雙指標(biāo)非交換鞅的一些不等式

尹 磾,馬聰變

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢 430072)

雙指標(biāo)非交換鞅的一些不等式

尹 磾,馬聰變

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢 430072)

本文研究了雙指標(biāo)非交換鞅的一些不等式問題.利用單指標(biāo)非交換鞅不等式的方法,獲得了雙指標(biāo)非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關(guān)系(2≤p＜∞).推廣了雙指標(biāo)非交換鞅的‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關(guān)系(2≤p≤4).

von Neumann代數(shù);雙指標(biāo)鞅;Burkholder不等式;鞅Hardy空間

1 引言

非交換鞅空間理論是非交換數(shù)學(xué)中分析理論的有機組成部分,是當(dāng)前泛函分析領(lǐng)域的前沿研究方向.從20世紀(jì)70年代,人們開始研究非交換鞅.為了研究非交換鞅空間,需要引進新的思想和方法.1971年Cuculescu[1]研究了非交換鞅的弱(1,1)型不等式并提出了著名Cuculescu構(gòu)造以取代停時的方法.1997年P(guān)isier和Xu[2]取得重大突破,他通過引進列均方函數(shù)與行均方函數(shù)對p＜2與p≥2分別定義了恰當(dāng)?shù)姆墙粨Q鞅的Hardy空間Hp(M),并由此證明Burkholder-Gundy鞅不等式的非交換類比.隨后經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家的努力,非交換鞅取得重要進展.到目前為止,絕大多數(shù)經(jīng)典鞅的不等式都成功過渡到了非交換情形,例如條件均方函數(shù)的Burkholder不等式[3],Doob極大不等式[4],Stein不等式[2]等.

雙指標(biāo)鞅是單指標(biāo)鞅的自然推廣.在交換的情形,Weisz對雙指標(biāo)鞅做了許多工作(見文[5]).Weisz的工作表明,從單指標(biāo)到雙指標(biāo)絕不是簡單的推廣,實際上很多在單指標(biāo)鞅研究中常用的方法不能夠適用于雙指標(biāo)鞅的情形.因此常常需要一些新的技巧和方法.

關(guān)于雙指標(biāo)非交換鞅的研究目前尚屬起步階段.本文研究雙指標(biāo)非交換鞅,證明了雙指標(biāo)非交換鞅的一些不等式.包括雙指標(biāo)非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關(guān)系,雙指標(biāo)非交換序列的Stein不等式以及‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關(guān)系.

2 定義與記號

首先回顧一下關(guān)于非交換Lp-空間的一些基本定義與記號.設(shè)(M,τ)是一個非交換概率空間,這里M是Hilbert空間H上的von Neumann代數(shù),τ為M上的正規(guī)忠實的跡,滿足τ(1)=1.記L0(M)為關(guān)于(M,τ)的可測算子全體組成的拓撲?-代數(shù).設(shè)1≤p＜∞,令

則(Lp(M),‖·‖p)是Banach空間,稱之為關(guān)于(M,τ)的非交換Lp-空間.當(dāng)p=∞時,規(guī)定L∞(M)=M,且L∞(M)上的范數(shù)‖·‖∞為算子范數(shù).設(shè)(Mn)n≥0是M的一列單調(diào)增加的子von Neumann代數(shù),用En表示M到Mn的條件期望算子.Lp(M)中的序列x=(xn)n≥0稱為是關(guān)于(Mn)n≥0的鞅,若對任意的m≥n,有En(xm)=xn.關(guān)于非交換Lp-空間與非交換鞅的更詳細的介紹可參見文獻[6].

設(shè)N是非負整數(shù)的集合,N2={ (n1,n2)：n1,n2∈N}.在N2上定義半序如下：對任意的n=(n1,n2),m=(m1,m2)∈N2,定義n≤m當(dāng)且僅當(dāng)n1≤m1,n2≤m2以及n＜m若n≤m且n/m.設(shè)(Mn;n∈N2)是M的一列關(guān)于N2偏序單調(diào)增加的子von Neumann代數(shù),并且在M中w?-稠密.對任意的n=(n1,n2)∈N2,用En或者En1,n2表示M到Mn的條件期望算子.一般地,對于M的任意一列子von Neumann代數(shù)(Nn;n≥0),令表示包含的最小的von Neumann代數(shù).對每個(n1,n2)∈N2,定義

以后總是設(shè)(Mn;n∈N2)滿足(F4)條件：對任意的x∈M和任意的n=(n1,n2)∈N2,有

為了方便起見,規(guī)定對任意的x∈L1(M),當(dāng)n1=0或者n2=0時,En1,n2(x)=0.

定義2.1設(shè)x=(xn,n∈N2)是L1(M)中的序列.稱x為關(guān)于(Mn)n∈N2的鞅,如果滿足

若進一步對每個n∈N2,有xn∈Lp(M)(1≤p≤∞),則稱x為關(guān)于(Mn)n∈N2的Lp-鞅.此時,令

若‖x‖p＜∞,則稱x為Lp-有界鞅.

設(shè)x=(xn,n∈N2)是關(guān)于(Mn)n∈N2的鞅,n=(n1,n2).令

約定當(dāng)n1=0或者n2=0時,dxn=0,稱dx=(dxn)為x的鞅差序列.容易證明當(dāng)(Mn)n∈N2滿足(F4)條件時,若(dxn,n∈N2)是鞅差序列,則En(dxm)=0(?nm).

為了定義關(guān)于雙指標(biāo)非交換鞅的Hardy空間,先回顧一下非交換列空間與行空間的定義(詳見文[6]).

設(shè)1≤p＜∞,x=(xn)是Lp(M)中的有限序列.令

則‖·‖Lp(M,lc2)和‖·‖Lp(M,lr2)在Lp(M)的有限序列上定義了范數(shù).相應(yīng)的完備化空間分別記為.注意到對于Lp(M)中的一個序列(xn),如果在Lp(M)中有界,則極限存在.用表示這個極限,則

當(dāng)1≤p＜∞時,CRp[Lp(M)]空間定義如下.

(i)當(dāng)p≥2時,定義,賦予范數(shù)

(ii)當(dāng)1≤p＜2時,定義,賦予范數(shù)

下面定義雙指標(biāo)非交換鞅的Hardy空間Hp(M).設(shè)x=(xn,n∈N2)是一個鞅,令

如果(Sc,(n,n)(x))n≥1和(Sr,(n,n)(x))n≥1在Lp(M)中有界,令

稱Sc(x)和Sr(x)分別為鞅x=(xn,n∈N2)的列均方函數(shù)與行均方函數(shù).

定義2.2(i)設(shè)1≤p＜∞.定義雙指標(biāo)非交換鞅的列Hardy空間,

類似地,定義雙指標(biāo)非交換鞅的行Hardy空間.

(ii)定義非交換鞅Hardy空間如下.

當(dāng)1≤p≤2時,定義,賦予范數(shù)

當(dāng)2≤p＜∞時,定義,賦予范數(shù)

注對一個雙指標(biāo)鞅x=(xn,n∈N2)的鞅差序列dx=(dxn)n∈N2,把它重新編號變成一個單指標(biāo)的序列,則可以把它視為一個單指標(biāo)序列dx=(xn)(但是要注意的是xn)一般不是單指標(biāo)的鞅差序列).因此,無論x=(xn)是單指標(biāo)鞅還是雙指標(biāo)鞅都有

下面定義雙指標(biāo)非交換鞅Hardy空間hp(M).由于這里需要考慮雙指標(biāo)有限鞅,為此先給出雙指標(biāo)有限鞅的知識.設(shè)x=(xn,n∈N2)是一個鞅,k∈N,稱形如x(k)=(xn1∧k,n2∧k,(n1,n2)∈N2)為停止于k的有限鞅.

設(shè)1≤p＜∞,對Lp(M)中的有限鞅x=(xn),定義

則‖x‖hcp(M)=‖sc(x)‖p,‖x‖hrp(M)=‖sr(x)‖p.還需要考慮lp(Lp(M)),定義

定義2.3(i)設(shè)1≤p＜2.定義,賦予范數(shù)

(ii)設(shè)2≤p＜∞.定義,賦予范數(shù)

3 主要結(jié)果

在這一部分研究雙指標(biāo)非交換鞅Hardy空間的一些不等式,包括雙指標(biāo)非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關(guān)系,雙指標(biāo)非交換序列的Stein不等式以及‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關(guān)系.這些結(jié)果是關(guān)于單指標(biāo)鞅相應(yīng)的結(jié)果在雙指標(biāo)鞅相應(yīng)的推廣(見文[3]).

下面的定理3.1是這一節(jié)的主要結(jié)果.

定理3.1設(shè)x=(xn)n∈N2是Lp(M)中的鞅.則

(i) 當(dāng) 1≤p≤2 時,有‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M);

(ii)當(dāng)2≤p＜ ∞時,有‖x‖hp(M)≤p‖x‖Hp(M),其中Cp和p是只依賴于p的常數(shù).

為證明上述定理,需要用到下面的一系列引理.

引理3.2[3,4]設(shè)(Mn)n≥1是M的一列單調(diào)遞增的子von Neumann代數(shù),En表示M到Mn的條件期望算子.則對任意的有限序列,有

這里Cp是只依賴于p的正常數(shù).

下面把引理3.2推廣到雙指標(biāo)的情形.

引理3.3設(shè)(Mn)n∈N2是M的一列關(guān)于N2偏序單調(diào)遞增的子von Neumann代數(shù),En表示M到Mn的條件期望算子,則對任意的有限雙指標(biāo)序列,有

這里Cp與引理3.2中的Cp一致.

證 (i)利用(F4)條件和引理3.2,有

(ii)證明方法與(i)的證明是類似的.證畢.

推論3.4(雙指標(biāo)序列的Stein不等式)設(shè)2≤p＜∞,則對Lp(M)中任意的有限雙指標(biāo)序列(an),有

這里Cp與引理3.3中的Cp一致.

證利用引理3.3和不等式E(x)?E(x)≤E(|x|2),得到

定理證畢.

引理3.5設(shè)1≤p＜∞.則對任意的有限雙指標(biāo)序列(xn)?Lp(M),有

(i)當(dāng)2≤p＜∞時,

(ii)當(dāng)1≤p≤2時,

證(i)將(xn)n∈N2進行重新編號為一個單指標(biāo)的序列,再利用非交換單指標(biāo)的結(jié)論(見文[7]),就得到所要證明的不等式.

(ii)證明方法與(i)的證明是類似的.引理證畢.

定理3.1的證明(i)先考慮有限鞅的情形.設(shè)x=(xn)為hp(M)中停止于k的有限鞅.設(shè)x=y+z+w是x的一個分解,其中y,z分別為中的有限鞅,,滿足dwk=0,?k(n,n).由于,由引理3.3(i),有

利用引理3.5(ii),得到

對x的所有分解取下確界,得到‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M).

一般情形,設(shè)x=(xn)n∈N2∈hp(M).對任意的k∈N,令x(k)=(xn1∧k,n2∧k)n∈N2.由上面證明得到‖x(k)‖Hp(M)≤Cp‖x(k)‖hp(M).再令k→∞得到‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M).

(ii)與(i)的證明類似,也先考慮有限鞅的情形.設(shè)x=(xn)為Hp(M)中停止于k的有限鞅.由引理3.3(ii)得到

一般情形,先考慮有限鞅,再取極限即得到所要的結(jié)論.定理證畢.

下面轉(zhuǎn)到雙指標(biāo)非交換鞅的Burkholder不等式.要用到下面的雙指標(biāo)非交換鞅的Burkholder-Gundy不等式.

引理3.6[7]設(shè)1＜p＜∞.x=(xn,n∈N2)是Lp(M)中的鞅,則x是Lp-有界鞅當(dāng)且僅當(dāng)x∈Hp(M).更確切地說,有這里的αp,βp是只與p有關(guān)的正常數(shù).

定理3.7設(shè)2≤p≤4,x=(xn,n∈N2)是Lp(M)中的鞅,則x是Lp-有界鞅當(dāng)且僅當(dāng)x∈hp(M).更確切地說,有

這里的αp,βp為引理3.6中的常數(shù),為定理3.1(ii)中的常數(shù).

證首先證明第一個不等式.事實上,由定理3.1(ii)和引理3.6可知

接下來證明第二個不等式.由引理3.6知‖x‖p≤βp‖x‖Hp(M).下面只需再證明

不妨設(shè)‖x‖hp(M)≤1.有

令|dxn|2=En-1|dxn|2+dyn(n∈N2),這里dyn=|dxn|2-En-1|dxn|2.注意到,有

這里y是一個鞅.注意到,利用引理3.5(ii)和引理3.6,得到

定理證畢.

由定理3.7和定理3.1(ii)得到如下推論.

推論3.8設(shè)2≤p≤4,對任意的Lp-有限鞅x=(xn,n∈N2),有

證第二個不等式直接由定理3.1得到.對于第一個不等式,由引理3.6和定理3.7得到.證畢.

[1]Cuculescu I.Martingales on von Neumann algebras[J].J.Multi.Anal.,1971,1：17-27.

[2]Pisier G,Xu Quanhua.Non-commutative martingale inequalities[J].Comm.Math.Phys.,1997,189：667-698.

[3]Junge M,Xu Q.Noncommutative Burkholder/Rosenthal inequalities[J].Ann.Prob.,2003,31：948-995.

[4]Junge M.Doob’s inequalities for non-commutative martingales[J].J.Reine Angew.Math.,2002,549：149-190.

[5]Weisz F.Martingale Hardy spaces and their application in Fourier analysis[M].Berlin：Springer-Verlag.1994.

[6]Pisier G,Xu Quanhua.Non-commutativeLp-spaces[M].Vol.II,Holland：Elsevier,2003.

[7]曹芳.雙指標(biāo)非交換鞅的收斂性和不等式[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(6)：1511-1520.

INEQUALITIES OF TWO-PARAMETER NONCOMMUTATIVE MARTINGALES

YIN Di,MA Cong-bian
(School of Mathematics and Statistics,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In this paper,we discuss the inequalities of two-parameter noncommutative martingales.By using the inequalities of one-parameter noncommutative martingales methods,we obtain the relation between‖ ·‖Hp(M)and‖ ·‖hp(M)of two-parameter noncommutative martingales(2≤p＜∞),which generalize the equivalence relation between‖·‖Lp(M)and‖·‖hp(M)of two-parameter noncommutative martingales(2≤p≤4).

von Neumann algebra;two-parameter martingales;Burkholder inequalities;martingale Hardy spaces

on：46L52;46L53;60G42

O177.5

A

0255-7797(2017)04-0851-08

2015-07-10接收日期：2015-09-14

國家自然科學(xué)基金資助(11271293;11471251).

尹磾(1991-),男,湖南益陽,碩士,主要研究方向：Hp鞅論.