以“向量”為例談高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)

吳夢(mèng)佳

[摘 要] 概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，本文以向量為例，探討了在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生把握概念的本質(zhì)，如何提升學(xué)生對(duì)概念的理解.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；向量；概念教學(xué)

概念是人類認(rèn)識(shí)活動(dòng)的產(chǎn)物，是對(duì)客觀存在最為本質(zhì)屬性的反映. 此外，概念還是人類思維形式最為基本的構(gòu)成單元，是進(jìn)行判斷和推理的重要元素.從數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，概念是一種能夠反映研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)內(nèi)容的思維形式，因此數(shù)學(xué)概念是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，清晰而準(zhǔn)確的概念認(rèn)識(shí)是學(xué)生進(jìn)行正確思維的基本前提，也是提高學(xué)生解題能力的基本條件. 所以，高中數(shù)學(xué)教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，下面筆者以向量的概念教學(xué)為例，介紹一下筆者在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中一些思考.

向量的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生關(guān)鍵性任務(wù)是把握向量的雙重身份——數(shù)與形，并形成以向量法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本意識(shí)，在這一系列教學(xué)任務(wù)中，向量的概念有著舉足輕重的作用.

在實(shí)際教學(xué)中，很多教師認(rèn)為教材有關(guān)向量的各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容安排條理非常清晰，雖然概念多了一些，但是教學(xué)難度不大.學(xué)生卻不這么認(rèn)為，在他們看來(lái)，向量和他們以往接觸的數(shù)學(xué)內(nèi)容大相徑庭，抽象程度很高，因此學(xué)習(xí)難度不小，而其中概念繁多、難以理解就是其學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一. 事實(shí)也是如此，向量既有大小又存在方向，與學(xué)生之前的所學(xué)存在差別，因此初學(xué)之際，學(xué)生難免會(huì)有不習(xí)慣的感覺(jué)，而且如果教師教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有施以恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，他們自然會(huì)感到索然無(wú)味、模糊不清. 對(duì)于這一點(diǎn)，教師要善于發(fā)現(xiàn)向量概念體系的基本特點(diǎn)，要深刻領(lǐng)會(huì)向量與物理學(xué)習(xí)之間的關(guān)聯(lián)性，從而促成學(xué)生進(jìn)行類比和聯(lián)想，積極發(fā)揮遷移思維的優(yōu)勢(shì)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，系統(tǒng)化地理解和掌握向量的概念.

正確把握向量概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)教材有關(guān)向量的介紹實(shí)際上主要屬于自由向量，具有一定的抽象性.教材從位移和速度等具體的實(shí)例出發(fā)，從中抽象出向量的基本概念，并使用有向線段對(duì)向量進(jìn)行描述. 但是依托于物理模型來(lái)導(dǎo)入向量，并采用有向線段進(jìn)行描述的應(yīng)該屬于固定向量，這樣的處理就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生形成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：即起點(diǎn)、大小和方向這三個(gè)要素就決定了向量. 這一認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生主要源于學(xué)生將向量等同于物理學(xué)中的矢量，是一種思維定式的錯(cuò)誤.

為了幫助學(xué)生突破上述障礙，正確把握向量的本質(zhì)性概念，教師可以通過(guò)讓學(xué)生自己在畫圖操作中感悟向量的概念，也可以通過(guò)幾何畫板等多媒體演示平臺(tái)來(lái)為學(xué)生展示多樣化的向量，從而讓學(xué)生在圖形中對(duì)相等向量進(jìn)行辨析，由此來(lái)加深學(xué)生對(duì)相等向量、同（反）向向量、共線向量、相反向量等一系列概念的對(duì)比和理解，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量關(guān)系進(jìn)行比較和判斷. 此外通過(guò)畫圖，學(xué)生能明確平行向量所描述的是向量方向之間的關(guān)系，而長(zhǎng)度則是對(duì)向量大小的表述，而且相等向量與平行向量的關(guān)系、共線向量與平行向量的關(guān)系，這些都不是由物理知識(shí)直接衍生而出的. 但是學(xué)生通過(guò)畫圖，采用數(shù)形結(jié)合的思想能夠形成較為鮮明的認(rèn)識(shí)，比如在圖形中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)任何一對(duì)相等的非零向量，均可采用一根有向線段來(lái)進(jìn)行表示，而這又與向量的起點(diǎn)沒(méi)有關(guān)系，這些都是向量的本質(zhì)，也是移動(dòng)向量的理論基礎(chǔ).

突出向量的物理與幾何背景，增強(qiáng)直觀性與可接受性

數(shù)學(xué)理論有著這樣的特征，它源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，并將最終應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).這就意味著我們的教學(xué)必須要加強(qiáng)數(shù)學(xué)理論和現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系. 因此，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的概念，體會(huì)其本質(zhì)時(shí)，我們要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量在生活中的存在和應(yīng)用.

課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)于向量的教學(xué)提出以下要求：向量的概念教學(xué)應(yīng)該從物理和幾何這兩個(gè)層面入手，其物理方面的背景是力、速度、位移等物理矢量概念，而在幾何方面，向量的表現(xiàn)為有向線段. 對(duì)學(xué)生來(lái)講，了解并領(lǐng)會(huì)向量概念的物理和幾何背景，有助于學(xué)生把握向量概念的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生將向量應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的處理之中. 當(dāng)然教學(xué)過(guò)程中，教師要充分聯(lián)系學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從學(xué)生熟悉的物理矢量入手，比如力和速度等等，對(duì)那些要到高一后階段才學(xué)習(xí)的電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等矢量要回避，因?yàn)橐环矫孢@些物理量學(xué)生很陌生，另外這本身也屬于更加抽象的物理概念，學(xué)生的理解本身就存在困難，以此引導(dǎo)學(xué)生掌握另外一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，相當(dāng)于緣木求魚.

因此，筆者認(rèn)為我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)向量概念時(shí)，最好從教材出發(fā)，因?yàn)榻滩脑谶@一章的設(shè)計(jì)還是非常貼近學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的. 它通過(guò)日常生活中有關(guān)“位置”的確定開始，提出位移的這個(gè)概念，由此引出向量的意義；然后，教材再通過(guò)力、速度、加速度等概念作為背景素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析這些物理量的共同特點(diǎn)，明確它們既有大小又有方向的相同點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)向量概念的引入；在此基礎(chǔ)上，教師再結(jié)合有向線段來(lái)為向量提供幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生定義向量的模、單位向量等概念. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生結(jié)合自己的知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)完成向量概念的建構(gòu)，從而增強(qiáng)其直觀性和可接受性.

案例：向量夾角概念引入時(shí)，教材是以功的概念來(lái)切入的：W=Fscosθ，該式中的θ為力F與s的夾角，這也就是向量之間的夾角. 由此引導(dǎo)學(xué)生形成定義：兩個(gè)非零向量a和b，設(shè) =a， =b，則有∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）可以叫作向量a和b的夾角. 教材在此只用了簡(jiǎn)短的一句話就對(duì)向量的夾角進(jìn)行了概括，對(duì)于初次學(xué)習(xí)向量的學(xué)生而言，深刻對(duì)其進(jìn)行理解是存在一定難度的. 教師在對(duì)概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要善于從增強(qiáng)直觀性和可接受性的角度入手，畫出不同位置的兩個(gè)向量的圖，讓學(xué)生結(jié)合概念進(jìn)行辨析，從而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀化的圖形來(lái)理解向量夾角的關(guān)系，深刻體會(huì)不同的位置關(guān)系會(huì)形成不同的夾角. 在豐富的感性體驗(yàn)的刺激下，教師可以進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)向量夾角的概念進(jìn)行剖析和理解，即要比較夾角關(guān)系就必須將兩個(gè)向量平移到一個(gè)共有的起點(diǎn)位置，這一處理有助于學(xué)生理解新的向量.

向量幾個(gè)關(guān)鍵概念的辨析

向量概念繁多，因此對(duì)于學(xué)生易于發(fā)生混淆的概念，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)突破.

1. 自由向量

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們所研究的向量是自由向量，此種向量只有大小與方向兩個(gè)要素，并且無(wú)需對(duì)向量的背景內(nèi)容進(jìn)行考慮. 換言之，當(dāng)我們采用有向線段對(duì)向量進(jìn)行表示時(shí)，它們的起點(diǎn)可以隨意進(jìn)行選擇，等長(zhǎng)且方向相同的有向線段就是對(duì)同一個(gè)向量的表示. 使用代數(shù)坐標(biāo)的方式來(lái)表示向量時(shí)，如果同一個(gè)平面坐標(biāo)系中有兩個(gè)方向相同且大小相等的向量，那么它們就可以采用同一個(gè)有序?qū)崝?shù)進(jìn)行表示. 因此，自由向量不僅僅只是對(duì)物理學(xué)中各類矢量的進(jìn)一步抽象化的概括，它也是將數(shù)學(xué)中的向量與物理學(xué)科的矢量進(jìn)行了區(qū)別. 同樣也正是因?yàn)樽杂上蛄康某霈F(xiàn)，這為我們采用向量來(lái)解決解析幾何、立體幾何的問(wèn)題大開方便之門. 所以在實(shí)際教學(xué)中，我們一開始就要向?qū)W生滲透自由向量的基本概念，并在學(xué)習(xí)的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生逐步深化.

2. 零向量

零向量是高中數(shù)學(xué)中最為特殊的一種向量，教材中對(duì)其進(jìn)行定義之后，就沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的解釋與辨析，特別是在研究向量的垂直關(guān)系時(shí)，蘇教版的教材是這樣進(jìn)行定義的：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為90°時(shí)，我們稱兩個(gè)向量垂直. 在描述垂直概念時(shí)，相關(guān)陳述明顯是針對(duì)非零向量進(jìn)行表述的，至于零向量的垂直關(guān)系，教材未曾細(xì)加說(shuō)明，這是一種回避策略. 筆者認(rèn)為，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不能局限于教材本身，而應(yīng)該有創(chuàng)新和重構(gòu)的勇氣，因?yàn)榻滩牡幕乇芡鶗?huì)導(dǎo)致學(xué)生在非零向量垂直問(wèn)題上出現(xiàn)模糊不清的誤解，這將阻礙學(xué)生形成清晰化的知識(shí)結(jié)構(gòu). 此外，筆者認(rèn)為適當(dāng)?shù)匾肓阆蛄康母拍钸€有助于學(xué)生后期高等數(shù)學(xué)的繼續(xù)學(xué)習(xí).

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生探索概念的形成過(guò)程，由此深刻把握其內(nèi)容本質(zhì)，同時(shí)教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的知識(shí)背景，由此增強(qiáng)概念的直觀性和可接受性，相信這樣的處理能夠有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，習(xí)得數(shù)學(xué)方法.