微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考
——以平面向量的數(shù)量積為例

蘇州市第三中學(xué)校(215001) 王君愚

微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考
——以平面向量的數(shù)量積為例

蘇州市第三中學(xué)校(215001) 王君愚

眾所周知,二輪復(fù)習(xí)是整個(gè)高三復(fù)習(xí)計(jì)劃中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).二輪復(fù)習(xí)要求學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)了解的知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上,能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián),遷移和內(nèi)化,提升分析能力和創(chuàng)新意識(shí).傳統(tǒng)的二輪復(fù)習(xí),往往以大專題的形式,形成一個(gè)個(gè)單元模塊,俗稱大專題復(fù)習(xí).此種復(fù)習(xí)方式,注重知識(shí)的綜合性,解題方法的靈活性,在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)被教師所認(rèn)可.但隨著時(shí)間的推移,也暴露出很多弊病,如針對(duì)性不強(qiáng),復(fù)習(xí)的深度不夠等等.近三年,出現(xiàn)了以微專題為主線進(jìn)行的二輪復(fù)習(xí).筆者近些年一直在高三教學(xué),對(duì)微專題的編制和使用有著自己的一些看法,下面以“平面向量的數(shù)量積”為例,談?wù)勎ｎ}編制的策略與方法.

(一)微專題安排和使用

1.時(shí)間的安排

筆者認(rèn)為,微專題與大專題復(fù)習(xí)可以兼容的.兩者可以起到起到相互滲透,相互補(bǔ)充的的關(guān)系.而且只有相互融合,才能發(fā)揮最大的效益.對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生,筆者建議二輪復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)先以大專題復(fù)習(xí).其原因有二:1.二輪復(fù)習(xí)通常在第二學(xué)期開(kāi)始進(jìn)行,學(xué)生經(jīng)過(guò)了一個(gè)寒假,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí),常規(guī)方法會(huì)有所遺忘,通過(guò)大專題的復(fù)習(xí),更有利于學(xué)生查漏補(bǔ)缺,整合知識(shí)2.如果學(xué)生的基礎(chǔ)比較薄弱,過(guò)早的進(jìn)行微專題的復(fù)習(xí)會(huì)顯得比較吃力,打擊學(xué)生的信心.微專題的特點(diǎn)是準(zhǔn)和深,主題明確集中,易于深度研究,同時(shí)深而不偏.這種特點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了大專題復(fù)習(xí)的不足.所以,筆者認(rèn)為,合理的安排二輪復(fù)習(xí)的時(shí)間,將微專題教學(xué)穿插在大專題復(fù)習(xí)過(guò)程中,是大部分學(xué)生的最好選擇.

2.內(nèi)容的選擇

G.波利亞曾經(jīng)指出:“良好的組織使得所提供的知識(shí)更易用上,這甚至比知識(shí)的廣泛更為重要.”因此,主題明確,針對(duì)性強(qiáng)的微專題的既能幫助學(xué)生建立良好的知識(shí)體系,又能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為,教師應(yīng)當(dāng)圍繞教材的主干內(nèi)容,高考的熱點(diǎn),重點(diǎn)知識(shí),設(shè)計(jì)一些不同基礎(chǔ)學(xué)生都可以使用的微專題.具體來(lái)說(shuō),可以從以下角度考慮:

(1)圍繞考綱中的8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì),如平面向量的數(shù)量積,基本不等式的深度研究;

(2)圍繞近幾年高考中出現(xiàn)的熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì),如復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題;

(3)圍繞一輪復(fù)習(xí)中學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì),如三角函數(shù)概念的運(yùn)用.

(二)微專題的案例設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一.概念回顧

1.什么是平面向量的數(shù)量積?

2.數(shù)量積中的夾角是怎么規(guī)定的,范圍是什么?

＜設(shè)計(jì)意圖＞高三階段的教學(xué),尤其是二輪復(fù)習(xí),通常以解題教學(xué)為主.但筆者認(rèn)為,絕不能摒棄概念教學(xué).平面向量的數(shù)量積作為一個(gè)C級(jí)考點(diǎn),其重要性不言而喻.故筆者在該微專題的設(shè)計(jì)中安排的第一個(gè)環(huán)節(jié)是概念回顧.概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),概念反映了事物的本質(zhì)屬性和特征.所以概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中就顯得至關(guān)重要.數(shù)量積是一種全新的運(yùn)算,它不同于任何其他計(jì)算,而向量的夾角又是學(xué)生復(fù)習(xí)過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn).在本節(jié)課的起始環(huán)節(jié),教師若能引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的概念,既能起到引領(lǐng)本課的作用,又能促使學(xué)生真正掌握概念,做到活學(xué)活用.

環(huán)節(jié)二.課本題探究

問(wèn)題2(課本P85第7題改編)已知的|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則|2a-b|=____;a與2a-b的夾角是___.

變式: 已知a=(1,-2),b=(1,λ),且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)___.

問(wèn)題3.(課本P98第20題)設(shè)a,b,c都是單位向量,且a·b=0,則(c-a)·(c-b)的最小值為_(kāi)___.

變式: 設(shè)a,b都是單位向量,且a·b=0,若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍___.

＜設(shè)計(jì)意圖＞教材是高考的源頭,也是高三復(fù)習(xí)必須回歸的起點(diǎn).很多高考題都是在課本題的基礎(chǔ)上改編而成的.而在以微專題為主線的二輪復(fù)習(xí)中,回歸課本是很有必要的.本節(jié)課的3個(gè)問(wèn)題均來(lái)自課后習(xí)題.問(wèn)題1.強(qiáng)化了數(shù)量積的定義,其變式的解題方法靈活.讓學(xué)生體驗(yàn)到處理數(shù)量積除了可以直接用定義,還可以有其他選擇,例如:建立坐標(biāo),轉(zhuǎn)化基底,運(yùn)用投影等.問(wèn)題2揭示了模的運(yùn)算和夾角公式,屬于數(shù)量積的一個(gè)變形使用.其變式是學(xué)生的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié),此題的評(píng)講可以結(jié)合充要條件的知識(shí)給予說(shuō)明.問(wèn)題3.均可用形,數(shù)兩個(gè)角度解決問(wèn)題,體現(xiàn)了向量的雙重身份,評(píng)講時(shí)可讓學(xué)生比較方法,并做出選擇.

環(huán)節(jié)三.例題精講

例 1(2012江蘇第 9題)如圖,在矩形 ABCD中,AB=BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若則

圖1

圖2

(變式)已知AB是半徑為3的圓O的直徑,P是圓O上異于A,B的一點(diǎn),Q是線段AP上靠近A的三等分點(diǎn),且則的值為_(kāi)__.

(拓展)(2017屆蘇州模一)已知A,B,C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn),AB為圓O的直徑,P為圓O內(nèi)一點(diǎn)(含圓周),則的取值范圍為_(kāi)__.

＜設(shè)計(jì)意圖＞例題精講是微專題的核心部分,也是學(xué)生思維提升的主要環(huán)節(jié).這一環(huán)節(jié)對(duì)選題的要求很高.筆者精選了最近幾年的?？碱},高考題,并進(jìn)行了有效的整合.在例題中體現(xiàn)了處理數(shù)量積的常規(guī)方法,同時(shí)也滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想.例題1.可以用建系法和基底法解題,并體現(xiàn)了方程的思想.變式題可以考慮結(jié)合圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn),完成整個(gè)計(jì)算.例題2是一道向量的綜合題,入口寬,方法多,可以利用參數(shù)方程解決問(wèn)題,也可以結(jié)合基本不等式的知識(shí)控制雙元的范圍.拓展題有一定的思維量,考察了學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的意識(shí)和能力,最終通過(guò)化簡(jiǎn)向量或建立坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的范圍.例題部分對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高,教師在引導(dǎo)同學(xué)思考的時(shí)候,不仿讓同學(xué)寫(xiě)出其思維路線圖,往往會(huì)有很好的收獲.如例2的兩種思路:①三個(gè)單位向量,想到平方→化向量為實(shí)數(shù)→得到含有x,y的等式→利用基本不等式求x+y的整體范圍.②建系,設(shè)C(cosθ,sinθ)→利用等式得到x=f(θ),y=g(θ)→利用輔助角公式求解最值.

環(huán)節(jié)四.課堂小結(jié)

提問(wèn):處理數(shù)量積的方法有哪些?請(qǐng)你談?wù)勅绾芜x擇?

＜設(shè)計(jì)意圖＞課堂小結(jié)是復(fù)習(xí)過(guò)程中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié).在微專題的教學(xué)過(guò)程中,筆者更加建議用學(xué)生歸納法來(lái)進(jìn)行課堂小結(jié).“以生為本”是一種重要的現(xiàn)代教育理念.在二輪復(fù)習(xí)中,積極發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,往往能使課堂效率有顯著的提升.通過(guò)本節(jié)課若干例題的講解,學(xué)生應(yīng)該能注意到處理數(shù)量積一般有三種方法:1.定義法2.基底法.3.坐標(biāo)法.這也是本節(jié)課的精華所在.

總之,編寫(xiě)一份好的微專題,需要教師在前期做大量的準(zhǔn)備工作,如研究考綱,歸納試題,回歸課本等等.起點(diǎn)低,針對(duì)性強(qiáng)的微專題為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供了很好的資源.當(dāng)然,在微專題的教學(xué)過(guò)程中,只有讓學(xué)生真正的參與進(jìn)來(lái),才能發(fā)揮其最大的效益,在數(shù)學(xué)課堂中實(shí)現(xiàn)一課一得.