非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的過程能力分析方法

王雪情

摘要：非正態(tài)過程能力分析的方法的研究一直以來廣受關注。簡要介紹了三種不同的計算非正態(tài)數(shù)據(jù)的過程能力指數(shù)的方法后，針對現(xiàn)有研究的不足，分別使用三種不同的方法計算過程能力指數(shù)，然后根據(jù)計算結果做出了分析和比較，最后將得到的結論應用到實際中進行分析，研究表明：雖然進行非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的過程能力分析的方法很多，但是正態(tài)性轉換的方法不具有穩(wěn)健性，而非參數(shù)的方法的精度雖然不高，但對任何一種分布都是可以使用的。

Abstract： Process capability analysis of the non-normal is becoming an imperative problem. In this paper， three different methods of calculating the process capability index of non-normal data are briefly introduced. Based on the shortcomings of existing research， the process capability index is calculated by three different methods， and then the analysis and comparison are made according to the calculation results. Finally， the conclusions will be applied to the actual analysis. Although there are many ways to estimate process capability of non-normal data， results of the first two ways is not robust. Meanwhile， the parameters are not limited to any kind of distributions whose result is low accuracy.

關鍵詞：非正態(tài)分布；過程能力指數(shù)；Minitab

Key words： non-normal distribution；process capability index；Minitab

中圖分類號：F224.0 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）19-0209-05

0 引言

過程能力指數(shù)（Process Capability Index，PCIs）是用來度量過程能力的相對高低。它開始是由朱蘭提出的，是用公差范圍和過程能力的商值表示，可以用來估計任何時間的過程能力指數(shù)[1]。但是過程能力分析一般要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。但是搜集的數(shù)據(jù)并不都服從正態(tài)分布，所以對于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的過程能力分析變成了一個棘手的問題。

本文介紹了三種不同的計算方法，并對比分析了它們的優(yōu)劣性，并通過實際案例的分析驗證了該結果的有效性。本文是通過Minitab軟件來輔助分析的。

1 非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的過程能力計算方法

1.1 Box-Cox轉換法

此方法使用方便、原理簡單。但是它僅適用于正數(shù)據(jù)，當存在有負數(shù)據(jù)或者0的時候，對原始數(shù)據(jù)的進行處理，做加法變化，使樣本數(shù)據(jù)全部為正，才能使用此方法。同時Box-Cox轉換法還要求對于轉換后的數(shù)據(jù)再次進行正態(tài)性檢驗，有可能轉換后的數(shù)據(jù)仍然不符合正態(tài)分布，那么就不能夠使用此方法，需要選擇另外的方法。

1.2 Johnson轉換法

Johnson轉換法[4]是利用Johnson曲線分布族進行正態(tài)性的變化。它的三個分布可以使用SB（有界）、SL（邏輯）、SU（無界）三種類型表示。這三種不同類型的曲線表達見表1所示[5]。

就一個實際工藝過程，可以依據(jù)以下步驟找到一個合適的Johnson曲線：

①選擇一個合適的z值，然后利用標準正態(tài)表找出對應于{-sz，-z，z，sz}的分布概率P-3z、P-z、Pz、P3z。z值的取值范圍是[0.25，1.25]，所有的z值都是兩位小數(shù)，所以共101個z值，可以將z值一個個進行檢驗找到最適合的z值，也可通過軟件找出最適合z值[6]。

②找出與①中的分布概率值對應的分位數(shù)x3z、x-3z、xz、x-z同時定義m=x3z-xz，n=x-z-x-3z，p=xz-x-z，同時定義分位數(shù)比率QR=。眾多學者發(fā)現(xiàn)只有s=3的時候才能把三種曲線分開，選擇。當QR<1時，選擇曲線SB；當QR=1時，選擇曲線SL，當QR>1時，選擇曲線SU。

③選定曲線后，將z、p、m、n帶入下列曲線的計算公式中，就可以得到正態(tài)轉換方程。

④然后將原始數(shù)據(jù)帶入正態(tài)轉換方程進行變換，得到轉換后的數(shù)據(jù)，對于轉換后的數(shù)據(jù)實行正態(tài)性檢驗，如果服從正態(tài)分布，則按照正態(tài)分布數(shù)據(jù)的方式計算過程能力指數(shù)。

1.3 Clements方法

克萊門茨（Clements）[8]的方法的主要原理是使用百分位數(shù)間距代替過程能力，關鍵之處在于使用皮爾森（Pearson）分布體系和原始數(shù)據(jù)的分布形態(tài)進行對比，然后確定原始數(shù)據(jù)的皮爾森分布族相匹配的的百分位點。一般使用樣本數(shù)據(jù)的上下0.135%分位數(shù)的間距來表示過程能力，然后推導出過程能力指數(shù)變異公式[9]：

其中，X99.865代表小于此數(shù)的數(shù)據(jù)占整個數(shù)據(jù)的99.865%，大于這個數(shù)的數(shù)據(jù)占整個數(shù)據(jù)的0.135%，X0.135代表小于這個數(shù)的數(shù)據(jù)占整個數(shù)據(jù)的0.135%，大于此數(shù)的數(shù)據(jù)占整個數(shù)據(jù)的99.865%，USL代表工藝要求的上限水平，LSL代表工藝要求的下限水平。

該方法深入淺出、使用方便，不用對原始分布數(shù)據(jù)進行多重的轉換，并且直觀表示了過程能力，適用范圍寬，沒有任何條件限制。但是缺點也有很多：可信度不高、需要的樣本數(shù)據(jù)多。但是它作為粗略估計不失為一種不錯的方法。

1.4 模擬仿真分析

本小節(jié)使用Minitab軟件生成兩組不同的隨機數(shù)據(jù)各生成隨機數(shù)據(jù)1000個，其中卡方分布的自由度為2，對數(shù)正態(tài)的形狀參數(shù)為1，位置參數(shù)為3，閾值為0、對數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)的上下限分別為130、0.3。根據(jù)非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的過程能力計算步驟首先對這兩組數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗，結果如圖1和圖2。由兩個圖中可以看出P值都<0.005，所以這兩組分布為非正態(tài)分布，需要將其數(shù)據(jù)進行處理后才能進行過程能力指數(shù)的計算。所以本次采用適合這種情況的三種不同的方法進行計算。

1.4.1 Box-Cox轉換法的模擬計算

使用Box-Cox轉換法的計算兩組數(shù)據(jù)結果如圖3和圖4所示。

由圖3可以看出Cp和Cpk接近，而且都大于1?？芍^程能力尚可。

由圖4可以看出Cp滿足工藝要求，但是Cpk很小，可知過程能力嚴重不足，而且是由于過程中心u偏離公差中心M。

1.4.2 Johnson轉換法的模擬計算

首先使用Johnson轉換法計算卡方分布數(shù)據(jù)的非正態(tài)分布的過程能力指數(shù)，計算結果如圖5所示。

由圖5的計算結果可以看出，PP很小，說明該分布的過程能力不足。

然后使用Johnson轉換法計算對數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)的非正態(tài)分布的過程能力指數(shù)計算結果如圖6所示。

從兩組隨機數(shù)據(jù)特征可以看出數(shù)據(jù)都在上下限范圍內，所以理論上過程能力應該很高，但是Johnson轉換法和Box-cox轉換法必須判斷它們是否能夠將數(shù)據(jù)轉換成正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，如果不能轉換，那方法就會失效。但是如果能夠轉換的前提下，這兩種方法所獲得的精確度將比Clements方法高。Clements方法使用雖然沒有任何的限制條件，但是它計算的能力指數(shù)變化較大，穩(wěn)健性不強。

2 實證研究

2.1 案例介紹

本文案例采用的是某公司在生產過程中所得到的電子產品的功率大小和標準功率的差異的100個數(shù)據(jù)（見表3）。它的上下限分別為0.4W和0.287W。

由圖12可知，過程能力計算Cpk=0.22。

2.6 結果分析

本章通過實際案例的研究，利用Box-cox轉換法和Johnson轉換法得到了兩個相似的結果，而使用Clements方法得出的結果明顯比這兩個正態(tài)性轉換的方法得到的結果小，但是這三個結果和直接計算的結果Cpk=0.22都有差距。

所以這三種方法都具有有效性。而由于該公司行業(yè)領先水平，所以其過程能力應該不錯，就本例來說，直接按照正態(tài)分布進行計算得到的過程能力指數(shù)很小，說明工作嚴重不足，而按照本研究提出的方法得到的過程能力指數(shù)比較好，工藝過程符合實際生產水平，這就符合該公司所代表的質量水平。所以在進行實際生產的過程能力評估的時候，應該尊重實際數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，以免給生產工藝水平造成誤判。

參考文獻：

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[8]Clements J A.Process capability calculations for non-normal distributions [J].Quality Progress，1989，22：95-100.

[9]Yum B J， Kim K W. A bibliography of the literature on process capability indices： 2000–2009[J]. Quality and Reliability Engineering International， 2011， 27（3）： 251-268.