精選例題資源 提升教學品質(zhì)

蔣昊

[摘 要] 高考題或模擬試題是經(jīng)過命題者反復思考醞釀的，一般都具有較高的研究價值和教學運用價值. 在高三課堂教學中，教師應該充分研究歷年試題，不要單純以“新舊”作為選題的標準，應站在發(fā)展學生數(shù)學思維的高度，篩選出經(jīng)典問題作為我們例題教學的素材，從而提升高三復習課的教學品質(zhì).

[關鍵詞] 例題；高考題；教學

問題提出

“例題教學”是中學數(shù)學教學的核心，是學生完善知識體系，培養(yǎng)應用能力的重要途徑，是教師必備的教學能力之一. 做好例題教學的關鍵是選好題，而選擇什么樣的例題？題目的出處是哪里？這些也是需要教師認真思考的問題.高考題或模擬試題是經(jīng)過命題者反復思考醞釀的，一般都具有較高的研究價值和教學運用價值. 教師在充分研究試題的基礎上，深入挖掘題目內(nèi)涵，加強對解題方法的提煉、總結(jié)和歸納，這樣才能上出高效的高三復習課. 此外，選題時不應只關注近年來的高考題或模擬題，只要是經(jīng)典問題，能反映課堂教學主線的都是好題，可以選用. 教師切忌以“新舊”作為選題的標準. 在高三二輪復習時，筆者以1995年全國高考理科卷第26題為載體與學生一起探究此題的解法，并提煉出求解軌跡方程的一般方法. 現(xiàn)將教學過程及感悟記錄如下與同行交流.

試題評析

題目：已知橢圓 + =1，直線l： + =1，P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

本題是一個解幾綜合題，涉及蘇教版必修二（第2章）“平面幾何初步”和選修1-1（第2章）“圓錐曲線與方程”的相關知識. 其中涉及的“直線的方程”在高考中為C級要求，“中心在坐標原點的橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)”為B級要求. 解答本題關鍵為利用“OQ·OP=OR2”此條件解得Q點軌跡方程. 學生解答此題的難度主要有：（1）學生讀題作圖有一定的障礙；（2）從通法著手本題擁有的計算量較大；（3）在解答中會忽視對原點的考慮. 綜上認為此題為中檔題. 此題為考查學生靈活運用所學知識分析問題和解決問題能力的一道好題，通過此題能很好地體現(xiàn)軌跡問題的求解策略，是例題教學中的好素材.

課堂實錄

基于上述對本題的理解，結(jié)合執(zhí)教學校的校情，筆者考慮設計了以“軌跡方程求解策略”為教學主線，將“以閱讀為基礎，以討論為鋪墊，以引導為突破，以點評為關鍵”的教學理念貫穿課堂. 把課堂教學分為“閱讀題意—預設方案—執(zhí)行方案—反思提升”四個教學環(huán)節(jié).

師：同學們，為了加深大家對軌跡方程常用求法的理解與運用，這節(jié)課我將與大家共同研究一道高考題. 在研究題目之前，請大家先看這樣一個簡單的問題（投影展示圖1）. 圖中三點Q，P，R滿足OQ·OP=OR2，你能找到它們坐標之間的關系嗎？

圖1

生1：由兩點間距離公式可找到這組關系：x +y = · （板書）.

生2：由Q，P，R三點共線得到： = = .

生3：分別作Q，P，R三點的垂線后，利用三角形相似可以得到：xP·xQ=x ，yP·yQ=y （板書）.

生4：我同生3一樣是利用三角形相似得到x = xQ，yP= yQ（板書）.

師：說得很好，有沒有同學替生4補充一下R點坐標與Q，P坐標之間的關系呢？

生5：把生4得到的關系式代入生3得到的式子中即可得到x = x ，y = x （板書）.

師：非常好，對于這個問題同學們都有自己的想法和收獲. 今天我們就在此圖的背景下來看講義上的這道高考題（投影展示原題及圖2）.

圖2

設計意圖：本組問題的設計是基于學情的考慮.將原題的模型做適當?shù)姆纸?，抽離出一個條件較為單一，入手較為容易的小問題，會更便于學生接受和解決此題，這也符合學生步步為營，逐步加深的認知規(guī)律.需要指出的是，對于從原題中抽離出的這個問題理解把握得是否到位也是最終能否解決這道高考題的關鍵.

1. 獨立閱讀，審清題意

師：請同學們在讀題時思考從題目中你能讀到哪些條件信息？有哪些隱含條件？并嘗試畫出簡圖（停頓5分鐘）.

生6：題目已知條件中包含一個等式：OQ·OP=OR2，兩個方程： + =1和 + =1，還隱含了射線OP與橢圓只有一個交點Q，以及直線與橢圓的位置關系還有OQ

師：很好，生6洋洋灑灑把題目中的許多條件和隱含條件都羅列出來了，有沒有同學想替他補充補充的？

生7：我們黑板上一開始分析的這四組關系式也是題目的隱含條件.

師：嗯，我們不能忽視了先前的勞動所得.那就請你上來把圖再畫給大家看看.

（生7：上來板演作圖）

設計意圖：讀題審題是做題答題的基石，對題意是否理清關系著學生解題思維能否打開，是不容忽視的步驟. 讓學生自己闡述審題結(jié)果利于學生再一次對條件信息進行強化，同時也便于教師發(fā)現(xiàn)學生忽略掉的關鍵信息進而加以引導，譬如上述板書中的四組關系式. 對于解析幾何問題，作圖十分重要，這是學生將題目從文字、符號語言翻譯成圖形語言的關鍵一步，是由抽象到具象必不可少的一個環(huán)節(jié).

2. 小組交流，預設方案

師：圖畫得很標準！我們已經(jīng)把題意做了簡要的梳理，下面大家就展現(xiàn)各自的聰明才智，在學習小組內(nèi)交流自己的想法，每組試著預設一個解決此題的方案，供我們接下來交流. （停頓10分鐘，教師到各組巡視參與交流討論）

師：好的，看出來有些組已經(jīng)躍躍欲試，想發(fā)表自己的想法了. 哪組先來說說看？

生8：我們組發(fā)現(xiàn)題目中要求的是點的軌跡，所以首先想到直接法求軌跡方程一般步驟.

師：好的，那我們大家一起來回憶下具體步驟.

生（群答）：建系→設點→發(fā)現(xiàn)等量關系→代入→化簡.

師：建系已經(jīng)完成，那請你繼續(xù)說說步驟中的“設點”你們是如何處理的？

生8：步驟中的設點是設所求點Q的坐標，P，R點也用字母表示出來了.

師：你們又找了哪個等量關系？

生8：是之前由OQ·OP=OR2推得的第一組關系式：x +y = · .

師：最終求得的Q點的軌跡方程中只應包含哪些字母？

生8：xQ，yQ.

師：那么你們考慮如何處理P，R的坐標？

生8：用xQ，yQ來表示等式中的xP，yP，xR，yR. 把xQ，yQ當成已知量，找到關于xR，yR的兩個方程，聯(lián)立方程組把xR，yR表示出來. 我們選擇的一個方程是 + =1，另一個方程是黑板中四組關系式中的第二組關系式即由O，Q，R三點共線得到 = . 至于xP，yP可由 = 與 + =1聯(lián)立表示.

師：好的，這是他們設計的方案?。ń處熢诨拥耐瑫r，利用已有板書完成思維導圖1）

思維導圖1

師：其他組有沒有與之不同的方案？

生9：我們組的方案和他們不一樣！首先我們找的等量關系就不同！

師：你們找的是哪個等量關系？

生9：由點P在直線l上得到： + =1.

師：請你繼續(xù)分析，接下來你們是如何設計的？

生9：要得到xQ，yQ的關系式，必須用xQ，yQ來表示等式中的xP，yP，于是我們想到了黑板上的第三組關系式，將其帶入，發(fā)現(xiàn)式中還有xR，yR，于是和前一組同學一樣考慮將 = 與 + =1聯(lián)立方程組把xR，yR用xQ，yQ表示出來再代入.

師：好的，這是他們這組設計的方案. （教師在互動的同時，利用已有板書完成思維導圖2）

思維導圖2

設計意圖：通過充分的小組合作交流，上述的兩種方案學生應不難發(fā)現(xiàn).方案一屬直接法，方案二屬相關點法，均為求軌跡方程的常用方法. 在此過程中，要給學生充分展示的機會，學生能一氣呵成地將方案表述出來時就應該把課堂讓給學生，教師無須多言. 若學生理不出頭緒或表述不清則可通過師生互動，以問題串的形式引領學生找到問題的突破口. 這種互動不應是教師讓學生如何如何做，而是通過合理巧妙地設問，引導學生自主發(fā)現(xiàn)解決問題的切口. 這個過程切忌牽強，應當自然，可接收. 在本環(huán)節(jié)，筆者通過學生的預設方案，整理出兩個思維導圖，便于讓沒有思路的學生直觀感受解題路徑，讓有思路的學生對方案更加清晰深刻. 就新課程理念而言，學生自己找到解決問題的方案并口述出來，這不單單有利于提高數(shù)學思維，體會解題方法，也能更好地調(diào)動學生的主動性、積極性，全方位體現(xiàn)學生的課堂主體性.

3. 執(zhí)行方案，規(guī)范過程

師：還有沒有其他不同方案了？（部分同學搖頭示意）我們通過小組交流，較為集中地得到了上述兩個預設方案，那這兩個方案可不可行呢？下面請每位同學實施各組設計的方案，看看最終能否得到正確的結(jié)果？（教師巡視，請兩位同學生10、生11將自己執(zhí)行方案的過程上黑板板演，8分鐘后）

師：同學們已經(jīng)完成好了，我們一起來看看黑板上兩位同學方案執(zhí)行的情況. （部分同學發(fā)現(xiàn)問題低聲交流起來）兩位同學完成的情況一做比較，有些同學就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題了. （生10自己舉手示意發(fā)言）好的，就你給自己“號號脈”吧！

生10：我做的過程里斜率沒有分類考慮，另外點Q的橫縱坐標不會同時為0，所以應該在軌跡中去除坐標原點.

師：這個“脈”號得很準！那請你再說說你哪些地方的處理是值得肯定的？（生10搖頭示意）

師：老師覺得你對二元二次方程2x +3y -4xQ-6yQ=0的處理就很到位，通過巧妙配方讓大家一眼就看出點Q的軌跡與橢圓有關，值得表揚?。ㄉ?0靦腆地笑了）每位同學對照自己的執(zhí)行情況，看看生10提出來的問題是否都注意到了.

設計意圖：在“例題教學”過程中，教師往往重視思路分析（預設方案），輕視解法呈現(xiàn)（執(zhí)行方案），而教學實踐中很多學生想得明白卻難做對做全. 教師應該預估出學生執(zhí)行過程中會出現(xiàn)的問題，對出現(xiàn)的問題不能漠視應及時解決. 譬如此題中“斜率的討論”“去除原點”“二元二次方程的配方”都是學生的易錯點. 至于學生出錯點以什么方式解決？筆者以為以學生“自主反思”的形式發(fā)現(xiàn)為最佳. 學生出的毛病讓學生自己發(fā)現(xiàn)并解決，教師不該輕易告知，包辦代替. 這樣處理，學生在腦海中的記憶才深刻，才能真正弄明白“錯在哪兒”“為什么錯”“如何糾正才對”. 此外，在點評時教師通常會突出“錯誤”，忽視“妙處”.對學生處理得巧妙的地方應加以肯定，增強學生自信心，也有利于學生加深對類似問題處理時的印象.

4. 點撥建構，反思提升

師：通過同學們的實踐操作發(fā)現(xiàn)這兩組同學預設的方案都是正確可行的，那我們試著來找找這兩種方案在解題思路上有什么相同的地方.

生11：他們都是先從一個等式著手，然后在等式處理過程中，只保留xQ，yQ，都是依托條件設法消去其他參數(shù). （板書：找等式入手，依條件消參）

師：總結(jié)得很好！按照這樣的解題策略，我們還能有其他的方案嗎？（停頓8-10分鐘，小組交流）

生12：我們組發(fā)現(xiàn)也可從等式 + =1入手，類似方案2那樣消參解決問題.

師：好的，得到最終結(jié)果了嗎？

生12：得到了，和前兩個方案的結(jié)果是一致的！

師：很好，還有沒有其他方案了？

生13：我的方案比他們都簡單！

師：你說說看，你的方案簡單在哪兒？

生13：我借助方案2、3，從等式 + = + 入手.

師：那如何消參的呢？

生13：我利用了黑板上的第四組關系式xP= xQ，yP= yQ，x = x ，y = y ，代入之后成功消去了參數(shù)，點Q的軌跡方程就是 + = + . （教師在互動的同時，利用已有板書完成思維導圖3）

思維導圖3

師：說得真好，原來直線方程的左式等于橢圓方程的左式即為所求點Q的軌跡方程. 這種方法真是太巧妙了！那么這是一種偶然，還是一個必然的結(jié)果？我們把橢圓和直線的方程一般化，點Q的軌跡方程是否依然只需將直線方程的左式等于橢圓方程的左式就可得到？請同學們思考變式1. （投影變式1，停頓5分鐘）

變式1：已知橢圓mx2+ny2=1（m，n>0），直線l：Ax+By=1（A，B不同時為0），P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當點P在l上移動時，求證：點Q的軌跡方程為mx2+ny2=Ax+By.

師：哪位同學發(fā)表一下自己的見解？（生13躍躍欲試，要求繼續(xù)發(fā)言）

生13：這個結(jié)論是成立的. 我們從等式mx +ny =AxP+ByP入手，仍然利用黑板上的第四組關系式消參即可證得.

師：大家同意他的說法嗎？

生：同意！

師：好的，由此可見選擇一個合適的等式入手對我們解決求軌跡的問題有多么重要，找等式是我們解決此類問題的“切口”，而消參則是我們解題過程中的“目標”（在“找等式入手”前方板書“切口”，在“依條件消參”前方板書“目標”），找到了切口，明確了目標，我們再做軌跡問題也就不困難了. 課后，請同學們思考變式2，如果把此題橢圓的背景轉(zhuǎn)換成雙曲線我們還能得到如“變式1”一般的結(jié)論嗎？

變式2：已知：雙曲線C： - =1，直線l：x+2y=16，P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上，且滿足OQ·OP=OR2. 當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

設計意圖：在“例題教學”過程中，教師不應貪圖“多”，而應力求“透”. 過于功利地就題講題對學生的效果是微乎其微的，而把一道題講全了，挖透了，讓學生通過一道題有了感悟，觸發(fā)了反思這才是有效教學. 投射到此題，筆者講題時注意引導學生對不同解法的探求，但同時也并非以“一題多解”為目的，盲目擴充解法，重點關注挖掘?qū)W生不同解法之間的共通之處并加以提煉建構，形成解決此類問題的方法策略即文中所提及的“找等式入手，依條件消參”，從而讓學生充分汲取題目中的養(yǎng)分. 對于題中的“妙解”，筆者立足于讓學生知曉妙在何處？為何妙？妙的背后有無一般性的結(jié)論？這也正是筆者基于“一般化”原則和“類比”原則設計變式延伸的出發(fā)點. 讓學生能夠由此及彼，從一道題吃透到一類題會做，實現(xiàn)所謂“多題一解”，才是例題教學的意義所在.

教學感悟

1. “選題”是提升課堂效率的關鍵

這節(jié)課筆者設計以“軌跡方程求解策略”為教學主線，因而面臨著許多題目可供選擇. 筆者選題時希望能通過一道經(jīng)典題目，把這類問題講通、講透，不以“量”來博“效”，所以在前期的選題上花費了大量的精力. 我們教師要意識到“題海無邊”，是無法面面俱到的，我們應該從題目中跳脫出來，以激發(fā)學生的思維為目的，提升課堂的實效. 我們無法代替學生做題，但我們可以將我們的教學工作做細，替學生把好“選題”的關，對題目的潛能做挖掘和探索，選擇有研究性和創(chuàng)造性的例題，深入透析出題目的“味道”.

2. 例題教學要充分暴露出學生的思維？搖

新課程理念強調(diào)學生是課堂的主體，這不能僅僅停留在我們教師的腦子里，應該付諸于實際的課堂教學中. 在高三的復習課上教師更應當注意不能“以教代學”. 我們要充分相信學生在高一、高二學習的基礎上是有能力解決問題甚至是拓展一些問題的，要注重讓學生多閱讀，多思考，多探究. 在本節(jié)課的教學過程中，筆者給了學生展示自己的機會，將自己的思維充分暴露出來，在學生講述了各自解法的同時也就提供給了教師教學的資源，提供給了其他學生學習的資源. 在學生將自己的解題思維暴露之后，教師可以幫助學生做適當?shù)氖崂?，這極有可能帶來學生思維的二次暴露，從而實現(xiàn)高效的師生互動.

3. 高三復習課必須面向“大眾”

高三的例題課必須要做到全員參與，這就要求我們教師在選題時要多下功夫. 我們要尋找一些入手淺，大多數(shù)學生都能提起筆來做的題目，不能在課堂中出現(xiàn)大多數(shù)是“看客”，是“觀眾”的局面. 如果一節(jié)課下來僅僅只對個別學生產(chǎn)生了影響，那么這節(jié)課不能稱之為好課，更談不上高效. 當然一節(jié)課只講一些索然無味的基礎題，學生會做的題，這節(jié)課肯定是一節(jié)廢課. 我們應該在“淺入手”的前提下要“深挖掘”，此時的挖掘是對學生思維的提升，在拓展時不能求快求猛，試圖一步到位，應該步步為營. 隨著我們教學的不斷深入，對不同層次的學生在不同程度上肯定都會有所幫助，有所裨益.

4. “提煉”是例題教學中不可少的環(huán)節(jié)

在平時的教學過程中，教師更多地會注意在新授課中幫助學生總結(jié)提煉，而在例題教學中往往忽視這個環(huán)節(jié)，一味地就題講題，其實不然，“提煉”是例題教學中不可或缺的環(huán)節(jié)之一. 在本節(jié)課中，筆者時刻注意到幫助學生做提煉，在學生展示不同解法之后都以思維導圖的方式進行梳理，在整道題目講解之后特別對“直接法求軌跡方程”這類問題解決的基本思路進行了呈現(xiàn)——切口：“找等式入手”；關鍵：“依條件消參”. 筆者在教學時這種呈現(xiàn)也不是強加式的，在題目探究過程中基本思路已經(jīng)悄然生成了. 我們要意識到適時地總結(jié)提煉更有利于學生厘清解題思路，掌握解題方法，完備解決某類問題的經(jīng)驗.

“例題教學”是高三復習教學工作中重要的組成部分. 如何提高高三復習課的效率值得我們不斷探索下去. 但無論采用何種教學范式，我們都應堅持做到“四個不”即“例題精選不能糊；學生主體不能變；受眾范圍不能??；教師引領不能缺”. 只有這樣，才能有效提升課堂的教學品質(zhì).h