試驗設(shè)計類型之可以考察部分交互作用的多因素設(shè)計：正交設(shè)計與均勻設(shè)計

張效嘉，胡良平,2*

(1.軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)咨詢中心，北京 100850； 2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029

試驗設(shè)計類型之可以考察部分交互作用的多因素設(shè)計：正交設(shè)計與均勻設(shè)計

張效嘉1，胡良平1,2*

(1.軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)咨詢中心，北京 100850； 2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029

本文旨在介紹兩種多因素試驗設(shè)計方法，即正交設(shè)計與均勻設(shè)計。由于析因設(shè)計中的試驗點數(shù)目過多，在既要較少試驗點數(shù)目，又要能比較準(zhǔn)確地揭示多因素對評價指標(biāo)影響規(guī)律的要求之下，宜選擇正交設(shè)計或均勻設(shè)計。正交設(shè)計具有“試驗點均勻分散、整齊可比且可以事先安排少數(shù)交互作用項”的特點，因此，結(jié)果的可信度較高，只需采用方差分析處理定量資料；均勻設(shè)計具有“試驗點極其均勻分散、正交性在一定程度上受到破壞，不能事先安排交互作用項”的特點，因此，允許很少數(shù)目的試驗點，但需采用多重回歸分析處理資料且分析結(jié)果不唯一。

析因設(shè)計；分式析因設(shè)計；正交設(shè)計；均勻設(shè)計；試驗點

1 概 述

在此文之前所介紹的各種試驗設(shè)計類型一般都

以“縱”與“橫”兩個方向來呈現(xiàn)因素及其水平，例如，下面的表1就呈現(xiàn)了一個三因素析因設(shè)計的“架構(gòu)”。

表1 三個試驗因素作用下OD值的測定結(jié)果

在表1中，A、B兩個因素被放置在表的左側(cè)表頭，其具體水平被放置在表身左側(cè)并位于六個橫行上；而C因素及其水平都被放置在表頭短橫線下方。于是根據(jù)“縱、橫”交叉處的數(shù)據(jù)，就知道它們產(chǎn)生于什么樣的“試驗條件”。例如，開始的兩個數(shù)據(jù)“0.39、0.41”，它們位于第1行與“第1列和第2列”交叉處。表明這兩個試驗數(shù)據(jù)所對應(yīng)的試驗條件為“A1、B1、C1”，即三個試驗因素都分別取各自的一水平，兩個數(shù)據(jù)是同一個試驗條件下的兩次獨立重復(fù)試驗結(jié)果。同理可知，最后兩個數(shù)據(jù)“0.35、0.37”所對應(yīng)的試驗條件為“A2、B3、C4”，即A、B、C三個試驗因素分別取“二水平”“三水平”與“四水平”條件下的兩次獨立重復(fù)試驗結(jié)果。

現(xiàn)在考慮這樣的問題：若某試驗要涉及10個因素，還采取表1的方式來呈現(xiàn)因素及其水平組合，如何制表呢？

對上面的問題，人們感到十分棘手，仍采用“縱、橫”交叉的手法很難操作。于是干脆“化繁為簡”，將所有因素都放置在表頭上，表身處放置各因素的水平，每一橫行上放置全部因素的一個特定水平組合(即一個特定的試驗條件或試驗點)?；谶@種想法，改寫表1，見表2。

表2 表1變形的結(jié)果

顯然，用表2的方式呈現(xiàn)因素及其水平組合是很方便的，而且，可以允許任何數(shù)目的因素，因素的水平數(shù)也不受任何限制。

現(xiàn)在再來考慮這樣的問題：當(dāng)試驗中涉及的試驗因素數(shù)目很多時，其水平組合數(shù)就非常之多，如何既能以較少種類的組合數(shù)安排試驗，又不至于導(dǎo)致“多因素非平衡組合試驗”[1]這種不科學(xué)安排的出現(xiàn)？

對上述問題的回答是：可以采取分式析因設(shè)計、正交設(shè)計、均勻設(shè)計、組合設(shè)計和最優(yōu)設(shè)計等[2-7]。

2 正交設(shè)計簡介

2.1 概念簡介

在表2的前三列和第六、七、八列中，共有24種水平組合(即24行)。這三列之間有什么規(guī)律呢？同一因素不同水平出現(xiàn)的次數(shù)相等；任何兩因素之間不同“有序數(shù)對”出現(xiàn)的次數(shù)相同。如果我們讓A、B、C三個因素都取3個水平，將其全部27種水平組合都按表2的方式呈現(xiàn)出來，此時，三個因素對應(yīng)的三列就滿足如下的兩個規(guī)律：①任何一列中不同水平出現(xiàn)的次數(shù)相同；②任何兩列不同“有序數(shù)對”出現(xiàn)的次數(shù)相同。

在數(shù)學(xué)上，稱滿足以上兩條規(guī)律的數(shù)據(jù)陣列具有“正交性”，其幾何解釋就是三個向量在空間互相垂直。所謂正交設(shè)計，就是找出一系列相互正交的向量組成一個“設(shè)計矩陣”，其每一行就是全部因素水平的一種特定組合。每種組合相當(dāng)于科研人員所說的“一個試驗組”，通常，各組必須做m次獨立重復(fù)試驗。

需要弄清一個問題：同水平的K因素析因設(shè)計，在本質(zhì)上，就是K因素正交設(shè)計。那么，正交設(shè)計是否就是“多余的”了？事實上，研究者打算選用正交設(shè)計來安排多因素試驗，一個最主要的原因就是希望少做一些“試驗點”，而不是用析因設(shè)計(包含因素的全部水平組合)的另一種呈現(xiàn)方式。也就是說，正交設(shè)計中的試驗點可以是同水平析因設(shè)計中的全部試驗點，也可以是從中抽出的一部分試驗點(但它們必須滿足正交性要求)。比相同規(guī)模(指因素的個數(shù)和水平數(shù))的析因設(shè)計少了部分試驗點的正交設(shè)計，既不是“分式析因設(shè)計[4]”和“含區(qū)組因素的析因設(shè)計[1]”，也不是“多因素非平衡組合試驗[1]”，而是基于某種“數(shù)學(xué)根據(jù)”決定的全部因素的部分水平組合。在實際使用時，研究者只需要選擇數(shù)學(xué)家編制好的各種規(guī)格化的正交表[2-3]即可?；谡恍砸筇暨x出來的試驗點具有如下特點：均勻分散、整齊可比。

2.2 實例簡介

【例1】在乙酰苯胺磺化工藝的研究中，有4個因素：反應(yīng)溫度(℃)A、反應(yīng)時間(h)B、磺酸濃度(%)C、操作方法D，各取兩水平，試驗的結(jié)果為產(chǎn)物的“收率(%)”。試驗?zāi)康模合Ｍ甯饕蛩卦谠鯓拥拇钆錀l件下收率最高。已知反應(yīng)溫度與反應(yīng)時間之間的交互作用不可忽視，各試驗條件下不必進(jìn)行重復(fù)試驗，希望總試驗次數(shù)盡可能少一些，請給出合適的試驗設(shè)計方案。4個試驗因素的水平分別如下。

因素名稱(單位)1水平2水平反應(yīng)溫度(℃)5070反應(yīng)時間(h)12磺酸濃度(%)1727操作方法攪拌不攪拌

【具體設(shè)計】若選擇析因設(shè)計，不同的試驗條件數(shù)為24=16種，各試驗條件下至少要做2次獨立重復(fù)試驗，總試驗次數(shù)至少為32次，不符合題意要求。某研究者給出了如下的8種試驗條件，即8個試驗組。

組 別各組的具體條件組合情況第1組：反應(yīng)溫度取50℃、反應(yīng)時間取1h、磺酸濃度取17%、攪拌第2組：反應(yīng)溫度取50℃、反應(yīng)時間取1h、磺酸濃度取27%、不攪拌第3組：反應(yīng)溫度取50℃、反應(yīng)時間取2h、磺酸濃度取17%、不攪拌第4組：反應(yīng)溫度取50℃、反應(yīng)時間取2h、磺酸濃度取27%、攪拌第5組：反應(yīng)溫度取70℃、反應(yīng)時間取1h、磺酸濃度取17%、不攪拌第6組：反應(yīng)溫度取70℃、反應(yīng)時間取1h、磺酸濃度取27%、攪拌第7組：反應(yīng)溫度取70℃、反應(yīng)時間取2h、磺酸濃度取17%、攪拌第8組：反應(yīng)溫度取70℃、反應(yīng)時間取2h、磺酸濃度取27%、不攪拌

【對設(shè)計類型的判定】從表面上看，這個試驗涉及一個因素，它叫做“組別”。但從各組的具體條件來看，它確實涉及四個因素，分別為“反應(yīng)溫度”“反應(yīng)時間”“磺酸濃度”和“攪拌方法”。每個因素都取2個水平，若將這四個因素的水平全面組合，共有16種，現(xiàn)在只做了其中一半組合條件下的試驗，稱為總試驗條件數(shù)的二分之一實施。

事實上，前面的安排對應(yīng)著如下的設(shè)計：

選擇L8(27)正交表，因為該正交表的自由度為7，比所需要的自由度5多2個自由度，即正交表中將有兩個空列，可用于估計試驗誤差。此時，只需要做8種試驗組合(若不做重復(fù)試驗，總試驗次數(shù)也是8)，就可以滿足研究者的要求。

設(shè)因素A為反應(yīng)溫度(℃)、因素B為反應(yīng)時間(h)、因素C為磺酸濃度(%)、因素D為操作方法。選用L8(27)正交表，將A放在第1列、B放在第2列、查找L8(27)正交表的交互作用表，得交互作用A×B應(yīng)落在第3列上，于是，可把C放在第4列，D可以放在5、6、7三列中任何一列上，不妨將D放在第7列上，見表3。

表3 L8(27)正交表

根據(jù)表3并不便于進(jìn)行試驗，最好將該表中第1、2、4、7列抽出來，以使表格簡化，不易看串行，不僅如此，還應(yīng)將該表中的“代碼水平”轉(zhuǎn)化成“試驗因素的真實水平”，這樣，進(jìn)行試驗時才不會出錯。結(jié)果見表4，當(dāng)試驗結(jié)束后將試驗結(jié)果填入此表中最后一列。

表4 用L8(27)正交表安排4個試驗因素

注：基于正交表中各行上的試驗條件做試驗時，一般每行上都至少要做兩次獨立重復(fù)試驗，特別是以生物體(例如某種動物)為受試對象時，評價指標(biāo)的變異度很大，必需做足夠次數(shù)的獨立重復(fù)試驗

3 均勻設(shè)計簡介

3.1 概念簡介

有了以上關(guān)于正交設(shè)計的基本概念后，再來談均勻設(shè)計就很容易了。與正交設(shè)計類似，基于均勻性要求挑選出來的試驗點具有如下特點：試驗點在空間盡可能“均勻分散”，必要時，可能會部分地犧牲掉“正交性”。也就是說，產(chǎn)生于均勻設(shè)計的定量數(shù)據(jù)可能不具有“整齊可比性”了。因此，可以用方差分析處理來自正交設(shè)計一元定量資料，而需要采用多重回歸分析方法處理來自均勻設(shè)計一元定量資料。

在實際使用時，研究者只需選擇數(shù)學(xué)家編制好的各種規(guī)格化的均勻設(shè)計表和與之對應(yīng)的交互作用表即可[1-2]。

3.2 實例簡介

【例2】某研究者用均勻設(shè)計方法完成的分析化學(xué)方面的研究報告，其題目是“高效毛細(xì)管電泳分離的優(yōu)化策略”。該文提出一種新的優(yōu)化策略，綜合分析“A：表面活性劑濃度”“B：緩沖溶液pH值”“C：磷酸鹽緩沖溶液濃度”“D：有機添加劑濃度”及“E：操作電壓”5個定量的試驗因素對高效毛細(xì)管電泳分離的影響，用多種優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)考察分離度和峰分布均勻性。5個試驗因素擬取的水平如下。設(shè)計時無法考慮因素之間的交互作用，還希望試驗次數(shù)盡可能少，試選擇合適的設(shè)計方案安排此試驗。

A(表面活性劑濃度的水平)：1020304050607080B(緩沖溶液pH值的水平)：7．517．757．928．138．368．718．939．06C(磷酸鹽緩沖溶液濃度的水平)：1520253035404550D(有機添加劑濃度的水平)：036912151821E(操作電壓的水平)：15．015．516．016．517．017．518．018．5

【具體設(shè)計】采用U8(85)均勻設(shè)計表安排試驗，見表5。

表5 U8(85)均勻設(shè)計表

用5個試驗因素的具體水平取代表5中的代碼水平，并記錄各次試驗結(jié)果(暫用“X”表示)，見表6。

4 正交設(shè)計與均勻設(shè)計異同點歸納

4.1 相同點

4.1.1 設(shè)計表

在很多場合下，兩種設(shè)計都有很多可供直接選用的規(guī)格化的設(shè)計表(即正交表及其交互作用表；均勻表及其交互作用表)。

4.1.2 試驗點

兩種設(shè)計中所確定的試驗點都是從相應(yīng)規(guī)模的析因設(shè)計所有試驗點中挑選出來的一部分試驗點。

表6 用U8(85)安排5種巴比妥類藥物MEKC分離條件優(yōu)化試驗

注：基于均勻表中各行上的試驗條件做試驗時，一般每行上都至少要做兩次獨立重復(fù)試驗，特別是以生物體(例如某種動物)為受試對象時，評價指標(biāo)的變異度很大，必需做足夠次數(shù)的獨立重復(fù)試驗

4.1.3 設(shè)計方案

兩種設(shè)計的設(shè)計方案都以“列”的形式呈現(xiàn)全部擬考察因素，以“行”的形式呈現(xiàn)各試驗點(即因素的特定水平組合)。

4.1.4 水平數(shù)

在絕大多數(shù)場合下，兩種設(shè)計都更傾向于安排同水平的試驗研究問題(少數(shù)場合下，有混合水平的)。

4.2 不同點

4.2.1 抽取試驗點所依據(jù)的要求不同

正交設(shè)計依據(jù)“正交性”抽取試驗點；而均勻設(shè)計依據(jù)“均勻性”抽取試驗點。

4.2.2 具有的特點不同

正交設(shè)計具有“試驗點均勻分散、整齊可比且可以事先安排部分交互作用項”的特點，另外，可用方差分析處理產(chǎn)生于正交設(shè)計的定量資料；而均勻設(shè)計具有“試驗點極其均勻分散、正交性受到一定程度的破壞且不能事先安排交互作用項”的特點，另外，需要用多重回歸分析處理產(chǎn)生于均勻設(shè)計的定量資料。

4.2.3 同水平不同型號的設(shè)計表之間試驗點數(shù)目變化規(guī)律不同

當(dāng)因素的水平數(shù)確定下來后，不同型號的正交表中的試驗點數(shù)目之間按水平數(shù)相乘的規(guī)律變化，例如，在2水平正交表[L4(23)、L8(27)、L16(215)、L32(231)、L64(263)、L128(2127)]中，每相鄰(指“型號”，下同)兩張正交表所包含的試驗點數(shù)目之間呈2倍的關(guān)系(見前面符號中“L”的下角標(biāo)數(shù)字)。在3水平正交表[L9(34)、L27(313)、L81(340)、L243(3121)]中，每相鄰兩張3水平正交表的試驗點數(shù)目之間呈3倍的關(guān)系(見前面符號中“L”的下角標(biāo)數(shù)字)。同理，在4水平正交表中，每相鄰兩張4水平正交表的試驗點數(shù)目之間呈4倍的關(guān)系。

然而，對均勻設(shè)計表而言，每相鄰兩張3水平均勻表的試驗點數(shù)目之間相差3、每相鄰兩張4水平均勻表的試驗點數(shù)目之間相差4。同水平的均勻表比較多見，2水平的均勻表就是2水平的正交表，其他同水平的均勻表中常用的如下[2]。

三水平的均勻表：U9(32)U9(33)U9(34)U9(35)U9(36)U9(37)U9(38)U12(32)U12(33)U12(34)U12(35)U12(36)U12(37)U12(38)U15(32)U15(33)U15(34)U15(35)U15(36)U15(37)U15(38)U18(32)U18(33)U18(34)U18(35)U18(36)U18(37)U18(38)四水平的均勻表：U8(42)U8(43)U8(44)U8(45)U8(46)U8(47)U8(48)U12(42)U12(43)U12(44)U12(45)U12(46)U12(47)U12(48)U16(42)U16(43)U16(44)U16(45)U16(46)U16(47)U16(48)U24(42)U24(43)U24(44)U24(45)U24(46)U24(47)U24(48)五水平的均勻表：U5(52)U5(53)U5(54)U15(52)U15(53)U15(54)U15(55)U12(56)U12(57)U15(58)U20(52)U20(53)U20(54)U20(55)U20(56)U20(57)U20(58)U25(52)U25(53)U25(54)U25(55)U25(56)U25(57)U25(58)

Un(Pq)符號的含義是：“U”代表均勻(Uniform)之意；“n”代表均勻表的行數(shù)或試驗因素的不同水平組合數(shù)，即不同的試驗點數(shù)；“P”代表試驗因素的水平數(shù)，即各列中不同的水平代碼數(shù)；“q”代表均勻表的列數(shù)，即最多可安排的試驗因素個數(shù)。

[1] 胡良平. 統(tǒng)計學(xué)三型理論在實驗設(shè)計中的應(yīng)用[M]. 北京：人民軍醫(yī)出版社，2006：133-138，152-163.

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[3] 姬振豫. 正交設(shè)計的方法與理論[M]. 香港：世界科技出版社，2001：1-97.

[4] Dean A, Voss D. Design and analysis of experiments[M]. New York: Springer, 1999: 483-546.

[5] 任露泉. 試驗優(yōu)化設(shè)計與分析[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2003：10-399.

[6] 王萬中. 試驗的設(shè)計與分析[M]. 北京：高等教育出版社，2004：114-357.

[7] 茆詩松, 周紀(jì)薌, 陳穎. 試驗設(shè)計[M]. 北京：中國統(tǒng)計出版社，2004：117-366.

(本文編輯：吳俊林)

歡迎訂購《精神疾病案例診療思路》(第三版)

由《四川精神衛(wèi)生》雜志副主編、新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院第二附屬醫(yī)院(河南省精神衛(wèi)生中心)楊世昌教授主編，中南大學(xué)精神衛(wèi)生研究所張亞林教授主審的《精神疾病案例診療思路》(第三版)(ISBN 978-7-117-24357-5/R·24358)由人民衛(wèi)生出版社2017年6月份出版。

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Types of the multifactor experimental designs with partial interactions: orthogonal and uniform design

ZhangXiaojia1,HuLiangping1,2*

(1.ConsultingCenterofBiomedicalStatistics,AcademyofMilitaryMedicalSciences,Beijing100850,China； 2.SpecialtyCommitteeofClinicalScientificResearchStatisticsofWorldFederationofChineseMedicineSocieties,Beijing100029,China*Correspondingauthor:HuLiangping,E-mail:lphu812@sina.com)

The paper aims to introduce two multifactor experimental designs: orthogonal design and uniform design. Excessive experimental points are required in factorial design, that may be its limitations. Orthogonal design and uniform design are frequently applied, because less experimental points are required in these designs. Additionally, they may demonstrate the effects of experimental factors on evaluation index accurately. Orthogonal design is characterized by uniform dispersion and regularly-comparable experimental points. Additionally, it may arrange partial interactions in advance. Consequently, analysis of variance may be applied to analyze data from Orthogonal design and the results are reliable. Experimental points in uniform design are extremely uniformly distributed at the cost of reduce orthogonality. Uniform design may not arrange interactions in advance. Consequently, multiple regression analysis may be utilized to analyze data from uniform design, and the results may be various.

Factorial design; Fractional factorial design; Orthogonal design; Uniform design; Experimental point

R195.1

A

10.11886/j.issn.1007-3256.2017.03.002

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃課題資助(2015AA020102)

2017-06-04)

*通信作者：胡良平，E-mail：lphu812@sina.com)