關于2016年廣東中考壓軸題的思考與探究

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516200) 鐘文輝

關于2016年廣東中考壓軸題的思考與探究

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516200) 鐘文輝

縱觀廣東省近五年中考壓軸題,基本上是以直角坐標系及拋物線為母體,借助動態(tài)構建數(shù)形引發(fā)問題.而2016年的廣東省中考壓軸題有所改觀,主要有如下兩個特點:第一:計算量較小,往年的解答過程會出現(xiàn)大量的分數(shù)和根號,但今年卻只出現(xiàn)了一個“;第二:在幾何方面,更加側重于“證”,而不僅僅是“解”.

圖1

接下來,筆者將帶大家分析一下這道題.

如圖1、2,BD是正方形ABCD的對角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過點Q作QO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.

圖2

(1)請直接寫出線段BC在平移過程中,四邊形APQD是什么四邊形?

(2)請判斷OA、OP之間的數(shù)量關系和位置關系,并加以證明;

(3)在平移變換過程中,設y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)關系式,并求出y的最大值.

一、思路講解

1.第一問是對平行四邊形的性質判定“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的考察.

2.第二問的關鍵在于猜想:“△OBA～=△OQP”,并通過“BO=QO,∠OAB= ∠OQP,BA=QP”證明之,進而得到OA=OP,OA⊥OP.仔細分析便可發(fā)現(xiàn):圖1和圖2(即P在B右側和左側)的情況,都可以用相同的證明過程得到一樣的結論,所以此問并不需要分類討論.

3.第一步:過點O做邊BP的高OE,并用x表示OE;

第二步:通過三角形的面積公式建立函數(shù)關系式,并分別配方得到以下兩個式子:和

第三步:結合取值范圍,求出兩種情況下的最大值并比較,得到本問的答案:2.

也許是出于降低難度的目的,題目提供了兩個圖,引導學生進行分類討論,而且還限定了x的取值范圍.

二、一題多解

圖3

1.第二問的另解:

如圖3,連接OC.在正方形ABCD中,OA=OC,∠OAB= ∠OCB,∠OBQ=45°. ∵ OQ⊥BD,∴ ∠PQO=90°- ∠OBQ=45°= ∠OBQ,∴OB=OQ.又BP=BC-PC=PQ-PC=QC,∴ △OBP ～= △OQC,∴ OP=OC=OA,∴ ∠OPC= ∠OCB= ∠OAB,∴ A、B、P、O 四點共圓.∴ ∠AOP= ∠ABP=90°,即OA⊥OP.

注1:此方法在論證BP=QC的過程中,要考慮B、C、P、Q的位置關系,所以需要分類討論.雖然過程存在細微的差別,但結論都是一致的,都可以用“線段的等量代換”證明.

注2:通過“過O作OE⊥BC于E,延長EO交AD于G”和勾股定理,分別用x表示OA2、OP2和AP2,同樣可證明:OA=OP,OA⊥OP.

2.第三問的另解:

三、拓展思

在原題中,邊BC在其所在的“直線”上平移,而不是在“射線”或者“線段”上平移,這是為第三問的分類討論做鋪墊,增加題目的難度和考察范圍.但在第三問中,題目卻對BP的長度x做出了限制:0≤x≤2.如果沒有這樣的限制,第三問的會變得怎樣呢?接下來,筆者將討論當x＞2時的情形.如圖4、5,過O作OE⊥BC于E.

1.如圖4,當P位于B右側時.

由于x＞2,所以Q也位于C右側.此時BQ=x+2,當x＞2時,y可以取到任何大于2的實數(shù).

圖4

圖5

2.如圖5,當P位于B左側時.由于x＞ 2,所以Q也位于B右側.此時∴即時,y可以取到任何正實數(shù).綜上,當x＞2時,y可以取到任何正實數(shù).因此,當這個限制不存在時,將無法取到最大值.而且,這個條件的存在,也減少了分類討論的情況,避免了解答過程的繁瑣.

四、引申拓展

顯然,S△OPA隨x的增大而增大(x≥0),當且僅當x=0時,取得最小值1.

由此可見,雖然大家更好奇S△OPA的變化過程,但從難易程度和考察范圍的角度上來說,讓學生探究S△OPB的變化過程明顯更合適.

五、題目來源

筆者發(fā)現(xiàn),該題實際上是由2015年北京中考的第28題改編而來.原題如下:在正方形ABCD中,BD是一條對角線,點P在射線CD上(與點C、D不重合),連接AP,平移△ADP,使點D移動到點C,得到△BCQ,過點Q作QH⊥BD于H,連接AH,PH.

圖6

圖7

(1)若點P在線段CD上,如圖6.

阿袁筆下所有女知識分子之間的關系無不淡漠，她們之間無論是朋友，還是敵人，都是如同觀眾一般，把對方當成丑角，帶著熱鬧和喧嚷看著對方的丑態(tài)，這時有一種張愛玲式的悲涼，但阿袁的這種悲涼沒有傾注更多的人道主義關系，而是將人與人之間的淡漠像一場戲一樣呈現(xiàn)給讀者。或許對于阿袁來說，這樣的女性困境恰是她作為知識女性最為真切的生活洞察。

①依題意補全圖7;

②判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明;

(2)若點P在線段CD的延長線上,且∠AHD=152°,正方形ABCD的邊長為1,請寫出求DP長的思路.(可以不寫出計算結果).

(一)原題淺析

1.第一問分為兩小問.第一小問考察的是理解題意以及幾何作圖的能力,并為第二小問的解答做鋪墊;除了敘述角度和呈現(xiàn)方式不同外,第二小問和今年廣東中考的壓軸題第二問一模一樣.

2.如圖8,第二問的解答有三個核心步驟:

(1)通過“三角形外角”、“對稱”等知識,把條件“∠AHD=152°”轉化為“∠DCH=17°”.

圖8

(2)設DP 為x,理清DR、HR、RQ、RC 與x之間的關系,并用含有x的式子表達之.

(二)改編效果

1.放寬限定,體現(xiàn)分類思想

原題的第一、第二問限定了需要分析的情況,把學生的思維固定在了某一情境中,但在改編后,學生卻需要考慮“P在B右側和左側”兩種情況,考察了學生分類討論的能力.

2.從特殊到一般,深化考察層次

在原題中,兩條線段垂直且相等的關系,是在“P在B(D)右側”的情況下成立的,但在改編后,卻去掉了這個限制,把特殊的結論一般化.一方面,體現(xiàn)了數(shù)學結論在不同情況下的一致性,另一方面,則對學生的幾何分析能力有了更深層次的考察.

3.化偏為常,升冷為熱,降低轉化難度

在原題的第二問中,學生需要經(jīng)過數(shù)次轉化,把條件“∠AHD=152°”轉化為“∠DCH=17°”,而后理清各種線段之間的關系,把關于角和線段的條件轉化集中在“△DCH”中,并通過正切函數(shù)建立關系式.在這個過程中,學生要先找到甚至創(chuàng)造“△DCH”這個“集中點”,才能有一系列的轉化.

通過正切函數(shù)建立關系式,需要學生選準集中點(三角形),不利于解題思路的打開.但在改編后,條件的集中點“△OPB”被顯現(xiàn)出來,為了求面積,學生很自然地會想到“底×高”的面積公式,把轉化目標集中于“BQ”和“OE”,從而打開解題思路.如果說前者是一種“偏”,那么后者則是一種“?！?而在近幾年的中考壓軸題中,通過面積建立函數(shù)關系式也確實比較熱門.

4.改靜為動,轉方程為函數(shù),緊隨中考動向

雖然原題第二問的結果無法用具體的數(shù)值表達出來,但此問實際上是一個定值問題,點是定點,線段是定長,角度恒定,所有的一切都是靜止不動的,而所建立的關系式,也只是具有唯一解的方程.

在改編后,題目則變成了中考壓軸題的熱門題型——動態(tài)題,線段“PQ”的移動,讓整個圖形運動了起來,點是移動的,線段是變化的.這要求學生具備一定的動態(tài)思考能力,學會“動中取靜”,理清變化量之間的函數(shù)關系——即變化中的不變,建立數(shù)學模型,而后“以靜制動”,通過函數(shù)關系深入理解變化的過程,從而找到解題的關鍵.