擇運動耦合動力學特性。

圖2表示η取不同值時相位差2α的比較。由圖可知每種情況下相位差2α均在rψ=1附近發(fā)生值的轉(zhuǎn)變。當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)完全對稱時，即兩激振器質(zhì)徑積相等時，隨著rψ的增加，2α完成由180°到0°的轉(zhuǎn)變。通過對比可知當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)完全對稱時，2α越能更好的趨近180°和0°?？梢?，Wc值的正負將相位差2α分成二個區(qū)域。

圖3表示η取不同值時同步力矩Tc的比較。由于同步力矩Tc是Wc和轉(zhuǎn)子動能Tu的函數(shù)，如圖所示每種情況下同步力矩Tc均有一個零值，而且該值均在rψ=1附近。在相位差2α趨于0°區(qū)域，隨著rψ的增加同步力矩Tc逐漸變大。通過對比可知當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)完全對稱時，同步力矩Tc的值最大，更容易實現(xiàn)兩激振器間的同步運動。

圖4表示η取不同值時同步能力系數(shù)Γ的比較。由于同步能力系數(shù)Γ是Wc，Ws0和Ws的函數(shù)，而Wc，Ws0和Ws又是rm的函數(shù)，所以rm并不影響同步能力系數(shù)Γ。同上，由圖可知每種情況下同步能力系數(shù)Γ均有一個零值，而且該值均在rψ=1附近。隨著rψ的值接近1，同步能力系數(shù)逐漸變小。通過對比可知當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對稱性越好，同步能力系數(shù)的值就越大。

圖2 相位差角與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關系Fig.2 Relation between the phase difference and the structural parameters

圖3 同步力矩與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關系Fig.3 Relation between the synchronization torque and the structural parameters

圖4 同步能力系數(shù)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關系Fig.4 Relation between the coefficient of synchronization ability and the structural parameters

圖5 同步運動穩(wěn)定性參數(shù)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關系Fig.5 Relation between the parameters of synchronization operation stability and the structural parameters

4 試驗分析

在本節(jié)中，將通過兩組試驗用以對上述理論和數(shù)值結(jié)果，進而驗證所用方法的合理性。振動試驗臺結(jié)構(gòu)如圖6所示，兩臺振動直流電機對稱地安裝在振動體上，振動體通過彈簧連接固定在支架上。圖中數(shù)字1為電機，2為激振器，3和4為加速度傳感器，5為彈簧組。信號采集使用丹麥B&K公司3650D采集前端，數(shù)據(jù)后處理應用pluse reflex軟件。試驗臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖6 雙機同向回轉(zhuǎn)振動球磨機的動力學模型Fig.6 Dynamic model of the vibration mill driven by two exciters in the same direction

4.1 兩激振器安裝距離較近情況下試驗結(jié)果

當兩電機工作電壓設定為7 V時，兩激振器間距離為，2l0=7 cm。振動機實測數(shù)據(jù)，如圖7所示。

圖7(a)為兩電機轉(zhuǎn)速。在開始幾秒后，兩電機實現(xiàn)同步運動，在15 s附近，將電機2的電源切斷，然后1 s后接通，兩電機再次實現(xiàn)同步運動。圖7(b)為兩激振器間的相位差，當兩電機實現(xiàn)同步運動后，相位差接近180°。當遇到斷電干擾后，相位差發(fā)生振蕩；當電機2接通電源后，相位差再一次穩(wěn)定在180°附近。圖7(c)和7(d)為質(zhì)心處x和y兩方向的振幅。同樣7(e)和7(f)為振動系統(tǒng)最遠端位置處(圖6中數(shù)字4所指位置)x和y兩方向的振幅。對比兩位置點的振幅可知，當兩激振器間的相位差處于180°附近，振動體實現(xiàn)空間繞z軸的圓錐運動，而且當出現(xiàn)干擾時，機體呈現(xiàn)不規(guī)則運動。

圖7 兩激振器安裝距離較近的情況下試驗結(jié)果，2l0=7 cmFig.7 Experiment results of the smaller distance between the two exciters，2l0=7 cm

4.2 兩激振器安裝距離較遠情況下試驗結(jié)果

如圖8所示，兩激振器間距離為，2l0=17 cm。試驗方案同圖7。兩電機實現(xiàn)同步運動后，相位差接近0°， 對比兩位置點的振幅可知，當相位差處于0°附近時，振動體實現(xiàn)空間繞z軸的圓周運動。

以上兩組試驗很好地驗證了理論分析和數(shù)值結(jié)果的正確性，即Wc>0，振動系統(tǒng)選擇相位差趨于0°的空間圓周運動；同理，如果Wc<0，振動系統(tǒng)選擇相位差趨于180°的空間圓錐運動。

圖8 兩激振器安裝距離較遠的情況下試驗結(jié)果，2l0=17 cmFig.8 Experiment results of the longer distance between the two exciters，2l0=17 cm

5 結(jié) 論

(1)采用拉格朗日方法建立兩激振器同一旋轉(zhuǎn)軸線振動系統(tǒng)的動力學模型。應用小參數(shù)平均法獲得兩激振器的無量綱耦合方程，進而將該類振動系統(tǒng)的同步問題簡化為小參數(shù)平均微分方程零值解的存在與穩(wěn)定性的問題。

(2)根據(jù)耦合方程零解存在的條件得出了振動系統(tǒng)實現(xiàn)自同步的同步性條件，即振動系統(tǒng)的同步力矩大于或者等于兩電機剩余電磁轉(zhuǎn)矩差的絕對值。應用Routh-Hurwitz判據(jù)得到了振動系統(tǒng)同步運動的穩(wěn)定性條件，即Wccos 2α0>0，Wc值的正負決定兩激振器同步運動時相位差的穩(wěn)定域。

(4)通過對試驗機的試驗，驗證了理論分析的正確性。即在遠共振工作狀態(tài)下，當激振器的旋轉(zhuǎn)中心距離振動系統(tǒng)質(zhì)心的距離大于機體的當量回轉(zhuǎn)半徑時，振動系統(tǒng)實現(xiàn)相位差為0°的空間圓周運動；反之，振動系統(tǒng)實現(xiàn)相位差為180°的空間圓錐運動。

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Self-synchronization theory about two exciterson the same rotational axis in a vibration system

CHEN Xiaozhe1,2, DOU Jingxin1, KONG Xiangxi1, WEN Bangchun1

(1. School of Mechanical Engineering and Automation， Northeastern University， Shenyang 110819, China;2. School of Control Engineering, Northeastern University, Qinhuangdao 066004, China)

The self-synchronization theory about two exciters with the same rotational axis in a vibration system was studied. The motion equation of the vibration system was derived by applying the Lagrange equation. By introducing the average method of small parameters, a dimensionless coupling equation for the two exciters was deduced, which converts the synchronous problem of this type vibration system into the existence and stability of zero solutions of the dimensionless coupling equation. The synchronization condition of the two exciters carrying out synchronization motion was obtained from the existence of zero solutions, and the stability condition was acquired according to the principle of Routh-Hurwitz. By analyzing the selection motion characteristics of the vibration system, it is concluded that when the distance between the rotating center of the exciters and the mass center of the vibration system is greater than the equivalent radius of the vibration system, the vibration system can carry out a spatial circle motion with 0 degree phase difference, otherwise it can carry out a spatial cone motion with 180 degree phase difference. The correctness of the theoretical analysis was verified by experiment.

self-synchronization; synchronization condition; synchronization stability; phase difference

國家自然科學基金(51375080)

2015-12-17 修改稿收到日期： 2016-06-06

陳曉哲 男，博士，講師，1986年生

聞邦椿 男，教授，博士生導師，中科院院士，1930年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.003