基于“三個理解”下的習題課教學

黃彩林

[摘 要] 當前相當部分的習題課教學現(xiàn)狀為：學生學習過程單一、活動機械；留給學生“悟”的時間太短，甚至沒有，直接進行題海轟炸. 殊不知教師的教應(yīng)建立在學生的學的基礎(chǔ)上，教學生怎樣思考才是教師教學的首要任務(wù).筆者在“三個理解”的指導下，通過分層遞進地設(shè)計習題，利用溯源抓根本，開放設(shè)問適度拓展，有效地幫助學生更好地在課堂上舉一反三、觸類旁通，教學效果好.

[關(guān)鍵詞] 適度拓展；分層遞進；三個理解

眾所周知，我們組織習題課教學，旨在強化重點知識，突出考點，強化能力. 在特定的單位時間內(nèi)，完成課標規(guī)定的教學內(nèi)容，選用合適的呈現(xiàn)方法及策略，但現(xiàn)實中要取得好的教學效果往往不盡人意. 人民教育出版社中學數(shù)學室編審章建躍博士指出：一節(jié)好課到底好在哪里？這樣的好課是怎么成長起來的？它的基礎(chǔ)在哪里？這是一個值得從教育學、心理學乃至社會學、哲學等各種角度去探討的問題. 但從最基本的層面看，從“一堂數(shù)學課”的角度看，筆者認為還是在“三個理解”，即：理解數(shù)學、理解學生、理解教學.

基于以上認識，筆者通過精心設(shè)置習題鏈，分層遞進，通過溯源抓根本，開放設(shè)問適度拓展來組織教學，學生反響不錯. 下面以“根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式”為例加以說明.

教學實錄

1. 從根本出發(fā)

（1）在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式是__________.

（設(shè)計意圖：通過此題，引導學生回顧等差數(shù)列的基本概念，揭示遞推關(guān)系與通項公式的關(guān)系，學生稍加思索就能答出.）

生1：已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），易得a2=7，a3=12，a4=17，…，觀察得出an=5n-3.

生2：an+1=an+5可化為an+1-an=5，由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列{an}是公差為5的等差數(shù)列，故an=5n-3.

生3：an+1=an+5可化為an+1-an=5，寫出a2-a1=5，a3-a2=5，…，an-an-1=5，將上述等式累加，得an=5n-3.

（以上3位學生的回答，反映了學生在不同的認知水平及解決問題的能力差異，呈現(xiàn)了學生對等差數(shù)列概念的理解程度.）

師：很好！這三個途徑均能很好地解決這個問題，生2根據(jù)等差數(shù)列的定義直接算出結(jié)果，速度較快.這類通過數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項公式在考試中較常見，本節(jié)課我們來共同探討如何求數(shù)列的通項公式. 請同學們思考第（2）題.

（2）在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=5a1（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式是__________.

（設(shè)計意圖：類比（1），使學生通過類比思考，達到知識技能的正遷移.）

生4：an+1=5an可化為 =5，由等比數(shù)列定義可知數(shù)列{an}是首項a1=2，公比為5的等差數(shù)列，故an=2×5n-1.

教師巡視課堂發(fā)現(xiàn)大部分學生均采用這種方法.

師：不錯，看來同學們已經(jīng)學會了采用較為優(yōu)化的方法解決本題，但老師有兩個問題想問大家，一是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式是如何得到的？二是你能一眼看出遞進關(guān)系得出其是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎？

生5：我只知道記通項公式，至于其是怎么推導的，忘記了.

生6：遞推關(guān)系應(yīng)該有很多，具體化簡得到什么樣的結(jié)果還有待進一步探討，具體還不是很了解.

師：那好，讓我們再次回顧課本中等差、等比數(shù)列的由來，請同學們用心領(lǐng)會其蘊含的數(shù)學思想方法.

2. 回歸課本，溫故知新

（1）引導學生回顧課文（人教A版必修5課本第37頁）

PPT展示：

等差數(shù)列通項公式的推導

如果等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，將上述n-1個式子累加可得等差數(shù)列的通項公式：an=a1+（n-1）d.

（2）引導學生回顧課文（必修5課本第50頁）等比數(shù)列通項公式的推導

課本是通過探究，類比等差數(shù)列通項公式的推導得出其通項公式.

如果等比數(shù)列{an}的首項是a ，公比是q，則據(jù)其定義可得：

=q， =q， =q，…， =q，將上述n-1個式子累乘可得等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1.

師：高考題源于教材，高于教材，請同學們要好好領(lǐng)悟課本中公式的來龍去脈及所蘊含的數(shù)學思想方法.

3. 拓展探究

師：根據(jù)前面所學，思考探究.

PPT展示：拓展探究：在數(shù)列數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=（ ）an+（ ）（n∈N*），在（ ）中填入合適的內(nèi)容，構(gòu)成新的遞推關(guān)系，并根據(jù)遞推關(guān)系討論求出數(shù)列通項公式的方案.

生7：a1=2，an+1=an+2015（n∈N*），顯然我構(gòu)造了一個首項為2，公差為2015的等差數(shù)列，an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2015=2015n-2013.

生8：a1=2，an+1=8an（n∈N*），我構(gòu)造了一個首項為2，公比為8的等比數(shù)列，an=a1qn-1=2×8n-1.

師：同學們可以歸納下上述2位同學的做法嗎？

生9：剛才兩位同學所得的遞推關(guān)系與（1）（2）差不多，待入的數(shù)值均為常數(shù)，通過轉(zhuǎn)化，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，進而求出通項公式.

師：很好，這些可歸為一類簡單問題，同學們還有其他想法嗎？

生10：我的想法是將題目改為這樣a1=2，an+1=an+n（n∈N*）.

師：不錯，此時數(shù)列{an}還是等差數(shù)列嗎？此類問題又應(yīng)該怎樣解，同學們討論下.

生11：不是，因為an+1-an=n，其差值為一變量. 可仿照累加法推導等差數(shù)列通項公式得出通項. 具體為：a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，將以上n-1個算式相加可得an= .

師：不錯，同學們還可以將些問題更為一般化嗎？

生12：教材中等差數(shù)列通項公式的推導均可歸納為an-an-1=f（n-1）型. 算法如下：若an-an-1=f（n-1）（n≥2），則a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），a4-a3=f（3），…，an-an-1=f（n-1），將式子列出后，累加可得an-a1= f（i）.

展示同學們自編的三道題：

題目1：在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求an.

生13：設(shè)an+λ=3（an-1+λ），an=3an-1+2λ，對比an=3an-1+2，得λ=1，所以an+1=3（an-1+1），所以數(shù)列{an+1}是首項為a1+1=2，公比為3的等比數(shù)列，an=2×3n-1-1. 再進一步思考，將題目中常數(shù)3和2換為變量，那不是更加一般啦.

師：不錯，我們可以將之稱為an+1=pan+q型. 對于此類問題，我們一般采用待定系數(shù)法，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列來解決. 類比題目1的解題過程展示如何用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等比數(shù)列的過程.

題目2：在數(shù)列數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1= an（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式.

生14：由a1=1，an+1= an（n∈N*），有 = ，故

= ， = ， = ，…， = ，將以上n-1個算式相乘可得an=n.

師：不錯，同學們還可以將以上問題更一般化嗎？

生15：歸納為 =f（n-1）型. 算法如下：若 =f（n-1）（n≥2），則 =f（1）， =f（2）， =f（3），…， =f（n-1），將式子列出后，累乘可得 = f（i）.

題目3：在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式.

生16：a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），有 = +2， - =2，故數(shù)列 是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，得 =1+（n-1）×2=2n-1，an=（2n-1）×2n.

師：同學們通過主動探索得到不同形式的遞推關(guān)系，通過等價化簡構(gòu)造相應(yīng)的等差、等比數(shù)列，進而得出通項.

4. 真題呈現(xiàn)

探究1：數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），則數(shù)列 的通項公式為_________.

投影展示并點評：

由a1=1，an+1-an=n+1（n∈N*）得

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n= ，則 = .

探究2：已知數(shù)列{an}的首項a1= ，an+1= ，n=1，2，…，求{an}的通項公式.

投影展示并點評：

因為an+1= ，所以 = + ，所以 -1= -1.

又 -1= ，所以 -1是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，

所以 -1= · = ，所以an= .

探究3：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*），設(shè)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式.

投影展示并點評：

依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，

由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）. 因此，所求通項公式為bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.

5. 回顧反思

師：本節(jié)即將結(jié)束，請你就根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項談?wù)勀愕氖斋@？

引導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，繪制思維導圖.

教學思考

1. 課堂教學的預設(shè)要基于三個理解設(shè)計

“理解數(shù)學”上具有高水平，這是一堂好數(shù)學課的前提條件. 因此教師要善于挖掘數(shù)學知識蘊含的價值觀資源，并能以與學生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式表達出來，以恰當?shù)姆绞絺鬟_給學生，才能有效地實現(xiàn)數(shù)學課程的育人目標.

“理解學生”，核心是理解學生的數(shù)學認知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律. 本節(jié)執(zhí)教的班級為A類班級，學生具有一定的自主學習能力. 因此本節(jié)分層遞進，引導學生一步一步地由等差、等比數(shù)列的通項公式引發(fā)一系列的思考，并及時地進行了歸納總結(jié). 給充足的時間讓學生獨立自學、自主探究，促學生更好地感悟數(shù)學.

“理解教學”是對數(shù)學教學規(guī)律的認識和教學機智的敏銳水平. 理解數(shù)學、理解學生是把數(shù)學教好，發(fā)揮數(shù)學的育人功能的前提條件. 本節(jié)教學量體裁衣，將教學內(nèi)容、師生互動、生生交流完滿結(jié)合，促學生在對話交流中完成對本節(jié)數(shù)學知識的理解，很自然地實現(xiàn)教學目標的達成.

2. 課堂教學的流程要找到適合學生思維生長的源頭

建構(gòu)主義學習理論認為，學習過程是學習者建構(gòu)自己的知識經(jīng)驗的過程，而建構(gòu)在于學習者通過新舊經(jīng)驗的相互作用來發(fā)展自己的知識經(jīng)驗. 本節(jié)通過兩道等差、等比數(shù)列的等價定義題作為引例再回歸課本，使學生清晰理解等差、等比數(shù)列通項公式的來龍去脈，在此基礎(chǔ)上引導學生自主增添變量，自主拓展歸納題型，并進行高考真題演練. 由此找到等差、等比數(shù)列通項公式這個源頭，更好地幫助學生理解累加、累乘法在具體解決數(shù)列中的運用；引導學生從知識技能及數(shù)學思想層面進行系統(tǒng)歸納，進而提高學生解決類似數(shù)學問題的能力.