時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性綜合研究

楚曉麗+項婷婷

摘 要：時滯現(xiàn)象廣泛存在于各類工業(yè)系統(tǒng)中，文章對時滯系統(tǒng)分類闡述，從頻域與時域的角度，將近些年的研究成果與分析方法羅列開來，并詳解處理時滯依賴與時滯獨立的變換方法，并對穩(wěn)定性的分析進行比對，簡要的概述了Lurie時滯系統(tǒng)與隨機系統(tǒng)的研究情況，最后對時滯系統(tǒng)的發(fā)展做了展望。

關鍵詞：時滯系統(tǒng)；穩(wěn)定性；時域法；頻域法；系統(tǒng)變換

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）19-0080-03

1 概述

在現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中，時滯問題廣泛存在，例如通信、傳送、化工過程、冶金過程、環(huán)境、電力系統(tǒng)等都是典型的時滯系統(tǒng)[1]。而時滯系統(tǒng)通常使用泛函微分方程描述。時滯微分方程的形式為：

連續(xù)的時滯系統(tǒng)是無窮維的，特征方程是超越方程，而且具備無窮多個特征根，離散的時滯系統(tǒng)的維數(shù)隨著時滯的長度以幾何規(guī)律增加。因此時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設計均面臨著諸多困難，在理論與實際應用方面都具有極大挑戰(zhàn)性[2]。

學者關注并研究的時滯系統(tǒng)包括奇異時滯微分系統(tǒng)、脈沖時滯微分系統(tǒng)、Lurie時滯系統(tǒng)、中立型時滯系統(tǒng)和隨機時滯系統(tǒng)等幾個類別。

2 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的概況

穩(wěn)定性的研究是自控理論的基本問題，也是時滯系統(tǒng)需要解決的理論基礎問題，早期研究方法為頻域法和時域法。

2.1 頻域法

頻域法有一定局限性，只能用于時不變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，因為該法主要基于涉及特征根的分布或Lyapunov矩陣函數(shù)方程求解。時滯系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程無窮多解的特點有助于研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，具備物理意義強、計算機量小的優(yōu)點。

Zhong推導出非周期干擾條件的積分過程[3]，chiasson J

N[4]分析了超越特征方程根的分布情況與穩(wěn)定的條件， Thows

en[5]通過把特征方程變換為非超越方程，得出Routh-Hurwitz型穩(wěn)定性判據(jù)。Watanabe等[6-7]對有限譜配置分析了穩(wěn)定性問題。胥布工分析了多時滯線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并得到了判定標準[8]。Zhang J[9]得到了Lyapunov方程的線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定條件，并推導出魯棒性分析的小增益定理間的等價關系等。

由于特征方程的原因，頻域法不容易處理參數(shù)時變或含有不確定項的時滯系統(tǒng)，而且在設計控制器時，也不易處理中立型系統(tǒng)、多變量的高維系統(tǒng)和非線性微分系統(tǒng)等。

2.2 時域法

時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究和控制器設計的是時域方法，主要為Krasovskii-Lyapunov 泛函法、Razumikhin-Lyapunov函數(shù)法及時滯不等式方法。構造Lyapunov泛函或函數(shù)常用riccati方程和LMI工具（線性矩陣不等式），時滯不等式是解決非線性、變時滯、無限時滯等復雜問題的有效手段。關于非線性和不確定時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究上，Razumikhin 穩(wěn)定性定理[10]是重要成果。Trinh等[11]基于該結論對延時的非線性擾動條件下的線性系統(tǒng)進行分析，得到了鎮(zhèn)定結果。Park[12]變換模型，豐富了Razumikhin 穩(wěn)定性定理。Jankovic[13]對時滯系統(tǒng)的系統(tǒng)化Lyapunov-Razumikhin函數(shù)構造方法分類整理。

3 處理時滯系統(tǒng)時的變換方法

無論上述何種方式分析穩(wěn)定性，最終都分類為時滯獨立或時滯依賴的穩(wěn)定性分析，其分類的條件主要為是否依賴于時滯與時滯大小的問題。

以單時滯線性系統(tǒng)為例[1]

時滯依賴的穩(wěn)定性條件：在該條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定性依賴于滯后時間d，是否穩(wěn)定也取決于d。時滯獨立的穩(wěn)定性條件：在該條件下，對所有的時滯d>0，系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。該條件與系統(tǒng)滯后時間的狀態(tài)無關，適用于不確定滯后時間和未知滯后時間的系統(tǒng)穩(wěn)定性研究。但是任意大時滯的條件下的穩(wěn)定，導致結果會很保守，尤其是小時滯系統(tǒng)。所以在該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究上需要解決的重點是擴大系統(tǒng)的穩(wěn)定時滯上界，盡可能地減少保守性。

3.1 變換一[14]

該變化情況在時滯性較大的條件下，穩(wěn)定性偏保守。

3.2 變換二[15-17]

將系統(tǒng)變換為中立型系統(tǒng)，對中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，推導出原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其重點是要求差分算子穩(wěn)定，即

3.3 變換三[18-20]

3.4 變換四

把系統(tǒng)變換為奇異系統(tǒng)

奇異系統(tǒng)方法由fridman[21]提出，保守性相對前四種最小。其計算Krasovskii-Lyapunov泛函沿系統(tǒng)軌線的導數(shù)時，一直將x（）、x（t）視為獨立變量處理。

3.5 其他變換方式

由于前四種變換方式未實現(xiàn)解決與時滯獨立的穩(wěn)定性結果，仍存在一定的保守性，關鍵在于沒有很好地處理與時滯依賴的穩(wěn)定性問題。所以在改進向量積上界的大量研究中， Park[20]提出了向量積不等式：

Moon[19]在此基礎上改進并引入了以下不等式，保守性最小：

大量的文獻研究表明：在研究基于線性矩陣不等式的時滯系統(tǒng)時，包括系統(tǒng)與時滯相關的穩(wěn)定性問題及設計控制器問題等，最好的辦法是把奇異系統(tǒng)與Moon不等式有效結合，最大程度上降低保守性。

4 其他時滯系統(tǒng)的研究情況

4.1 Lurie時滯系統(tǒng)

作為自控理論中的主要分支，Lurie時滯系統(tǒng)也得到了廣泛關注與研究。王聯(lián)[22]建立Lyapunov 泛函，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，推導出時滯無關系統(tǒng)本身的絕對穩(wěn)定性條件。甘作新等[23]改進前者思路，分析了多線性系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。年曉紅[24]關注Lurie時滯直接控制系統(tǒng)，并得到了時滯的穩(wěn)定性條件，楊斌等[25]構造Lurie型Lyapunov泛函，研究了矩陣不等式與時滯問題的相關結論。

4.2 隨機時滯系統(tǒng)

Mao[26]構造Lyapunov函數(shù)，提出了一類不確定隨機時滯系統(tǒng)的基于矩陣范數(shù)的時滯相關均方指數(shù)穩(wěn)定性條件。Yue 和Won[27]在Niculescu[28]的基礎上，把確定型時滯系統(tǒng)與時滯相關的成果應用到隨機時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究上，提出了基于現(xiàn)行矩陣不等式的時滯相關條件。該研究主要問題在于系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界難以確定，僅僅通過預調(diào)參數(shù)矩陣的方法，并不具備通用性。

5 問題與展望

時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究與控制器設計的成果顯著，但也有一些難點需要關注：部分時滯系統(tǒng)如何有效的通過LMI工具轉化解決，計算量和保守性此消彼長的情況困擾研究者，穩(wěn)定性準則受困于保守性，非線性系統(tǒng)的研究成果沒有線性系統(tǒng)多。

今后時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究將在以下方面深入發(fā)展：部分時滯系統(tǒng)在進行LMI處理時可以考慮通過多項式優(yōu)化的方法滿足要求。計算量與保守性的矛盾問題，考慮構造參數(shù)依賴的Lyapunov泛函的選取上尋找優(yōu)化方法。穩(wěn)定性的分析可以卡率二次分離原理。非線性的時滯穩(wěn)定性研究應該也會逐漸豐富。

參考文獻：

[1]俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學出版社，2002.

[2]張冬梅，俞立.線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析綜述[J].控制與決策，200

8，23（8）：841-849.

[3]Zhong Q C. Control of integral processes with dead time-Part 3：Deadbeat disturbance response [J].IEEE Trans on Automatic Control， 2003，48（1）：153-159.

[4]Olgac N， Holm-Hansen， B. Design considerations for delayed-resonator vibration absorbers [J]. J of Engineering Mechanics， 1995，121（1）：80-89.

[5]Thowsen A. The Routh-Hurwitz method for stability determination of linear differential-difference systems [J]. Int J of Control， 1981，33（5）：991-995.

[6]Watanabe K， Nobuyama E， Kitamori T， et al. A new algorithm for finite spectrum assignment of single-input systems with time delay[J]. IEEE Trans on Automatic Control， 1992，37（9）：1377-1383.

[7]Suyama K. Finite spectrum assignment for linear systems with non-commensurate time-delays [J].Automatica， 2001，37（1）：43-49.

[8]Xu B G. Stability criteria for linear time-invariant systems with multiple delays[J]. J of Mathematical Analysis and Applications，

2000，252（1）：484-494.

[9]Zhang J， Knopse C R， Tsiotras P. Stability of time-delay systems：Equivalence between Lyapunov and scaled small-gain conditions [J]. IEEE Trans on Automatic Control， 2001，46（3）：482-486.

[10]Razumikin B S. On the stability of systems with delay[J]. Prikladnava Matematikal Mekhanika， 1956，20（4）：500-512.

[11]Trinh H， Aldeen M. On robustness and stabilization of linear systems with delayed nonlinear perturbations[J].IEEE Trans on Automatic Control， 1997，42（7）：1005-1007.

[12]Park P， Moon Y， Kwon W H. A delay-dependent robust stability criterion for uncertain time-delay system[C]. Proc of American Control Conf. San Diego， 1998：1963-1965.

[13]Jankovic M. Control Lyapunov-Razumikhin functions and robust stabilization of time delay systems [J].IEEE Trans on Automatic Control， 2001，46（7）：1048-1060.

[14]Li X， de Souza C E. Delay-dependent robust stability and stabilization of uncertain linear delay systems：a linear matrix inequality approach[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1997，42（8）：1144-1148.

[15]Niculescu S I. On delay-dependent stability under model transformations of some neutral linear systems[J]. International Journal of Control， 2001，74（6）：1447-1455.

[16]Kolmanovskii V， Richard J P. Stability of some linear systems with delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1999，44（5）：984-989.

[17]Lien C H， Yu K W， Hsieh J G. Stability conditions for a class of neural systems with multiple time delays[J]. Journal of Mathematic Analysis and Applications， 2000，245（1）：20-27.

[18]Park P. A delay-dependent stability criterion for systems with uncertain time-invariant delays[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1999，44（4）：876-877.

[19]Moon Y S， Park P， Kwon W H， Lee Y S. Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems[J]. International Journal of control， 2001，74（14）：1447-1455.

[20]Park J H. A new delay-dependent criterion for neutral systems with multiple delays[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2001，136（1）：177-184.

[21]Fridman E. New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems[J]. Systems and Control Letters， 2001，43（2）：309-319.

[22]王聯(lián)，張毅，章毅.一類滯后型控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性[J].科學通報，1993，38（16）：1445-1448.

[23]甘作新，葛渭高.一類時滯多非線性 Lurie 控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學學報，2000，43（3）：633-638.

[24]年曉紅.Lurie控制系統(tǒng)的時滯相關絕對穩(wěn)定性判據(jù)[J].自動化學報， 1999，25（4）：564-566.

[25]Yang B， Chen M， Delay-dependent criterion for absolute stability of Lurie type controlsystems with time delay[J]. Control Theory and Application， 2001，18（2）：929-931.

[26]Mao X. Robustness of exponential stability of stochastic differential delay equations[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1996，41（3）：442-447.

[27]Yue D， Won S. Delay-dependent robust stability of stochastic systems with time delay and nonlinear uncertainties[J]. Electronics Letters， 2001，37（15）：992-993.

[28]Niculescu S I. On delay-dependent stability under model transformations of some neutrallinear systems[J]. International Journal of Control， 2001，74（6）：1447-1455.