具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群中遷移算子的譜研究

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

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具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群中遷移算子的譜研究

王 勝 華

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 上饒 334001)

在Lp(1≤p<∞)空間上，研究了在一般邊界條件下具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型，討論了這類模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析和本征值的存在性，得到了該遷移算子的譜僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成等結(jié)果。

結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群；一般邊界條件；遷移算子；譜分析；離散本征值

M.Boulanouar在文獻(xiàn)[1-2]中提出了一類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群的數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中h(v)表示速度權(quán)重因子，ψ(u,v,t)表示由細(xì)菌成熟度u∈(0,1)和細(xì)菌成熟速度u∈(a,b)(0≤a

在生物學(xué)上，每一有絲分裂時，子細(xì)菌被看成細(xì)菌種群的一部分，它們之間存在相互關(guān)系k(u,v,v')，在數(shù)學(xué)上表示為下列一般邊界條件：

(2)

這里常數(shù)α,β≥0表示每一有絲分裂子細(xì)菌的平均數(shù)。

近年來，關(guān)于這類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型的研究較少。文獻(xiàn)[1-2]僅在L1空間和具總轉(zhuǎn)換規(guī)則(即(2)式中α=0的邊界條件下進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[1]得到了該模型相應(yīng)的遷移算子生成正不可約C0半群，文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了該模型的解在一致算子拓?fù)湟饬x下的漸近行為等結(jié)果。但是對這類具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型在一般邊界條件下的遷移算子的譜分析還未見研究成果，只是對速度權(quán)重因子h(v)=v的特殊情況下有些研究成果(部分可見文獻(xiàn)[3-9])。本文在Lp(1≤p<∞)空間中對該具結(jié)構(gòu)化的細(xì)菌種群模型進(jìn)行研究，討論了該模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析和本征值的存在性，得到了其遷移算子的譜僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成等結(jié)果。

1 準(zhǔn)備知識

定義索伯列夫空間為Wp：

其中h(v)為有界可測函數(shù)，且滿足

假設(shè)(O1)：h≥h(v)>0,a.e∈(a,b).h為常數(shù)。

定義邊界算子H為：

且ψ0=ψ(0,v),ψ1=ψ(1,v)。

定義Streaming算子T和碰撞算子K及遷移算子A如下：

A=T+K.D(A)=D(T).

令σ0=essinf{σ(u,v)|(u,v)∈Ω}.對λ∈C,φ∈Xp,ψ∈D(T)，考慮方程

(λ-T)ψ=φ.

(3)

則?λ∶Reλ>-σ0，方程(3)式可形式地解為：

(4)

取u=1,則(4)式為：

(5)

根據(jù)(4)式和(5)式引入如下算子：

顯然，?λ∶Reλ>-σ0，算子Pλ，Qλ,Dλ和Eλ都是有界正算子[6]，且

‖Pλ‖≤e-(1/h)(Reλ+σ0); ‖Qλ‖≤(p(Reλ+σ0))-1/p.

‖Dλ‖≤(Reλ+σ0)-1/q; ‖Eλ‖≤(Reλ+σ0)-1.

從而(5)式和(4)式分別為：

ψ1=PλHψ1+Dλφ.

(6)

ψ=QλHψ1+Eλφ.

(7)

令

則當(dāng)Reλ>λ0時，有

‖PλH‖<1.

(8)

從而算子(I-PλH)-1存在，所以

ψ1=(I-PλH)-1Dλφ.

(9)

ψ=QλH(I-PλH)-1Dλφ-Eλφ.

(10)

即：

(11)

假設(shè)(O2)：碰撞算子K是有界正的，邊界算子H=H1+H2,Hi≥0(i=1，2)，H1是有界的；若1

2 主要結(jié)果

定理1 若假設(shè)(O1)和(O2)被滿足，且存在λ1，使得?λ>λ1，有

rσ(PλH1)<1,

(12)

則遷移算子A的譜σ(A)由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

證明：因?yàn)閷Ζ?λ1，由(6)式知：

ψ1=Fλψ1+Lλφ.

(13)

若p=1,則當(dāng)λ>λ2>λ1時，有(I-PλH1)-1≤(I-Pλ2H1)-1。所以

(Fλ)3=(I-PλH1)-1PλH2(Fλ)2≤(I-PλH1)-1PλH2(Fλ2)2, ?λ>λ2.

因H2在X1上是弱緊的，則Fλ在X1上也是弱緊的，從而(Fλ)2在X1上是緊的，故由[10]之引理3.7知：

‖(Fλ)3‖≤‖(I-PλH1)-1‖‖PλH2(Fλ2)2‖→0，λ→+∞.

(I-(Fλ)N)=(I-Fλ)(I+Fλ+…+(Fλ)N-1,λ∈C,λ?S.

所以

(I-Fλ)-1=(I+Fλ+…+(Fλ)N-1(I-(Fλ)N)-1,λ∈C,λ?S.

因此，若λ∈C,λ?S，則(13)式變?yōu)?/p>

ψ1=(I-Fλ)-1Lλφ,

(7)式變?yōu)?/p>

(λ-T)-1=QλH(I-Fλ)-1Lλ+Eλ.

(14)

所以λ∈S是(λ-T)-1的極點(diǎn)，從而算子T的譜σ(T)由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成，因?yàn)锳=T+K,K是有界的，所以由Kato擾動定理知：σ(A)由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

‖PλH1‖<1.

附注2：若H滿足(O2)，則H2是緊的，那么存在一列有限秩算子依算子范數(shù)收斂到H2。因此，不妨設(shè)H2為秩1算子，即有

其中k1(·)∈Lp(0,1),ki(·)∈Lq[a,b],i=2,3。

定理2 條件同定理1，則

(1)Pλ，Qλ,Dλ,Eλ,Fλ和Lλ在λ∈{λ∈C|Reλ>λ1}上都是有界正算子；

(2)當(dāng)Reλ>λ1+ω0(ω0>0)時，(λ-T)-1和(λ-A)-1都是有界正的；

(3)若σ(A)≠,則存在一個最大的實(shí)有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值。

證明： (1)由文獻(xiàn)[6]即知；

(2)由定理1的證明過程知：?ω1>0，使得當(dāng)Reλ>λ1+ω1，有rσ(Fλ)<1。從而由(14)式知：

rσ(λ-T)-1K<1。于是(λ-A)-1=(I-(λ-T)-1K)-1(λ-T)-1再由K的正性知：?λ∶Reλ>λ1+ω0，(λ-A)-1是有界正的。

(3)由(2)和文獻(xiàn)[12]即知(3)成立。從而本引理獲證。

Γ0={λ∈C|Reλ>λ0},Γs={λ∈C|λ0

λ∈σ(A)?1∈σp((λ-T)-1K).

所以

σ(A)≠?.

又由定理2和(14)式知：?λ∈Γ0，有

(λ-T)-1K=QλH(I-Fλ)-1LλK+EλK≥EλK.

所以

定理4 條件同定理1，則當(dāng)λ∈Γ0，有

證明：由(14)式知：?λ∈Γ0，有

‖(λ-T)-1K‖ =‖QλH(I-Fλ)-1LλK+EλK‖

≤‖QλH1(I-Fλ)-1LλK‖+‖QλH2(I-Fλ)-1LλK‖+‖EλK‖，

此外，對任一整數(shù)n，有

|(QλnH1)φ(1,v)|≤α|φ(1，v)|.

由控制收斂定理知：

由定理2知：Nλ=(I-Fλ)-1LλK在區(qū)域Γ0上是一致有界的，從而

此外，對任一整數(shù)n，有

由控制收斂定理知：

結(jié)合(a)(b)即得：

從而本定理獲證。

定理5 條件同定理1，則σ(A)僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征組成。

證明 由定理4知：Γs∩S在|Imλ|=+∞時沒有聚點(diǎn)，且Γs∩S被限制在Γs的一個緊區(qū)域中，所以Γs∩S有限，從而σ(A)∩Γs有限，即本定理成立。

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Spectral Research of the Transport Operator in Structured Bacterial Population

WANG Shenghua

(School of Mathematics & Computer Science, Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001,China)

The objective of this paper is to research the model of structured bacterial population with generalized boundary conditions inLp(1≤p<+∞) space, It is discussed the spectral analysis and the eigenvalue's existece of corresponding transport operator for this moder.So it is obtained that the spectrum of the transport operator only consisting of finitely isolate eigenvalues woth finite algebraic multiplicities.

structured bacterial population; generalized boundary conditions; transport operator; spectral analysis; isolate eigenvalues

2017-04-09

國家自然科學(xué)基我們先給出一些證明過程中需要金(11461055)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(151051，151056)

王勝華(1956-)，男，江西余干人，教授，博士，研究方向：遷移方程。E-mail:wshua@sru.jx.cn

O177.2

A

1004-2237(2017)03-0001-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.03.001