基于自適應(yīng)遺傳算法彈簧剛度優(yōu)化的可調(diào)頻多維減振平臺設(shè)計(jì)

劉乃軍, 牛軍川

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南 250061)

基于自適應(yīng)遺傳算法彈簧剛度優(yōu)化的可調(diào)頻多維減振平臺設(shè)計(jì)

劉乃軍, 牛軍川

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南 250061)

依據(jù)特定工況下的振動激勵(lì)頻率設(shè)計(jì)得到的多維減振平臺，不能滿足多場所、多工況下減振的要求。通過改變彈簧剛度值調(diào)節(jié)減振平臺的固有頻率可實(shí)現(xiàn)其不同工況下多維減振的目標(biāo)。給出了基于空間對稱3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的多維減振平臺模型；采用閉環(huán)矢量方法建立其運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)理論模型；采用自適應(yīng)遺傳算法對滿足特定要求固有頻率的彈簧剛度值進(jìn)行優(yōu)化，得到了滿足誤差要求的彈簧剛度值，實(shí)現(xiàn)了多維減振平臺的調(diào)頻目標(biāo)。為設(shè)計(jì)工作于變激勵(lì)工況下的多維減振平臺提供了一種新的思路。

減振平臺；調(diào)節(jié)頻率；彈簧剛度；自適應(yīng)遺傳算法

多維振動和沖擊已成為影響諸如車輛、艦艇和航天器等機(jī)械設(shè)備工作性能和壽命的主要因素[1-3]。近年來，眾多學(xué)者將具有結(jié)構(gòu)緊湊、強(qiáng)承載能力、高剛度等優(yōu)點(diǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于多維隔振領(lǐng)域，取得了一定的效果。馬履中等[4]提出了將并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為減振裝置的主體，并在主動副處施加彈簧阻尼使其成為多維減振裝置的全新思想；許子紅等[5]以三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，驗(yàn)證了并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于多維減振的可行性，并列舉了部分適于做多維減振平臺的多自由度機(jī)型；之后以6-SPS[6]、3-PUU[7]、3-PRC[8]、3-RRC[9]等并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為多維減振機(jī)構(gòu)的可行性相繼得到了驗(yàn)證。此外，牛軍川等[10]給出了一種基于變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維減振平臺，可很好的解決維數(shù)可變的多維振動問題。

為此本文將通過改變彈簧剛度實(shí)現(xiàn)減振平臺的調(diào)頻問題轉(zhuǎn)化為已知減振平臺所需固有頻率對其彈簧剛度值進(jìn)行優(yōu)化的問題。通過建立多維減振平臺的運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型，推導(dǎo)得到其固有頻率表達(dá)式。采用交叉概率和變異概率可依據(jù)種群適應(yīng)度大小進(jìn)行自動調(diào)整的自適應(yīng)遺傳算法(AGA)對減振平臺所需固有頻率相對應(yīng)的彈簧剛度值進(jìn)行優(yōu)化，并通過算例對該方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 多維減振平臺簡介

基于對稱3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)得到的多維減振平臺模型，如圖1所示。該平臺由上平臺(動平臺)、下平臺(靜平臺)及連接上、下平臺的三條相同運(yùn)動支鏈組成，每條鏈均由移動副(A1、A2、A3)、轉(zhuǎn)動副(B1、B2， B3)及圓柱副(C1、C2、C3)構(gòu)成。各分支鏈中移動副與轉(zhuǎn)動副布置在下平臺平面，圓柱副布置在上平臺平面，圓柱副軸線與轉(zhuǎn)動副軸線相互平行且均垂直于移動副軸線。在機(jī)構(gòu)移動副A1、A2，A3處安裝彈簧阻尼裝置便構(gòu)成多維減振平臺，其可實(shí)現(xiàn)空間三維移動方向的減振。通過調(diào)節(jié)彈簧剛度值可調(diào)節(jié)該多維減振平臺的固有頻率，實(shí)現(xiàn)調(diào)頻目的，以滿足多維減振平臺多工況下減振的要求。

圖1 多維減振平臺原理圖

2 運(yùn)動學(xué)分析

如圖1所示，在靜平臺中心O處建立坐標(biāo)系O{x，y，z}，在動平臺中心點(diǎn)P處建立固連于動平臺的坐標(biāo)系P{u，v，w}，其中z、w坐標(biāo)軸分別垂直于靜平臺與動平臺，x、u坐標(biāo)軸沿第3支鏈轉(zhuǎn)動副軸線方向，y、v坐標(biāo)軸由右手定則確定。在第i支鏈中，Ei,Fi分別為移動副與圓柱副在其相應(yīng)軸線上滑動的起始點(diǎn)；didi0為移動副的移動位移矢量，其中di0為移動副的軸線方向單位矢量；sisi0為圓柱副的滑動位移矢量，其中si0為圓柱副軸線方向的單位矢量；lli0為豎直桿件矢量，其中l(wèi)i0為桿件所指向方向的單位矢量；動平臺中心點(diǎn)P在坐標(biāo)系O中的位置向量為p；由點(diǎn)O指向Ei的矢量為ai，由點(diǎn)P指向Fi的矢量為bi，由移動副中心點(diǎn)指向轉(zhuǎn)動副中心點(diǎn)的矢量為ci。得閉環(huán)矢量方程為

(1)

設(shè)φi為矢量di0與固坐標(biāo)系x軸方向的夾角，可得

(2)

由式(1)得

(3)

(4)

其中,

Di=p+bi+sisi0-ai-ci

(5)

由式(4)得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)逆解為

(6)

考慮到本文設(shè)計(jì)減振平臺構(gòu)型中豎直桿件均向靜平臺中央內(nèi)側(cè)傾斜，式(6)中應(yīng)取負(fù)號。篇幅所限，運(yùn)動學(xué)正解不再給出。

對式(1)兩邊求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得

(7)

式中,ωi為豎直桿件角速度。

對式(7)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘li0，可得

(8)

進(jìn)而得到

(9)

若矩陣Jd非奇異，則式(9)可寫為

(10)

式中,J為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

(11)

對式(3)兩邊求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，由i=1,2,3可得

(12)

(13)

3 動力學(xué)分析

忽略移動副、豎直桿件的質(zhì)量以及各關(guān)節(jié)摩擦力由虛位移原理可得

(14)

由式(10)、式(12)可得

δd=Jδp,δs=s0δp

(15)

將式(15)代入式(14)得

(16)

因式(16)對任意虛位移δp均成立，可得

(17)

考慮平衡狀態(tài)下微幅運(yùn)動,將各慣性力代入式(17)整理可得

(18)

式中,Mp,Mc,K均為對角矩陣。

(19)

進(jìn)而可得系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(20)

若減振系統(tǒng)在平衡位置自由振動，令Γp=0，可得系統(tǒng)特征值方程為

(21)

(22)

4 自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化

4.1 目標(biāo)函數(shù)

由式(21)、式(22)可得系統(tǒng)的固有頻率fi(i=1,2,3)是關(guān)于彈簧剛度ki(i=1,2,3)的非線性、強(qiáng)耦合動力學(xué)方程。若得到與多維減振平臺所需固有頻率fid相對應(yīng)的彈簧剛度值kid，則該優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

s.t.kmin

(23)

式中,kmin,kmax分別為彈簧剛度的上、下限值。

4.2 算法設(shè)計(jì)

依據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可設(shè)計(jì)關(guān)于該多變量、多目標(biāo)優(yōu)化的自適應(yīng)遺傳算法流程圖如圖2所示。

圖2 彈簧剛度遺傳算法流程圖

(2) 將種群中每個(gè)個(gè)體進(jìn)行二進(jìn)制編碼，得到個(gè)體數(shù)字串。

(3) 采用保守估計(jì)界限[14]構(gòu)造法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)

(24)

式中:βi為加權(quán)因子;αi為保守估計(jì)界限。

(4) 為防止遺傳控制參數(shù)中交叉概率(Pc)和變異概率(Pm)選擇不當(dāng)致使產(chǎn)生計(jì)算效率低、易于早熟收斂等問題，為此在保持群體的多樣性的同時(shí)，保證算法的收斂性，提高算法的優(yōu)化能力，采用自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)Pac,Pam，其表達(dá)式為

(25)

(26)

式中:p1,p2,p3,p4為自適應(yīng)控制參數(shù);Fmax分別為群體中的最大適應(yīng)度值;Favg為每代群體的平均適應(yīng)度值，F(xiàn)′為交叉兩個(gè)個(gè)體中較大適應(yīng)度值。為保證每一代的優(yōu)秀個(gè)體不被破壞，只需采用最優(yōu)保存策略即可[15]。

4.3 算例分析

多位減振平臺的初始參數(shù)：a1=a2=a3=0.50 m，b1=b2=b3=0.25 m，c1=c2=c3=0.10 m，l1=l2=l3=0.20 m，上平臺質(zhì)量mP=5 kg；圓柱副質(zhì)量mc1=mc2=mc3=0.01 kg，多維減振平臺所需固有頻率f1d=20 Hz,f2d=50 Hz，f3d=40 Hz。遺傳控制算法中的初始參數(shù)：群體規(guī)模P=100，仿真代數(shù)T=300，個(gè)體字符串長度L=15，加權(quán)系數(shù)β1=β2=β3=0.33，保守估計(jì)界限α1=α2=α3=100 Hz。分別采用自適應(yīng)遺傳算法及遺傳算法，得仿真優(yōu)化結(jié)果如表1～表2所示，種群適應(yīng)度變化如圖3～圖4所示。

表1 自適應(yīng)遺傳算法仿真優(yōu)化結(jié)果

表2 遺傳算法仿真優(yōu)化結(jié)果

由表1～表2可得，采用自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化所得頻率誤差均小于3%，且與遺傳算法優(yōu)化結(jié)果相比較，其精度更高,優(yōu)化性能更好。由圖3～圖4可得，自適應(yīng)遺傳算法在仿真80代時(shí)就到達(dá)最優(yōu)值,而遺傳算法在仿真210代時(shí)達(dá)到最優(yōu)值，且在種群進(jìn)化過程中自適應(yīng)遺傳算法所得種群適應(yīng)度更高。因此與遺傳算法相比較，自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化速度更快，優(yōu)化效率更高。由此可得，采用自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化后的彈簧剛度值可滿足實(shí)際工程中多維減振平臺所需固有頻率的要求,從而實(shí)現(xiàn)了調(diào)節(jié)多維減振平臺固有頻率的目標(biāo)，為工作于多場所、多工況下多維減振平臺的設(shè)計(jì)提供了一種新的思路。

圖3 自適應(yīng)遺傳算法種群適應(yīng)度趨勢

圖4 遺傳算法種群適應(yīng)度趨勢

5 結(jié) 論

(1) 將空間對稱3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為主體機(jī)構(gòu)并在主動副處施加彈簧阻尼得到了多維減振平臺模型。

(3) 鑒于多維減振平臺具有高度非線性、強(qiáng)耦合性動力學(xué)特征，本文將通過改變彈簧剛度以實(shí)現(xiàn)減振平臺的調(diào)頻問題轉(zhuǎn)化為已知減振平臺固有頻率對其彈簧剛度值進(jìn)行優(yōu)化的問題。

(2) 采用自適應(yīng)遺傳算法對滿足特定要求固有頻率的彈簧剛度值進(jìn)行優(yōu)化。通過與遺傳算法進(jìn)行比較，可看出自適應(yīng)遺傳算法在求解效率和求解精度方面均具優(yōu)勢，且得到了滿足誤差要求的彈簧剛度值，實(shí)現(xiàn)了多維減振平臺的可調(diào)頻目標(biāo)，為工作于多場所、多工況下多維減振平臺的設(shè)計(jì)提供了一種新的思路。

[1] 牛軍川, 宋孔杰. 多激勵(lì)多支承全柔性隔振系統(tǒng)的傳遞特性分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2011, 47(7): 59-64.

NIU Junchuan, SONG Kongjie. Transmission characteristics of fully flexible isolation systems subjected to multi-excitations and supported by multi-mounts[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(7): 59-64.

[2] YADAV S, ASSEFNIA A, GUPTA H, et al. The effect of low-frequency mechanical vibration on retention in an orthodontic relapse model[J]. European Journal of Orthodontics, 2016,38(1):40-50.

[3] SUCIU B. Experimental investigation on a controllable colloidal damper for vehicle suspension[J]. Mechanical Engineering Journal, 2015, 2(3):00512.

[4] 馬履中, 尹小琴, 楊啟志, 等. 多維減振平臺主體機(jī)構(gòu)的分析研究[J]. 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 25(4): 281-284.

MA Lüzhong, YIN Xiaoqin, YANG Qizhi, et al. Study on main mechanism of multi-DIM vibration absorber[J]. Journal of Jiangsu University (Natural Science), 2004, 25(4): 281-284.

[5] 許子紅, 馬履中, 劉慶波, 等. 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在多維減振平臺中的應(yīng)用研究[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2007(11): 124-126.

XU Zihong, MA Lüzhong, LIU Qingbo, et al. Application study of parallel mechanism for vibration reduction[J]. Machinery Design & Manufacture, 2007(11): 124-126.

[6] GENG Z J, HAYNES L S. Six degree-of-freedom active vibration control using the Stewart platforms[J]. Control Systems Technology, IEEE Transactions on, 1994, 2(1): 45-53.

[7] 仲棟華, 馬履中, 許子紅, 等. 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)激振臺設(shè)計(jì)與仿真[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào), 2008, 39(5): 150-154.

ZHONG Donghua, MA Lüzhong, XU Zihong, et al. Design and simulation of 3-PUU parallel mechanism vibration platform[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2008, 39(5): 150-154.

[8] YANG F, NIU J C, LI K P, et al. Study on frequency tuning of parallel mechanism for reducing vibration[J]. Applied Mechanics and Materials, 2013, 275: 905-908.

[9] 楊峰. 一種可變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維隔振平臺研究[D]. 濟(jì)南: 山東大學(xué), 2013.

[10] 牛軍川, 楊峰, 李勇. 基于變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維隔振研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(7): 206-209.

NIU Junchuan, YANG Feng, LI Yong. Study on multi-dimensional vibration isolation based on metamorphic parallel mechanism[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 206-209.

[11] 張義民. 機(jī)械振動[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[12] 王憲彬, 施樹明, 劉麗, 等. 基于遺傳算法和擬牛頓法的車輛動力學(xué)平衡點(diǎn)混合求解方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2014, 50(4): 120-127.

WANG Xianbin, SHI Shuming, LIU Li, et al. Vehicle dynamics equilibriums solution search based on hybridization of genetic algorithm and quasi-newton method[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(4): 120-127.

[13] ZHANG G, LU H. Hybrid real-coded genetic algorithm with quasi-simplex technique[J]. International Journal of Computer Science and Network Security, 2006, 6(10): 246-255.

[14] KWON Y D, JIN S B, KIM J Y, et al. Local zooming genetic algorithm and its application to radial gate support problems[J]. Structural Engineering and Mechanics, 2004, 17(5): 611-626.

[15] ZHANG N, XIA H, YANG W G, et al. Prediction and control of building vibration under metro exciation[C]∥ Proceedings of the 8th International Conference on Structural Dynamics (Eurodyn 2011), Leuven: [s.n.], 2011:705-711.

Design of an adjustable-frequency multi-dimensional vibration isolation platform based on spring stiffness optimization with adaptive genetic algorithm

LIU Naijun, NIU Junchuan

(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture Shandong University, Ministry of Education，School of Mechanical Engineering, Shandong University， Ji’nan 250061, China)

A multi-dimensional vibration isolation platform designed based on the specific vibration excitation frequency can’t meet the requirement of vibration isolation for multi-working place or multi-operational condition. Changing its spring stiffness to adjust the natural frequency of the vibration isolation platform can realize the goal of multi-dimensional vibration isolation under different operational conditions. Here, a multidimensional vibration isolation platform model based on a spatial symmetric 3-PRC parallel mechanism was built. Its kinematic and dynamic theoretical models were established with the closed-loop vector method. The adaptive genetic algorithm (AGA) was adopted to optimize the spring stiffness value satisfying the requirement of the specific natural frequency, and obtain the spring stiffness value to satisfy the error requirement and realize the goal of adjusting the natural frequency of the platform. The results provided a new idea for designing a multi-dimensional vibration isolation platform under the varying excitation working condition.

vibration isolation; platform; adjusting natural frequency; spring stiffness; adaptive genetic algorithm(AGA)

國家自然科學(xué)基金(51275275;51675306);山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金(BS2010ZZ006)

2016-01-19 修改稿收到日期：2016-05-26

劉乃軍 男，碩士，1989年生

牛軍川 男，博士，教授，1974年生

TH112

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.025