高師?？聘叩却鷶到虒W的探索與實踐

白 頡

（太原學院，山西 太原030001）

高等師范院校是培養(yǎng)教師的主要陣地，而高等代數是高師院校數學教育專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課程。它以其抽象深奧的知識為載體，蘊含著豐富的數學思想和數學方法；它重在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、抽象思維能力等數學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和解決問題的能力，同時也是對初等數學部分內容的理論化和系統(tǒng)化。因此，關于高等代數的教學研究至關重要。近年來，在教育改革浪潮的沖擊和其自身矛盾的觸發(fā)下，許多教育工作者對高等代數教學從教學內容、教學方法、考核方式等不同層面提出了諸多可取的措施[1-5]。但對于高師專科高等代數的教學研究較少，下文主要分析高師專科高等代數的教、學現狀，并針對其主要矛盾給予化解教學矛盾的策略與方法。

1 高師?？聘叩却鷶到毯蛯W現狀分析

1.1 學生現狀

在高校素質教育普及的大背景下，高師專科院校的生源質量受到了較大的影響，使學校教育面臨新的挑戰(zhàn)，使課堂教學難上加難。據2012年—2015年對某省四所師專數學系學生關于高等代數教學方面的問卷調查，綜合分析得如下情況：

數學基礎(高考成績)優(yōu)（120以上）及格不及格學習高等代數的興趣學習態(tài)度自學能力學習高等代數價值的認識0%25.8%74.2%感興趣一般無興趣7.8%37.9%54.3%探索型主動型接受型0%11%89%較好一般教差2.5%15.5%82%有一定認識不了解認為沒有意義13%32%55%

可見，師專院校數學系的大部分學生數學基礎、自學能力較差，在知識、方法的積累和探索上呈被動型，對學習高等代數的意義認識不深，對數學學習缺乏興趣。

1.2 教學現狀

高等代數作為一門基礎課程，具有內容抽象、應用性體現較弱的特點。隨著教改的不斷推進，又出現了一系列的不協(xié)調，如教學內容多、課時少；教學中，學生的主體地位沒有得到充分體現；多媒體教學與教學內容貌合神離等。

綜上分析，當前高師?？聘叩却鷶嫡n程教學中，存在的主要矛盾是高度抽象的教學內容和學生薄弱的數學基礎間的矛盾；培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)和學生缺乏學習興趣間的矛盾；刻板的講授方式和學生消極的學習態(tài)度間的矛盾等。對此，下面提出了三條相應地改進教學不協(xié)調的策略。

2 高師?？聘叩却鷶到虒W策略

2.1 注重聯(lián)系中學數學知識，滲透理論知識的應用背景

基于學生現狀，改善學習主體的學習狀態(tài)、激發(fā)學生的學習興趣是教學的重點之一。當代建構主義學習觀認為，學習一方面是對新信息的意義建構，同時又包含對原有經驗的改造和重組，即學習者以自己原有的知識經驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，主動構建自己的理解。高等代數每節(jié)課的教學內容通常是概念、性質及問題求解的體系，在理性的知識層面下較少談及與已學知識間的關系或其在生活實際中的應用。若直接照本宣科的話，枯燥的知識不容易吸引學生，不利于學生進行知識建構。為此，教師需要加工處理教學內容，通過課堂激發(fā)學生學習興趣。

注重聯(lián)系新舊知識，找到新知識的生長點。通過創(chuàng)設符合教學內容的情境，揭示新舊知識間的聯(lián)系，有助于學生對所學知識進行意義建構。也就是說，使學生在一個情境交互、并利于意義建構的過程中收獲知識。例如，在線性方程組一章中，消元法的教學中，我們首先創(chuàng)設問題情境，給出幾個方程組：

讓學生觀察并找出可以求解的方程組，同時分析不能求解的原因。通過學生分析上述問題，聯(lián)系中學解方程的方法 (加減消元法和代入消元法)及前面所學的克拉姆法則解方程組的條件，易得方程組 (3)、(4)、(5)均不能求解，因為方程組 (3)的系數矩陣A行列式det(A）=0，而方程組 (4)、(5)中方程的個數與未知量的個數不相等。方程組(4)、(5)可以求解嗎？對于學生來講，這些問題正是他們的空白。此時，切入課題——消元法，它恰好是判斷并求解任一情形線性方程組的有效方法。這樣導入新課，自然地將學生帶入到問題情境中，帶著問題聽課利于激發(fā)學生的求知欲、調動其學習的積極性，同時也可以讓學生體會到這部分內容是中學解方程組知識的完善和系統(tǒng)化。

教學中注重滲透理論知識的應用背景，將理論知識投射到生活實際。每一理論背后都有豐富的、鮮活的應用。然而教材中很少體現，大部分學生對所學知識的應用了解甚少。因此，教學中，我們可適量地講解一些知識在生活中的應用，激發(fā)學生學習的興趣。例如線性方程組理論有非常廣泛的應用，如它是研究網絡流模型、投入產出模型等方面的重要工具。例如城市規(guī)劃設計人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網絡內的交通流量、電氣工程師計算電路中流經的電流等。大多數網絡流模型中的方程組都包含了數百甚至上千個未知量。

通過問題情境導入新課和應用實例的介紹，一方面使學生們意識到消元法是中學方程組內容的深化和完善，便于學生建構知識體系。同時也能感知理性的知識背后有其豐富、鮮活的應用，利于主動學習。

2.2 采用 “模型化”教學

對于抽象的教學內容，學生往往是能聽懂講解，但不會運用、不會解題。因此，如何引導學生開拓思路、如何將抽象知識具體化是課堂教學的主要任務。為此，在概念、定理的教學中，我們需抓其本質，引導學生學會翻譯，即將文字語言轉換為符號語言，準確建立符號模型。例如，在歐氏空間[6]的教學中，可以建立以下模型：

模型一：{α1，α2，…，αn}是規(guī)范正交基?<αi，αj>=

模型二：矩陣U=(uij)為正交矩陣

模型三：σ是正交變換?<σ(ξ)，σ(η)>＝<ξ，η>，，{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基。

模型四：σ是對稱變換?<σ(ξ)，η>＝<ξ，σ(η)>，?ξ，η∈V。

當然在教學中，揭示了概念、定理的本質后，注意幫助學生積累一些常見的思維模式。比如，子空間W是σ的不變子空間??ξ∈W，σ(ξ)∈W?若{α1，α2，…，αr} 是 w 的一組基，則{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}為W的一組基。再如關于 “A或B”命題的證明，通常是在假定A不成立的條件下，只要證明成立B即可。高等代數中好多問題都可以建立相對固定的解題模式。這對開拓解題思路確實有非常好的教學效果。如下例：

設σ是n維歐氏空間V的一個正交變換，證明：如果V的一個子空間W在σ之下不變，則W的正交補W┴也在σ之下不變。

思路解析：要證W的正交補W┴也在σ之下不變，常用的有上述兩種思路，這就需要結合已知選取合適的方法。

分析已知條件：

(1)σ是n維歐氏空間V的一個正交變換?<σ(ξ)，σ (η)>＝<ξ，η > ，?ξ，η ∈V ? <σ (γi)，σ (γj)>=，其中{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基；

(2)W是V的一個子空間，常規(guī)思路是將子空間W的基{α1，α2，…，αr} 擴充為V的基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}；

(3)W┴是W的正交補，結合條件 (1)、(2)，應選取W的一組規(guī)范正交基；

(4)W 在σ之下不變? {σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是的W基。

于是，要證W的正交補W┴也在σ之下不變，只要說明 {σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)} 是W┴的一組基即可。

事實上，設{α1，α2，…，αr}是W的一組規(guī)范正交基，并擴充為V的規(guī)范正交基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}。 因為<αi，αj>=0，其中 i=1，2，…，r； j=r+1，…，n，即αj∈W┴。因為 V＝W⊕W┴，故 dimW┴=n-r，從而{αr+1，αr+2，…，αn} 是W┴的一個規(guī)范正交基。又因為σ是V的一個正交變換，故{σ (α1)，σ(α2)，…，σ(αn)} 也是 V 的規(guī)范正交基；因 W 在σ之下不變，故{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是 W 的規(guī)范正交基。 再由<σ(αi)，σ(αj)>=<αi，αj>=0(i=1，2，…，r；j=r+1，…，n)，得σ(αj) ∈W┴(j=r+1，…，n)，從而{σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)}是W┴的一組基，即W┴也在σ之下不變。

上例可見，在理解的基礎上掌握各知識點的模型、積累常規(guī)問題的思維模式，在求解問題時，便于學生將問題轉化，可以有效地改進學生見題無從下手的狀況。因此，教學中引導學生建立知識點的符號模型，幫助學生轉換知識，是高等代數教學非?？扇〉姆椒ㄖ弧?/p>

2.3 注重構建知識體系

基于高等代數重推理論證、輕應用，學生抽象思維能力弱、學習相對被動的情況，在教學中，首先介紹所要解決的問題，大致勾勒出章節(jié)知識間的關系，讓學生初步了解知識脈絡，明白所學內容在章節(jié)中的地位與作用，幫助學生構建知識體系。例如，在行列式一章的講授中，結合本章的知識結構圖介紹章節(jié)間的關系：

通過簡單的二元一次方程組、三元一次方程組的求解及相應系數行列式的計算，讓學生初步體會行列式在求解線性方程組中的工具性作用，提出學習行列式的目的和意義。通過探索二階、三階行列式中各項正負號與腳標的關系，說明學習排列的意義——為定義行列式做準備。此時，給出行列式的定義，但由于利用定義計算行列式相當麻煩，計算量太大，從而啟發(fā)我們進一步研究行列式的性質，并探索計算行列式的方法，這是本章的重點。最后，給出行列式的應用——利用克拉默法則求解線性方程組。這樣就使行列式整章的主體知識脈絡清晰，對每一節(jié)課所要解決的問題及其在本章中的地位和意義一目了然，使學生的學習動機更有指向性和目的性。 再如線性變換一章，它是研究維向量空間V中元素之間最基本的聯(lián)系，是高等代數中最抽象、最難學的內容。為此，希望找到相對具體的、簡單的工具來研究它，或者將其轉化為熟悉的代數系統(tǒng)來研究。在教學中，一方面滲透將抽象問題具體化、復雜問題簡單化的數學思想方法。另一方面，注意從整體上把握知識構架。這一章共6節(jié)，可以分為兩條主線。

第一條主線 (1節(jié)—3節(jié))：實現了抽象問題具體化，即建立了L(V)?Mn(F)。結構圖如下：

在第2節(jié)中，定義了線性變換的運算——加法、數乘等運算，使線性變換的集合L(V)對于加法和數乘運算做成向量空間。在第3節(jié)中，定義了線性變換關于基的矩陣，將L(V)與Mn(F)聯(lián)系起來，建立了同構映射。這樣就將抽象的線性變換問題轉化為較為具體的矩陣問題，實現了較大意義上的具體化。

第二條主線 (4節(jié)—6節(jié))：實現了復雜問題簡單化。因為同一線性變換關于不同基的矩陣相似，自然地希望選取V的一個基，使得σ關于這個基的矩陣具有盡可能簡單的形式。這就相當于在一切相似的n階方陣中，選出一個形式盡可能簡單的矩陣。不變子空間的引入揭示我們：若V分解成s個在σ之下不變的子空間的直和，則可以適當的選取基，使得σ關于這個基的矩陣有較簡形式。若V分解成n個在σ之下不變的一維子空間的直和，則與σ相當的矩陣就為對角陣。這正是本征值、本征向量和可以對角化的矩陣所解決的問題，從而解決了選基簡化σ關于基的矩陣的問題。整個思維結構圖如下：

這一過程的呈現，主體知識脈絡、結構清晰，層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，可以使學生帶著問題去聽課，不僅增強了學生學習的指向性，同時有助于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題能力，便于學生將新知識納入到已有的知識體系中去。

總之，基于高師?？聘叩却鷶到虒W現狀，需不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，藝術地做老師，不斷創(chuàng)新教法。從教之路，充滿了未知，充滿了挑戰(zhàn)，需用心解讀、用智慧成就。