幾何直觀能力培養(yǎng)例談

張秀花

【摘要】作為一名數(shù)學(xué)教師，首先需要正確領(lǐng)悟幾何直觀的含義，其次要引領(lǐng)學(xué)生善于運(yùn)用不同的解決問題的策略，使抽象的內(nèi)容直觀化，使晦澀的文字淺顯化，使隱晦的關(guān)系明朗化，讓學(xué)生在真實(shí)的問題研究中增長(zhǎng)才智，培育幾何直觀的能力。

【關(guān)鍵詞】領(lǐng)悟；引領(lǐng)；培養(yǎng)

幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新提出的十個(gè)核心觀念之一，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理當(dāng)重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，笛卡兒說(shuō)，沒有什么東西比圖形更容易映入我們的腦海中。因此，作為一名數(shù)學(xué)教師，首先需要正確領(lǐng)悟幾何直觀的含義，其次要引領(lǐng)學(xué)生善于運(yùn)用不同的解決問題的策略，使抽象的內(nèi)容直觀化，使晦澀的文字淺顯化，使隱晦的關(guān)系明朗化，讓學(xué)生在真實(shí)的問題研究中增長(zhǎng)才智，培育幾何直觀的能力。

一、強(qiáng)化直觀感知

在平時(shí)，我們的數(shù)學(xué)課堂需要改進(jìn)直觀教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生的直觀感知。教師在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)強(qiáng)化學(xué)生的直觀感知。

例如，一位老師執(zhí)教“有余數(shù)的除法”呈現(xiàn)如下教學(xué)片段。師：兒童節(jié)到了，小朋友們打算在班級(jí)聯(lián)歡會(huì)上擺一些果盤?，F(xiàn)在有6個(gè)草莓，把草莓每2個(gè)擺一盤，我們來(lái)幫他們擺一擺，好嗎？（課件出示）

師：請(qǐng)小朋友們拿出水果學(xué)具，用6個(gè)學(xué)具表示6個(gè)草莓來(lái)擺一擺。

學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)。

師：一共可以擺幾盤？有剩余嗎？

生：可以擺3盤，正好擺完，沒有剩余。（課件適時(shí)出示）

師：這是平均分的問題，我們可以用除法計(jì)算，怎么列式呢？

生：6÷2=3（盤）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)6÷2=3這個(gè)算式表示什么意思？

生：這個(gè)算式表示“6個(gè)草莓，每2個(gè)一盤，擺3盤，正好擺完”。

師：如果不是6個(gè)草莓，是7個(gè)呢？（課件出示7個(gè)草莓）

師：請(qǐng)小朋友們?cè)賱?dòng)手?jǐn)[一擺，看看分得的結(jié)果怎樣？（學(xué)生動(dòng)手操作）

師：7個(gè)草莓，每2個(gè)一盤，可以擺幾盤？有剩余嗎？

生：可以擺3盤，還剩1個(gè)。（課件出示）

師：剩下的1個(gè)還能再平均分嗎？這里的1個(gè)表示什么呢？

生：不能，只剩1個(gè)不夠分。

師：回憶一下剛才分草莓的過程，你們想一想，把7個(gè)草莓每2個(gè)擺一盤，結(jié)果怎樣？想好了和同桌說(shuō)一說(shuō)。（生：略）

教者指出：像這樣平均分后有剩余的情況，也可以用除法算式表示。7個(gè)草莓，每2個(gè)擺一盤，可以擺3盤，還剩1個(gè)。寫成除法算式為：7÷2=3（盤）……1（個(gè)）。這樣的算式是有余數(shù)的除法算式。這里的1叫作余數(shù)（板書），表示平均分后余下的部分。表示余數(shù)時(shí)，要在商的后面寫上省略號(hào)，再寫上余數(shù)。咱們今天一起探究“有余數(shù)的除法”（板書課題）。

……

案例中，教師基于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)操作，親歷分草莓“有剩余”的真實(shí)情形。教者讓學(xué)生進(jìn)行分草莓活動(dòng)，從正好分完到有剩余是對(duì)平均分意義的延伸，也是學(xué)生認(rèn)知的一次重大突破。教者引導(dǎo)學(xué)生通過操作、整理和比較，感知平均分的不同結(jié)果，積累對(duì)有余數(shù)除法意義的直觀經(jīng)驗(yàn)。課上，教者適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考“剩下的1個(gè)還能再平均分嗎？”“這里的1個(gè)表示什么呢？”看似簡(jiǎn)單的問題觸及的是學(xué)生的困惑，同時(shí)也問出了研究的起點(diǎn)。學(xué)生借助直觀感知，同時(shí)聯(lián)想剛剛擺草莓的動(dòng)手活動(dòng)過程，教者針對(duì)算式7÷2=3（盤）……1（個(gè)）繼續(xù)追問學(xué)生這里的7表示什么？2表示什么？3呢？1呢？引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法”形成正確而清晰的認(rèn)知。

二、豐富直觀表象

克萊因說(shuō)，數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握。培育學(xué)生的幾何直觀能力，首先要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象感知，我們的數(shù)學(xué)課堂，需要重視引導(dǎo)學(xué)生的多感官參與，要形式多樣的引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較圖形的一些幾何特征，在學(xué)生頭腦中建立正確而鮮明的表象。

例如，生活中有很多平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象，學(xué)生初步學(xué)習(xí)這些內(nèi)容之后，教師可以及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中的例子，哪些生活現(xiàn)象是平移，哪些生活現(xiàn)象是旋轉(zhuǎn)，學(xué)生在尋找周圍有關(guān)平移、旋轉(zhuǎn)等現(xiàn)象的過程中就能進(jìn)一步豐富直觀表象。教學(xué)時(shí)教師要充分用好一些實(shí)踐操作活動(dòng)，如折紙、剪紙，拉一拉、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、拼一拼等，教師還可以根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，自行設(shè)計(jì)一些活動(dòng)。這既豐富了學(xué)生的感知，又激活了思維，進(jìn)而形成正確的表象。

認(rèn)識(shí)線段時(shí)，一位老師問學(xué)生：“跳繩的時(shí)候，甩出的繩子是什么樣子？拔河的時(shí)候，繩子是什么樣子？這兩種繩子有什么不同的地方呢？”教師讓學(xué)生通過操作、觀察、實(shí)踐等活動(dòng)豐富體驗(yàn)；再將生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工、改造與提升。學(xué)生發(fā)現(xiàn)跳繩甩出的繩子是彎彎的，拔河的繩子是直直的。另外，學(xué)生受現(xiàn)實(shí)生活中的“線”的干擾，他們所認(rèn)識(shí)的“線”是有粗有細(xì)的。我們可以讓學(xué)生先觀察手電筒光的形狀，再觀察光線搖晃的投影圖，而后引導(dǎo)學(xué)生跳出現(xiàn)實(shí)中“線”的框框，形成空間想象的“線”。這種“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)過程，可幫助孩子消除日常概念的負(fù)遷移現(xiàn)象，有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，建立正確的表象。

很多課堂經(jīng)驗(yàn)豐富的教師會(huì)重視平時(shí)的適時(shí)滲透，讓學(xué)生做有心人，注意觀察身邊的實(shí)物，量一量教室的長(zhǎng)是多少，寬是多少，教室的周長(zhǎng)是指什么；三角板上有哪些角，兩個(gè)三角板拼成的圖形有哪些角等。學(xué)生認(rèn)識(shí)各種角之后，教者創(chuàng)設(shè)豐富的情境：三角形有3個(gè)角，在三角形里面畫一條線段后，數(shù)一數(shù)共有幾個(gè)角？在三角形里面畫兩條線段呢？如果在三角形里面畫一條高，再數(shù)一數(shù)共有幾個(gè)角，其中有幾個(gè)是直角呢？課上，學(xué)生在這個(gè)變化多樣的直觀情境中操作、觀察、比較，展開數(shù)學(xué)思考，慢慢長(zhǎng)出一雙“眼睛”，幾何直觀能力便逐步提升。

三、巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！蔽覀儾浑y看出，要促使小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，就得重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，并在具體問題解剖中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

例如，一位教師在引導(dǎo)學(xué)生理解“余數(shù)比除數(shù)小”，設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)片段。

師：這里有4根小棒，能擺幾個(gè)正方形？

生：擺1個(gè)正方形。

師用4根小棒擺出一個(gè)正方形。

師：用8根小棒能擺幾個(gè)正方形？

生：2個(gè)。

師：你是怎么知道的？

生：8里面有2個(gè)4，8÷4=2。課件出示：8÷4=2（個(gè)）

師：如果像這樣用9根、10根、11根、12根小棒擺正方形，結(jié)果怎樣呢？請(qǐng)同學(xué)們先用小棒擺一擺，再根據(jù)每次擺出的結(jié)果說(shuō)一說(shuō)除法算式。（結(jié)合學(xué)生操作，課件呈現(xiàn)每次擺的結(jié)果及相應(yīng)的除法算式）

師：看著這些算式，選一個(gè)算式說(shuō)說(shuō)它表示的意思。

生1：9÷4=2（個(gè)）……1（根）表示用9根小棒擺正方形，每個(gè)正方形要4根小棒，可以擺2個(gè)正方形還多1根小棒。

生2：10÷4=2（個(gè)）……2（根）表示用10根小棒擺正方形，每個(gè)正方形要4根小棒，可以擺2個(gè)正方形還多2根小棒。

生3：11÷4=2（個(gè)）……3（根）表示用11根小棒擺正方形，每個(gè)正方形要4根小棒，可以擺2個(gè)正方形還多3根小棒。

生4：12÷4=3（個(gè)）表示用12根小棒擺正方形，每個(gè)正方形要4根小棒，正好可以擺3個(gè)正方形。

師：在剛才的操作中出現(xiàn)了哪些余數(shù)？

生：出現(xiàn)了余數(shù)1、2、3。

師：余數(shù)會(huì)是4嗎，為什么？

生：如果剩余4根就又可以再擺一個(gè)正方形了。

師：會(huì)是5、6、7......嗎？為什么？

生：不會(huì)，只要有1個(gè)4，就又可以擺1個(gè)正方形了。

師：假如給你更多的小棒，來(lái)擺正方形，余數(shù)又會(huì)是多少呢？

生1：假如用13根擺正方形，可以擺3個(gè)還剩1根；用14根可以擺3還剩2根；用15根可以擺3個(gè)還剩3根；用16根正好可以擺4個(gè)。

生2：我發(fā)現(xiàn)要么沒有余數(shù)，要有余數(shù)就會(huì)是1、2、3。

師：結(jié)合圖和除法算式想一想，余數(shù)為什么只可能是1、2、3？余數(shù)和除數(shù)會(huì)有什么樣的關(guān)系？大家先想一想，再和小組里的同學(xué)說(shuō)一說(shuō)。

生：我們發(fā)現(xiàn)余數(shù)要比除數(shù)小，因?yàn)槿绻鄶?shù)等于除數(shù)或者大于除數(shù)，那就可以繼續(xù)平均分。

師：通過剛才的操作觀察，我們發(fā)現(xiàn)在除法算式中，余數(shù)要比除數(shù)小。（板書：余數(shù)要比除數(shù)?。?/p>

案例中，數(shù)形結(jié)合使學(xué)習(xí)的質(zhì)態(tài)發(fā)生了改變，不僅提供了直觀的刺激，更激活了學(xué)生創(chuàng)新求異的思維。用數(shù)形結(jié)合思想刺激學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，是一種智慧的體現(xiàn)，是打造有效學(xué)習(xí)的基本策略。善用直觀圖形，充分發(fā)揮其直觀對(duì)抽象的支柱作用，通過直觀圖例促進(jìn)學(xué)生更科學(xué)地把握數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生正確理解“余數(shù)比除數(shù)小”，也讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)明晰化。這樣的學(xué)習(xí)過程，不僅能鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，使課堂教學(xué)增值，更能豐富學(xué)生解決問題的策略，提升數(shù)學(xué)思維的活力，更有利于學(xué)生幾何直觀能力的不斷積累。

四、拓展空間聯(lián)想

學(xué)生幾何直觀能力的提升不是一蹴而就的，而是一個(gè)日積月累的漸進(jìn)過程，學(xué)生在平時(shí)的生活中借助認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)，慢慢累積更多的空間知覺和空間表象。教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步拓展空間聯(lián)想，對(duì)幾何中直線、平面、空間的基本圖形的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、關(guān)系進(jìn)行識(shí)記，并能重現(xiàn)基本圖形的形狀和結(jié)構(gòu)；逐步學(xué)會(huì)分析圖形基本元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系，并能正確畫圖，還能離開實(shí)物或圖形進(jìn)行空間描述。

如學(xué)生初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、梯形之后，教者創(chuàng)設(shè)空間聯(lián)想的問題情境，在教具信封里面裝著梯形，先露出一部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，讓學(xué)生猜一猜整個(gè)圖形是不是長(zhǎng)方形；接著再拉出一部分，還是一個(gè)長(zhǎng)方形，讓學(xué)生繼續(xù)猜一猜整個(gè)圖形是什么圖形；最后再拉出一部分，學(xué)生發(fā)現(xiàn)整個(gè)圖形既不是長(zhǎng)方形，也不是正方形，而是一個(gè)梯形。學(xué)生在猜一猜的過程中，不斷糾正自己猜想時(shí)的空間聯(lián)想，積累空間經(jīng)驗(yàn)，豐富了學(xué)生的空間表象。

再如“畫軸對(duì)稱圖形”，教者在方格紙上畫出一個(gè)圖形的另一半，使它成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形。它不同于剪紙，只要對(duì)折剪，剪出來(lái)的圖形必定成軸對(duì)稱圖形。它要求學(xué)生根據(jù)圖形已知的一半來(lái)確定另一半，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。教者可以借助圖形，先讓學(xué)生觀察方格紙上的軸對(duì)稱圖形，分析每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與對(duì)稱軸的關(guān)系，后找出規(guī)律，再獨(dú)立嘗試把圖畫完整。

總之，幾何直觀能力的培育一方面要依托空間觀念的培養(yǎng)，使學(xué)生具備畫圖、說(shuō)圖和空間想象的能力；另一方面要重視“用圖形說(shuō)話”，使學(xué)生善于用不同的圖形去解讀問題，把握問題中錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智能發(fā)展融合起來(lái)。同時(shí)，我們還得認(rèn)識(shí)到，幾何直觀能力的培養(yǎng)并不是一朝一夕的，還得關(guān)注到幾何直觀是一種思維方式，是若干種數(shù)學(xué)思維的一種，我們得依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律適時(shí)有機(jī)滲透，讓學(xué)生不同的思維方式有機(jī)共存、相互激蕩和補(bǔ)充，正如希爾伯特所說(shuō)：“在數(shù)學(xué)中，像在任何科學(xué)研究中那樣，有兩種傾向。一種是抽象的傾向……另一種是直觀的傾向，即更直接地掌握所研究的對(duì)象，側(cè)重它們之間關(guān)系的意義，也可以說(shuō)領(lǐng)會(huì)它們生動(dòng)的形象?！币胝嬲_(dá)成上述目標(biāo)，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任與使命任重而道遠(yuǎn)！