基于雙邊濾波的各向異性擴(kuò)散方程圖像去噪

許冠軍，喻曉

(1.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 信息學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318020；2.上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

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基于雙邊濾波的各向異性擴(kuò)散方程圖像去噪

許冠軍1，喻曉2

(1.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 信息學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318020；2.上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

近年來，各向異性擴(kuò)散方程模型在圖像去噪和特征提取中得到廣泛應(yīng)用。雙邊濾波為非迭代圖像去噪算法，此方法因簡(jiǎn)單而高效而備受關(guān)注。在對(duì)兩種模型優(yōu)缺點(diǎn)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合雙邊濾波的非線性特點(diǎn)，用雙邊濾波預(yù)光滑，在各向異性擴(kuò)散方程中使用預(yù)光滑圖像進(jìn)行邊界檢測(cè)。和Alvarez等使用高斯核卷積提取邊界相比，雙邊濾波體現(xiàn)了預(yù)處理的各向異性，提高了邊界檢測(cè)的準(zhǔn)確性。改進(jìn)的擴(kuò)散方程的強(qiáng)迫項(xiàng)，在保證去噪效果的同時(shí)，提高了迭代的收斂速度。

雙邊濾波；各向異性擴(kuò)散方程；擴(kuò)散系數(shù)；邊界檢測(cè)；圖像去噪

在圖像處理和分析領(lǐng)域，圖像去噪是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，可以參見文獻(xiàn)[1-7]等。圖像去噪有兩個(gè)目標(biāo)：(1)去除噪聲；(2)保持圖像邊界特征。噪聲是圖像的高頻部分，而圖像的邊界和特征也是圖像的高頻信息。因此，在去噪同時(shí)，也使得圖像的邊界特征變得模糊。去噪模型的好壞，很大程度上由能否解決好兩個(gè)目標(biāo)之間的矛盾決定。

在圖像去噪領(lǐng)域，雙邊濾波模型(以下簡(jiǎn)稱BF模型)和各向異性擴(kuò)散模型(以下簡(jiǎn)稱為AD模型)是被廣泛討論的兩類算法。BF模型是對(duì)高斯濾波的改進(jìn)，在權(quán)函數(shù)中同時(shí)考慮空間距離和像素值差距兩個(gè)權(quán)因子，為局部非線性濾波算法。由Perona-Malik[1]提出的各向異性擴(kuò)散模型(以下簡(jiǎn)稱P-M模型)，推動(dòng)了PDE方法在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。該模型得到了眾多學(xué)者的關(guān)注，并涌現(xiàn)出大量研究成果[2-9]，使得該模型的數(shù)學(xué)理論和數(shù)值算法得到了完善。AD模型中的各向異性是建立在對(duì)圖像邊界的準(zhǔn)確判斷之上，而P-M模型以及Catt等[3]和Alvarez等[4]的改進(jìn)模型對(duì)邊界的確定，是使用像素灰度值或是像素灰度值卷積后的梯度模來判定。在文獻(xiàn)[1]指出，卷積運(yùn)算在方程模型上表現(xiàn)為各向同性擴(kuò)散方程。Catt等的模型是建立在各向同性判斷邊界的基礎(chǔ)上，進(jìn)行各向異性擴(kuò)散，這樣處理使模型的整體各向異性的性質(zhì)沒有得到充分體現(xiàn)。

本文對(duì)AD模型和BF模型的各自特性分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)用BF代替高斯濾波預(yù)處理圖像，并用預(yù)處理圖像的梯度模進(jìn)行邊界強(qiáng)度估計(jì)。為了使模型具有較好的收斂性又保證良好的去噪效果，本文改進(jìn)了擴(kuò)散方程的強(qiáng)迫項(xiàng)。

1 相關(guān)工作

1.1 各向異性擴(kuò)散模型(AD)

Pietro和Malik[1]提出基于各向異性擴(kuò)散方程的圖像光滑模型，克服了低通濾波圖像平滑中各向同性的缺點(diǎn)，使得圖像在每個(gè)像素點(diǎn)根據(jù)灰度分布，有選擇地進(jìn)行各向異性擴(kuò)散。P-M模型實(shí)質(zhì)上用梯度?！瑄‖來檢測(cè)邊界，在邊界處有較小的擴(kuò)散系數(shù)，平滑較少，在非邊界處則平滑較多。模型在抑制噪聲的同時(shí)，很大程度上保持了圖像的邊界。

P-M模型的不適定性，在強(qiáng)噪聲圖像中，直接計(jì)算圖像梯度，將不足以區(qū)分噪聲和邊界，因此很難用梯度模來估計(jì)邊界。Catt等[3]提出了改進(jìn)模型(以下簡(jiǎn)稱Catt模型)，用適度平滑圖像的卷積梯度?！?Gσ*u)‖來代替‖u‖進(jìn)行邊界檢測(cè)。其模型表達(dá)式如下：

(1)

Alvarez等[4]又提出了基于平均曲率運(yùn)動(dòng)方程的去噪模型(Alvarez模型)，并證明了其適定性。其表達(dá)式為：

(2)

取h(·)為非減函數(shù)，滿足0≤h(·)≤1，h(·)的變化趨勢(shì)和g(·)相異。在圖像的平滑區(qū)域，該模型以各向同性擴(kuò)散為主；而在圖像的邊界和特征區(qū)域，沿垂直法向方向擴(kuò)散為主。圖像整體區(qū)域的擴(kuò)散系數(shù)依賴于g(·)。

1.2 雙邊濾波模型(BF)

雙邊濾波[5-6]模型簡(jiǎn)潔，且為非迭代、局部去噪算法，易于程序?qū)崿F(xiàn)。在低噪圖像的處理中能達(dá)到較好的去噪效果，也容易推廣到RGB彩色圖像的處理。其表達(dá)式如下：

BF(u)(x)=∫ΩWD(x,y)WR(x,y)u(y)dy.

(3)

其中WD(x,y)是衡量像素x和y在幾何上鄰近程度的函數(shù)，WR(x,y)是衡量像素之間灰度值的相近程度。該模型同時(shí)體現(xiàn)幾何鄰近程度和像素灰度值相似程度，因而稱之為雙邊濾波。

BF模型去噪的基本原理是根據(jù)鄰域內(nèi)像素灰度值的分布情況，生成權(quán)重分布函數(shù)，具有各向異性的基本特征。在圖像邊界處，僅依賴距離的鄰域卷積運(yùn)算會(huì)導(dǎo)致圖像邊界變得模糊。增加了灰度值權(quán)因子后，圖像在邊界處灰度值跳躍較大，因而其權(quán)值較小(圖1)，從而有效保持邊界信息。

(a)噪聲圖 (b)權(quán)函數(shù)分布 (c)去噪結(jié)果

2 基于雙邊濾波的各向異性擴(kuò)散模型

2.1 AD模型和BF模型的分析比較

BF模型最大的優(yōu)點(diǎn)是其非迭代性，計(jì)算量小，而且很容易并行計(jì)算。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，根據(jù)圖像特征選擇適當(dāng)?shù)摩褼和σR，一步計(jì)算就能起到很好的去噪效果。而在圖像的平滑部分，由于模型的局部性，使得去噪結(jié)果有明顯的噪聲斑塊。若要得到更好的去噪效果，需要自適應(yīng)地計(jì)算相應(yīng)的σD(t)和σR(t)。構(gòu)造恰當(dāng)?shù)摩褼(t)和σR(t)函數(shù)相對(duì)復(fù)雜，而多步計(jì)算，又會(huì)使得圖像過度平滑。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)還表明該模型對(duì)于灰度尺度σR的選擇非常敏感。當(dāng)σR值較小時(shí)，去噪結(jié)果圖像中會(huì)出現(xiàn)許多明顯的奇點(diǎn)；而σR值較大時(shí)，其去噪效果和高斯濾波類似，會(huì)使圖像過度平滑。由于模型的局部性，即使選擇比較合適的σD和σR，也不能解決噪聲斑塊問題。

AD模型的擴(kuò)散系數(shù)由圖像所在的區(qū)域決定，在圖像平滑區(qū)域擴(kuò)散系數(shù)大，對(duì)圖像平滑較多；而在邊界區(qū)域擴(kuò)散系統(tǒng)小，平滑也較少。AD模型在圖像尺度空間上平緩去噪，對(duì)平滑區(qū)域的去噪能力較強(qiáng)。模型的去噪能力依賴于對(duì)圖像邊界的準(zhǔn)確判斷。模型具有保持邊界的特性，若對(duì)圖像進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散處理，最終處理結(jié)果將是初始圖像灰度平均值的單色圖像。因此，圖像在擴(kuò)撒去噪的同時(shí)，也模糊了邊界。如何選擇合適的擴(kuò)散截至?xí)r間也是AD模型的一個(gè)討論方向，文獻(xiàn)[8]以及[10]對(duì)此做了專門分析。

為提高迭代的收斂速度，在模型方程右側(cè)增加強(qiáng)迫項(xiàng)f(u-u0)，通常取f(u-u0)=λ(u-u0)。強(qiáng)迫項(xiàng)的目的是保持去噪圖像和原始圖像的相似性，若原圖噪聲較強(qiáng)，則處理結(jié)果也保持了大量噪聲。

2.2 基于雙邊濾波的各向異性擴(kuò)散模型

(a)高斯卷

(b)雙邊濾波

為了加快模型的收斂速度和保持圖像特征，引入強(qiáng)迫項(xiàng)。在其他模型中，強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)整體圖像作同等處理，該方法在保持圖像邊界特征的同時(shí)，也保留了噪聲成分。改進(jìn)模型中，只對(duì)圖像的邊界，即圖像的特征處使用強(qiáng)迫項(xiàng)，其表達(dá)式如下：

f(u-u0)=h(‖‖)(u0-u).

(4)

h(·)的函數(shù)表達(dá)式如(2)式。改進(jìn)的強(qiáng)迫項(xiàng)，在保證收斂性的同時(shí)，也保持了圖像的特征區(qū)域，而在平滑區(qū)域，強(qiáng)迫項(xiàng)幾乎不起作用，能較好地抑制平滑區(qū)域的噪聲，下面給出本文模型的表達(dá)式：

(5)

其中v(·)為平均曲率運(yùn)動(dòng)方程去噪表達(dá)式。

2.3 數(shù)值求解

本文采用有限差分法求解方程(5)的數(shù)值解[12-13]，下面給出求解過程中的幾個(gè)常用表達(dá)式：

則div=cos2θuyy-2sinθcosθuxy+sin2θuxx。一階偏導(dǎo)數(shù)采用9點(diǎn)格式，其差分格式為：

則Δu的差分格式為：

混合二階偏導(dǎo)數(shù)uxy采用4點(diǎn)差分格式：

算法步驟如下：

1)用BF模型預(yù)光滑原始噪聲圖像u0，得：

(6)

3)模型求解的半隱格式方程如下：

(7)

差分方程中的九點(diǎn)，生成的9對(duì)角線性方程：

A(un)un+1=τhu0+un.

(8)

4)用Jocobi迭代求解方程(8)，令A(yù)(un)=L+D+U.其中D為對(duì)角陣，L為下對(duì)角陣，U為上對(duì)角陣，迭代格式為：

xm+1=-D-1(L+U)xm+D-1(τhu0+un).

(9)

Jocobi迭代結(jié)果xM作為方程(8)的解un+1=xM。注：在計(jì)算中取時(shí)間步長(zhǎng)τ=1，空間步長(zhǎng)h=1。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中使用Lena(256×256)，Cameramen(256×256)兩幅圖(圖3～4)像對(duì)所提算法進(jìn)行驗(yàn)證。兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)均在原圖中加入均值為0，方差σ2=0.003的高斯白噪聲。其實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1，去噪結(jié)果比較如表2。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，式(5)中Ω區(qū)域取5×5的小窗口。

表1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)參數(shù)

本文使用平均平方誤差(MSE)來反映去噪圖像和原圖像的逼近程度，在實(shí)驗(yàn)中用無噪聲圖像和去噪結(jié)果之間的MSE來衡量去噪模型的去噪效果。

(10)

其中u(·)為無噪聲圖像，D(u)(·)為去噪結(jié)果圖像。

表2 去噪結(jié)果比較(MSE)

人的視覺對(duì)于圖像不同部分的灰度偏差存在不同的敏感度，MSE是對(duì)所有像素做同等加權(quán)，所以其大小并不直接決定圖像的去噪效果。但在一般意義上，MSE越小去噪效果越好。

由表1可以看出，本文的方法在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中迭代十多次就達(dá)到了最佳的MSE，具有較快的收斂速度，且去噪后圖像的邊界較AD模型更清晰；和BF模型相比，本文的算法在平滑區(qū)域基本上消除了噪聲痕跡。從表2中MSE數(shù)據(jù)也可以看出，本文的方法在給定的噪聲環(huán)境下，具有更好的去噪效果。

圖3 Lena去噪

圖4 Cameramen去噪

4 結(jié)束語

BF模型是比較有效的去噪方法，該算法的局部性，使得去噪結(jié)果有噪聲斑塊。盡管BF模型去噪具有較小的MSE，但去噪圖像的整體視覺效果不夠理想。AD模型具有各向異性的特點(diǎn)，但隨著擴(kuò)散的持續(xù)進(jìn)行，會(huì)引起圖像細(xì)節(jié)的模糊。若要達(dá)到消除噪聲痕跡，并保持圖像細(xì)節(jié)，擴(kuò)散系數(shù)的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，這對(duì)邊界提取提出了很高的要求。

本文用BF模型預(yù)處理圖像進(jìn)行邊界檢測(cè)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)顯示和使用高斯核卷積相比，邊界判斷更為準(zhǔn)確。這使得擴(kuò)散模型中的擴(kuò)散系數(shù)更加準(zhǔn)確，提高了AD模型的整體去噪能力。本文還改進(jìn)了AD模型中的強(qiáng)迫項(xiàng)，使強(qiáng)迫項(xiàng)僅對(duì)圖像的特征部分起作用。改進(jìn)后的模型，有較快的收斂速度，去噪效果也優(yōu)于AD模型和BF模型。但對(duì)于強(qiáng)紋理圖像和強(qiáng)噪聲圖像，由于梯度判斷邊界本身的準(zhǔn)確性問題，處理效果不夠理想，更優(yōu)的邊界或紋理判斷因子也是今后的研究方向。

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Anisotropic Diffusion Image Denoising based on Bilateral Filtering

XU Guanjun1, YU Xiao2

(1.College of Information, Taizhou Vocational College of Science & Technology, Zhejiang Taizhou 318020, China; 2.School of Mathematics and Computer Science, Shangrao Normal University, Jiangxi Shangrao 334001, China)

In recent decades,anisotropic diffusion model was widely used in image denoising and edge detection.Bilateral filtering image denoising is highly concerned because of it’s non-iterative,simple and efficient. In this paper both advantages and disadvantages of the two algorithms are studied. Based on the characteristics of bilateral filtering and anisotropic diffusion, using the bilateral filtering to substitute Gaussian convolution in Alvarez model ,which improved edge detection. The forcing term is introduced to ensure the denoising performance, and improves the convergence rate of the iteration.

bilateral filtering;anisotropic diffusion; diffusivity; edge detection; image denoising

2017-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金(11561057)；江西省自然科學(xué)基金(20151BAB211002)；浙江省教育技術(shù)研究規(guī)劃課題(JA006)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ151054)

許冠軍(1981-)，男，浙江臺(tái)州人，高級(jí)工程師，碩士，主要從事圖像處理、云計(jì)算等方面研究。E-mail: mathgary@gmail.com

TP391.41

A

1004-2237(2017)03-0011-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.03.003