基于Matlab仿真衍射的模擬因素分析

武月月+彌謙

摘要：基于光的衍射理論和Matlab強(qiáng)大的計(jì)算、繪圖能力，對光學(xué)中衍射現(xiàn)象進(jìn)行理論解析；計(jì)算出衍射的光強(qiáng)公式；編寫出衍射的模擬程序，并對寫出的程序進(jìn)行Matlab仿真；得到光強(qiáng)分布曲線與衍射條紋分布圖。通過對單色光進(jìn)行改變縫寬、相鄰兩縫間不透明部分的寬度、縫的總數(shù)、波長和透鏡焦距等因素，對得出的模擬圖進(jìn)行理論分析。用Matlab對復(fù)色光進(jìn)行圓孔衍射現(xiàn)象模擬，從模擬圖中看出復(fù)色光是多個單色光的簡單疊加。軟件模擬光學(xué)衍射現(xiàn)象，使復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)簡單化，而且不受任何實(shí)驗(yàn)環(huán)境的影響和實(shí)驗(yàn)儀器的限制，這樣使學(xué)生在理解和掌握知識方面更加的容易，所以軟件仿真模擬在教學(xué)理論與實(shí)踐的研究中具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：Matlab；衍射；復(fù)色光；教學(xué)研究

1概述

在當(dāng)今社會，光學(xué)和計(jì)算機(jī)的發(fā)展很快，但相對抽象和復(fù)雜的光學(xué)，光學(xué)模擬軟件吸引了許多科學(xué)和教育工作者的廣泛關(guān)注。計(jì)算機(jī)輔助光學(xué)設(shè)計(jì)軟件已經(jīng)發(fā)展了很多，比如：APSS.ASAP.Pics3d.Zemax等專業(yè)仿真軟件。光學(xué)仿真軟件愈來愈多的應(yīng)用于科研和教學(xué)工作中。用理論指導(dǎo)實(shí)踐的光學(xué)仿真軟件，不僅節(jié)省了大量的實(shí)驗(yàn)器材，而且還大量的減少了人力。因此，模擬和仿真光學(xué)實(shí)驗(yàn)彌補(bǔ)了實(shí)驗(yàn)中的缺陷，很好地促進(jìn)了光學(xué)的研究。在我國，利用Matlab進(jìn)行仿真計(jì)算，已經(jīng)比較普遍，尤其是在與數(shù)學(xué)有關(guān)的范疇和電子教學(xué)的研究，但在光學(xué)仿真和應(yīng)用方面研究的比較晚，在實(shí)驗(yàn)和教學(xué)中的應(yīng)用也不夠充分。

2衍射

2.1衍射理論

除了干涉現(xiàn)象之外，波的另一個重要的特征是衍射現(xiàn)象?？梢愿爬ǖ卣f，光繞過障礙物到達(dá)光沿直線傳播所不能到達(dá)的區(qū)域，并在屏幕上呈現(xiàn)光強(qiáng)穩(wěn)定分布和周期性變化的現(xiàn)象，叫做光的衍射。障礙物的寬度和波長的大小影響著衍射現(xiàn)象的程度，只有這兩者之間可以對比時，衍射現(xiàn)象才比較明顯。下面對光柵衍射和圓孔衍射進(jìn)行研究。

2.2衍射的影響因素分析

光柵衍射光強(qiáng)公式中為單縫衍射因子，為縫間干涉因子。那么模擬出的光強(qiáng)分布曲線與條紋圖是單縫衍射因子與縫間干涉因子共同作用下的結(jié)果，因此下面分別模擬出這兩個獨(dú)立的光強(qiáng)分布曲線。

2.2.1縫寬b的影響

光柵衍射光強(qiáng)公式中為單縫衍射因子，圖1是單縫衍射因子的相對光強(qiáng)圖。其中。在Matlab模擬中當(dāng)N=1時，通過改變b的值，從而改變u的值，目的是為了探究單縫衍射因子對光柵衍射強(qiáng)度分布的影響，其他條件不變。圖3與圖4是單縫衍射因子變化對光柵衍射中光強(qiáng)分布曲線和條紋圖的影響。圖5中縫寬b=2e-3比圖4中縫寬b=2e-4明條紋寬度相比明顯地變窄，但是并不改變明條紋所在的位置。

2.2.2兩縫間不透明部分a的影響

對于兩縫間不透明部分a的影響，實(shí)質(zhì)上就是光柵常量d對衍射圖樣的影響。圖1是光柵衍射中多縫干涉因子相對光強(qiáng)圖，圖6與圖7是光柵常量d的變化對單縫衍射因子與縫間干涉因子共同作用下的光柵衍射光強(qiáng)圖的影響。在其他條件不變的情況下，a與d成正比，a越大，d越大，隨之影響縫間干涉因子的變化，從而影響衍射條紋的變化。從下圖很明顯看出，圖5比圖6的條紋寬度變窄，明暗條紋變化的頻率變快。

2.2.3縫的總數(shù)N的影響

在光柵常量d與其他條件一定的情況下，改變縫的總數(shù)N，下圖中給出了N=2和N=8時的條紋圖和光強(qiáng)分布曲線。隨著N的增加，光強(qiáng)變化的幅度將增加，但明暗條紋的寬度變窄。

2.2.4波長λ的影響

從光柵衍射光強(qiáng)公式中可以看出，單縫衍射因子和縫間干涉因子中都含有λ，無法定量分析，只能定性分析。那么從下圖中強(qiáng)度分布曲線上看不到變化，但從豎軸上的刻度分布上得出：λ越大，條紋寬度越大。

2.2.5透鏡焦距f的影響

透鏡焦距f的變化影響著的變化，從而影響著光柵衍射強(qiáng)度與明暗條紋的分布。下圖模擬出透鏡焦距為10mm和80mm的光柵衍射圖樣?？梢缘贸觯汗鈻叛苌涞拿鳁l紋寬度隨焦距f的增大而增大，光強(qiáng)的譜線分布隨焦距f的增大而變化緩慢。

2.2.6譜線缺級

光柵方程描述的是光柵衍射中各縫間光的干涉形成明紋的條件，可寫成下式：

若干涉明紋的位置正好與衍射暗紋的位置重合（衍射角0相同），它會產(chǎn)生缺級現(xiàn)象。光柵常量d決定了各級譜線之間的距離，例如，采用的光柵常數(shù)d是縫寬6的2倍，則是2倍數(shù)譜線都消失，而所有級數(shù)為奇數(shù)的譜線都相應(yīng)的加強(qiáng)；采用的光柵常數(shù)d是縫寬b的3倍，則是3倍數(shù)譜線都消失。這種現(xiàn)象被稱為譜線的缺級。圖13是b=0.01，d=0.02，d=2b，所以是2倍數(shù)譜線都消失；圖14是b=0.01，d=0.05，d=5b，所以是5倍數(shù)的譜線都消失，與理論分析的結(jié)論一致。

3復(fù)色光的衍射研究

復(fù)色光中，最簡單的是研究白光如圖15所示，由于白光是由7種波長的光組成，但是這7種光都是由三基色紅、綠、藍(lán)配色疊加后的結(jié)果。復(fù)色光是具有一定帶寬的光源，從圖16中多種光波的相對強(qiáng)度分布可以得出復(fù)色光是各個單色光波長的簡單疊加。與單色光相比有明顯的差別：1）復(fù)色光中光波長不同，它們的第一極小值點(diǎn)的位置不同，但是它們中心點(diǎn)的位置是相同的；2）中央位置各個波長的最高點(diǎn)不同是因?yàn)閺?fù)色光中各個波長的光能量所占的比例是不同的；3）隨著光波長的變短，光強(qiáng)分布越集中；4）波長不同，頻率不同，光波通過透鏡時折射率不同，所以會產(chǎn)生一定的色差，色差在復(fù)色光中存在，單色光是不存在的，色差有位置色差和放大率色差。圖17是580nm到730nm之間五種色光二維與三維光強(qiáng)衍射分布圖，從圖中可以看出衍射圖樣是五種單色光的疊加，但是在三維衍射圖中存在位置色差，人在任何位置看衍射圖時，會產(chǎn)生一種暈環(huán)和有色斑的感覺。

4結(jié)論

通過Matlab的圖像處理、符號計(jì)算及模擬仿真等功能對衍射進(jìn)行模擬，得到了光強(qiáng)分布曲線和條紋分布圖。改變光柵衍射縫寬b，相鄰兩縫間不透明部分的寬度a，縫的總數(shù)N，波長λ，透鏡焦距f等影響因素，得到不同的仿真圖像。光柵衍射的光強(qiáng)分布曲線和條紋分布圖是單縫衍射因子和縫間干涉因子共同作用的結(jié)果。復(fù)色光的衍射與單色光的衍射的聯(lián)系在于復(fù)色光的波長是單色光波長的簡單疊加，所以在程序上做些改動就會模擬出復(fù)色光二維和三維衍射圖。利用Matlab進(jìn)行光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真最大的優(yōu)勢在于，無需手動的去調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器的位置及相關(guān)參數(shù)，只需改動程序中的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，可在較短時間內(nèi)完成多種實(shí)驗(yàn)條件下的光學(xué)實(shí)驗(yàn)圖樣的演示，無需復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)儀器和苛刻的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，而且模擬得到的圖更接近于理論分析，更形象、逼真。使學(xué)生能夠更好的掌握和理解知識，所以在教學(xué)研究方面能起到了很大的作用。