物體速度最大的條件是否一定是合外力為零

摘要：通過(guò)對(duì)直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、一般曲線運(yùn)動(dòng)中最大速度問(wèn)題的分解與解析詳細(xì)說(shuō)明了物體速度最大的條件并不一定是合外力為零，從而糾正部分學(xué)生或教師腦海所存在的問(wèn)題，并總結(jié)了解決此類(lèi)問(wèn)題的一般規(guī)律及解題思路，為科學(xué)備考建立了正確的物理模型.

關(guān)鍵詞：最大速度；直線運(yùn)動(dòng)；曲線運(yùn)動(dòng)

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃十二五重點(diǎn)課題《用PCK理論優(yōu)化高中物理難點(diǎn)內(nèi)容教學(xué)的研究》（編號(hào)：B-b/2015/02/070）、南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃個(gè)人課題《用PCK理論優(yōu)化“磁場(chǎng)”難點(diǎn)內(nèi)容教學(xué)的研究》（編號(hào)：LK0618）的階段性成果.

作者簡(jiǎn)介：熊耀華，男，湖北麻城人，高中物理一級(jí)教師，碩士研究生學(xué)歷，主要研究方向?yàn)楦咧形锢斫虒W(xué).

一些教學(xué)參考資料或練習(xí)冊(cè)有關(guān)速度最大問(wèn)題的解答中經(jīng)常出現(xiàn)“（直線運(yùn)動(dòng)中）當(dāng)物體所受合外力為零時(shí)，其速度達(dá)到最大值”字樣，久而久之，學(xué)生或教師很容易將此作為一個(gè)結(jié)論熟記心中，碰到類(lèi)似題目，便不加分析地套用，此舉必將在高考中造成嚴(yán)重的后果，因此有必要對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行糾正與深入剖析.本文將從直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、一般曲線運(yùn)動(dòng)三個(gè)方面分別以例證的方式對(duì)此結(jié)論的正誤進(jìn)行詳細(xì)分析，并總結(jié)最大速度問(wèn)題的一般規(guī)律和解題思路.

1直線運(yùn)動(dòng)中的最大速度問(wèn)題

例1如圖1所示，傾角為α的絕緣斜面置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的金屬塊在斜面頂端由靜止釋放，已知金屬塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ且滿足μ

（1）在斜面上金屬塊下滑能達(dá)到的最大速度是多少？

（2）若將題目中斜面是光滑的且磁場(chǎng)方向改為垂直紙面向外，其它條件不變，求金屬塊在斜面上由靜止下滑后能達(dá)到的最大速度又是多少？

（3）若將題目中斜面是光滑的且磁場(chǎng)方向改為垂直紙面向外，且斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng)=3m，其它條件不變，若已知m=2kg，B=1T，q=2C，α=37°，g取10m/s2，求金屬塊在斜面上由靜止下滑后能達(dá)到的最大速度又是多少？

解析（1）要求金屬塊的最大速度，需要對(duì)金屬塊進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析.當(dāng)金屬塊靜止釋放瞬間，因μμmgcosα，故金屬塊應(yīng)沿斜面加速下滑，一旦滑動(dòng)起來(lái)，會(huì)受到垂直斜面向下的洛侖茲力f洛=Bqv，受力情況如圖2所示，由牛頓第二定律mgsinα-μ（mgcosα+Bqv）=ma易知，隨著v的增大，洛侖茲力f洛=Bqv也增大，加速度a逐漸減小，當(dāng)a=0時(shí)，金屬塊合外力為零，將開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此在斜面足夠長(zhǎng)的情況下，當(dāng)a=0時(shí)有最大速度vm=mgsinα-μmgcosαμBq.

（2）此問(wèn)還是求金屬塊的最大速度，當(dāng)a=0時(shí)是否有最大速度vm？同樣對(duì)金屬進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析.當(dāng)金屬塊靜止釋放瞬間，因μμmgcosα，故金屬塊應(yīng)沿斜面加速下滑，一旦滑動(dòng)起來(lái)，會(huì)受到垂直斜面向上的洛侖茲力f洛=Bqv，受力分析如圖3所示，由力的正交分解法與牛頓第二定律有如下兩個(gè)方程：

mgsinα=ma（1）

N+Bqv=mgcosα（2）

由方程（1）知，此金屬塊做初速度為零、加速度為a=gsinα的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到當(dāng)N=0即Bqv=mgcosα?xí)r金屬塊就脫離斜面，因此在斜面足夠長(zhǎng)的情況下，金屬塊在斜面上有最大速度的條件是當(dāng)斜面對(duì)金屬塊的支持力N=0，其最大速度為vm=mgcosαBq，而此時(shí)滑塊的合力為mgsinα=ma.因此這種情況下“當(dāng)物體所受合外力為0時(shí)，其速度達(dá)到最大值”的結(jié)論并不成立.

（3）與第2問(wèn)比較，只是將“斜面足夠長(zhǎng)”改成了“斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng)=3m”，并賦予具體數(shù)據(jù)，那第（3）問(wèn)的結(jié)果與第（2）問(wèn)是否完全一致？由于第（3）問(wèn)金屬塊受力情況、運(yùn)動(dòng)情況與第（2）完全相同，也是做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因此在解析第（3）問(wèn)時(shí)，我們不妨沿著第（2）問(wèn)的解析思路進(jìn)行思考：如果斜面足夠長(zhǎng)時(shí)，則由第（2）問(wèn)解析過(guò)程不難得到最大速度vm=8m/s2.由勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式或動(dòng)能定理知，此時(shí)金屬塊沿斜面下滑的位移為L(zhǎng)x=v2m2gsinα=163m > L=3m，說(shuō)明第（3）問(wèn)中金屬塊到達(dá)斜面底端時(shí)并沒(méi)達(dá)到第（2）問(wèn)的最大速度，即金屬塊到達(dá)斜面底端時(shí)，斜面對(duì)金屬塊還有支持力，并沒(méi)有脫離斜面.故由勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式或動(dòng)能定理有vm=2gLsinα，代入相關(guān)數(shù)據(jù)得vm= 6m/s，此即第（3）問(wèn)正確答案.此時(shí)“當(dāng)物體所受到的合外力為零時(shí)，其速度達(dá)到最大值”的結(jié)論也不成立.

2圓周運(yùn)動(dòng)中的最大速度問(wèn)題

例2如圖4所示，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的塑料絕緣細(xì)繩將質(zhì)量為m的金屬球拴住，細(xì)繩另一端固定在某懸點(diǎn)O，把金屬球拉到和懸點(diǎn)O水平的位置自靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則

（1）金屬球在向下擺動(dòng)過(guò)程中哪個(gè)位置有最大速度？最大速度是多少？

（2）若金屬球帶電量為+q，并且處于大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中（Eq=mg），把金屬球拉到和懸點(diǎn)O在同一水平面的位置自靜止釋放，金屬球在向下擺動(dòng)過(guò)程中哪個(gè)位置有最大速度？最大速度是多少？

解析（1）由于只有重力做功，小球由靜止釋放到最低點(diǎn)過(guò)程中重力勢(shì)能與動(dòng)能的總能量守恒，因此重力勢(shì)能最小的位置即最低點(diǎn)動(dòng)能最大（速度最大）.若選最低點(diǎn)為零勢(shì)能面，則由能量守恒定律有mgL+0=0+12mv2m，故vm=2gL.對(duì)小球最低點(diǎn)受力分析不難得出，繩子對(duì)小球的拉力與小球的重力的合力給小球做圓周運(yùn)動(dòng)提供向心力，即動(dòng)力學(xué)方程為T(mén)-mg=mv2mL，顯然此時(shí)小球所受合外力是3mg，而并不等于零.

（2）與第1問(wèn)比較，第（2）問(wèn)多了電場(chǎng)，我們可以采用“等效重力”法仿照（1）一樣定性分析得出結(jié)論.當(dāng)然也可以采用動(dòng)力學(xué)分析法進(jìn)行定量分析，分析過(guò)程如下：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬球受力分析如圖5所示，將力沿半徑和切向進(jìn)行分解，半徑方向力Fx改變速度的方向，而切向力Fy改變速度的大小，兩者各司其職.其對(duì)應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程如下：

Fx=T-mgsinθ-Eqcosθ=mv2L

Fy=mgcosθ-Eqsinθ=may

隨著θ的增大，F(xiàn)y先減小后反向增大，因此金屬球作的是切向加速度ay先減小后反向增大的變加速曲線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)切向力Fy=0（ay=0）時(shí)有最大速度vm，考慮到mg=Eq即可知當(dāng)θ=450有最大速度vm，此時(shí)其合力指向O點(diǎn)，大小為mv2m L，也并不等于0.由動(dòng)能定理有mgLsin45°-EqL（1-cos45°）=12mv2m，故vm=2（2+1）gL，此時(shí)小球所受到的合力為2（2+1）mg，繩子對(duì)小球的拉力為（32+2）mg.通過(guò)以上兩種情況的分析可以看出，在物體做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，速度最大的條件依然不是“物體所受到的合外力零”.

3一般曲線運(yùn)動(dòng)中的最大速度問(wèn)題

例3設(shè)空間存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖6所示.已知一離子在電場(chǎng)力和洛侖茲力的作用下，從靜止開(kāi)始自A點(diǎn)沿曲線ACB運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為零.C點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn).忽略重力，以下說(shuō)法中正確的是

A.離子必帶正電荷；

B.A點(diǎn)和B點(diǎn)位于同一高度；

C.離子在C點(diǎn)時(shí)速度最大；

D.離子到達(dá)B點(diǎn)后，將沿原曲線返回A點(diǎn).

解析粒子在點(diǎn)A由靜止釋放，只受到電場(chǎng)力，粒子能夠從A向C運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明了電場(chǎng)力方向一定豎直向下，而電場(chǎng)線豎直向下，故該離子一定帶正電，故A正確；由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有電場(chǎng)力做功，洛侖茲力不做功，由能量守恒可AB必位于同一高度，B正確；而在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相對(duì)于初始位置A點(diǎn)，AC的豎直高度最大，電場(chǎng)力做功最多，此時(shí)即C點(diǎn)動(dòng)能最大.此時(shí)C點(diǎn)的速度水平向右，電場(chǎng)力與洛茲力的合力豎直向上，即F合垂直于vc，故選項(xiàng)C正確，而此時(shí)由曲線運(yùn)動(dòng)的條件可知，其合外力一定不等于0，結(jié)論還是不成立；而到達(dá)B點(diǎn)后，離子將向右重復(fù)ACB的曲線運(yùn)動(dòng)過(guò)程.故此題正確選項(xiàng)為ABC.

4規(guī)律總結(jié)

通過(guò)對(duì)直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、一般曲線運(yùn)動(dòng)三種類(lèi)型的最大速度問(wèn)題詳細(xì)分析，我們不難發(fā)現(xiàn)：物體達(dá)到最大速度的條件并非一定是合外力為零（即加速度a=0）.對(duì)于做直線運(yùn)動(dòng)的物體而言，在軌道足夠長(zhǎng)的前提下，其最大速度的條件一定是合外力為零（或加速度a=0）；而對(duì)于物體做圓周運(yùn)動(dòng)或一般的曲線運(yùn)動(dòng)，其速度最大的位置合外力并非一定為零，而是沿速度方向的合外力為零（即F合垂直于v）時(shí)才有最大速度.因此無(wú)論是直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)還是一般的曲線運(yùn)動(dòng)，我們可以給出一般規(guī)律性結(jié)論：在軌道足夠長(zhǎng)的前提下，當(dāng)物體沿速度方向的合外力為零時(shí)物體必將達(dá)到最大速度.

對(duì)于高中物理學(xué)習(xí)而言，弄清楚物體達(dá)到最大速度的條件是非常必要的，在不同省份的高考題中也有呈現(xiàn)，例如2008年江蘇高考題及2011年上海高考題.

例4（2008·江蘇卷）如圖7，在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖7所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到z軸距離的2倍，重力加速度為g.求

（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）的速率v

（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym

（3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E（E>mgq）的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)， 小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm.

例5（2011·上海卷）如圖8，電阻可忽略的光滑平行金屬導(dǎo)軌長(zhǎng)S=115m，兩導(dǎo)軌間距L=075m，導(dǎo)軌傾角為30°，導(dǎo)軌上端ab接一阻值R=15Ω的電阻，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=08T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直軌道平面向上.阻值r=05Ω，質(zhì)量m=02kg的金屬棒與軌道垂直且接觸良好，從軌道上端ab處由靜止開(kāi)始下滑至底端，在此過(guò)程中金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱Qr=01J.（取g=10m/s2）求

（1）金屬棒在此過(guò)程中克服安培力的功W安；

（2）金屬棒下滑速度v=2m/s時(shí)的加速度a.

（3）為求金屬棒下滑的最大速度vm，有同學(xué)解答如下：由動(dòng)能定理W重-W安=12mvm2，…….由此所得結(jié)果是否正確？若正確，說(shuō)明理由并完成本小題；若不正確，給出正確的解答.

以上兩高考題的解析過(guò)程略，若學(xué)生套用習(xí)題冊(cè)上的“合外力為零時(shí)有最大速度”結(jié)論必錯(cuò)無(wú)疑.解決此類(lèi)“最大速度”問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析最大速度應(yīng)滿足的條件，一般而言，其具體處理方法有以下兩種視角：

第一種方法是動(dòng)力學(xué)角度.首先選定研究對(duì)象并對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，寫(xiě)出研究對(duì)象的牛頓第二定律方程，即研究對(duì)象所受外力或加速度隨速度變化的函數(shù)關(guān)系，然后分析其運(yùn)動(dòng)情況，找出其速度達(dá)到最大時(shí)所滿足的條件，最后由此條件求出速度最大值，不過(guò)需要注意的是軌道是否足夠長(zhǎng)；

第二種方法是功能關(guān)系的角度.首先選定研究對(duì)象，并具體分析其做功情況、能量變化情況，然后用功能關(guān)系定性分析研究對(duì)象達(dá)到速度最大值時(shí)的條件，最后用功能關(guān)系定量列式求解.