一種改進的Kron形式子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

崔 杰，王光遠，鄭鋼鐵

(1. 清華大學航天航空學院，北京100084；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京100094)

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一種改進的Kron形式子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

崔 杰1，王光遠2，鄭鋼鐵1

(1. 清華大學航天航空學院，北京100084；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京100094)

基于Kron形式子結(jié)構(gòu)方法提出一種近似自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Component modal synthesis, CMS)。為提高求解精度，在不提高縮減系統(tǒng)特征方程階數(shù)的情況下，將自由界面剩余附著模態(tài)的慣性貢獻引入了Kron形式CMS方法。同時，對廣義坐標按照頻域貢獻進行了凝聚，以降低最終縮減模型的維數(shù)。數(shù)值算例的結(jié)果表明，當截斷準則相同時，該方法計算量與傳統(tǒng)的基于靜態(tài)近似的CMS方法基本一致，但求解精度顯著提高，因此計算效率更高。

結(jié)構(gòu)動力學；模型縮減；子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合；動力子結(jié)構(gòu)方法；Kron形式子結(jié)構(gòu)方法

0 引 言

模態(tài)參數(shù)可以表征系統(tǒng)低頻段的動力學特性，是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參考指標?，F(xiàn)代航天器結(jié)構(gòu)的有限元(Finite element, FE)模型常包含大量的自由度[1-2]，同時，在設(shè)計、分析過程中往往需要對模型進行大量的修改與調(diào)整?？紤]到設(shè)計周期的限制，這便對計算效率提出了很高的要求。模型縮減是結(jié)構(gòu)動力學中廣泛應(yīng)用的方法，其目的在于以盡可能少的精度損失提高計算效率[3-5]。

子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Component modal synthesis, CMS)是一種常用的模型縮減方法[4-6]，其將整體復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模型縮減問題分解為部件級別的模型縮減。因此，計算效率可以得到極大提高。近年來，其在汽車[6-7]、衛(wèi)星[8]、火箭[9]、轉(zhuǎn)子[10]系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。CMS方法中主要包括固定界面CMS法[11-13](Craig-Bampton, C-B法)及自由界面CMS法[14-16]兩類。兩類方法各有特點，其中固定界面法中廣義坐標必須包括界面自由度的物理坐標，而自由界面法可以僅選用模態(tài)坐標作為廣義坐標，因此后者得到的縮減模型維數(shù)更低，尤其是當有限元模型的網(wǎng)格密度較大時。此外，自由界面法采用的邊界條件與試驗狀態(tài)更為接近，便于結(jié)合實驗進行修正和驗證[17-18]。因此，本文著眼于自由界面法。

自由界面CMS方法中，Kron形式的CMS法通過連接矩陣及獨立界面力來表達子結(jié)構(gòu)間的連接關(guān)系，具有數(shù)學表述簡單、便于處理大量子結(jié)構(gòu)通過復(fù)雜拓撲關(guān)系連接的情況等優(yōu)點。最近，Weng等[19]對此方法進行了改進，將自由界面剩余附著模態(tài)引入Kron形式CMS方法，極大地提高了其計算效率與工程適用性。但是，方法中對剩余附著模態(tài)進行了靜態(tài)近似，因此精度損失較大。一般工程問題中，綜合考慮求解精度與計算效率，計算時應(yīng)考慮剩余項的慣性貢獻[20-21]。

本文對Weng等[19]的方法進行改進，進行截斷補償時考慮剩余附著模態(tài)的慣性貢獻。其中的主要問題有兩點：1)剩余附著模態(tài)為待求整體結(jié)構(gòu)特征值的函數(shù)，一般通過級數(shù)展開進行近似，當保留項數(shù)大于一時，子結(jié)構(gòu)縮減系統(tǒng)的特征方程為非線性特征方程，需要迭代求解，這反而可能降低計算效率；2)Weng等[19]方法的縮減系統(tǒng)廣義坐標中包含獨立界面力，這提高了縮減系統(tǒng)的維數(shù)。針對第一個問題，本文采用O’Callahan[20]將慣性貢獻引入Guyan凝聚[22]的方法，即采用靜態(tài)近似得到的縮減系統(tǒng)特征對來近似精確剩余附著模態(tài)中未知的整體結(jié)構(gòu)特征對。這樣，對剩余附著模態(tài)進行慣性近似后，模態(tài)變換矩陣為常數(shù)矩陣，因此最終得到的縮減系統(tǒng)特征方程仍為線性特征方程。對第二個問題，文中對靜態(tài)近似后縮減系統(tǒng)的廣義坐標按照其頻域貢獻進行凝聚，以降低最終縮減系統(tǒng)的維數(shù)，這一思路源于多尺度子結(jié)構(gòu)方法中的界面廣義坐標縮聚[21]。與改進前的方法相比，本文提出的方法在不提高縮減系統(tǒng)特征方程階數(shù)的情況下引入了慣性近似且最終縮減系統(tǒng)維數(shù)更低，因此計算效率更高。

1 Kron形式CMS方法回顧

1.1 傳統(tǒng)Kron形式CMS方法

(1)

式中：約束前的整體結(jié)構(gòu)剛度及質(zhì)量矩陣分別由Kdiag(K(1),…,K(n))及Mdiag(M(1),…,M(n))表示為整體結(jié)構(gòu)模態(tài)，C為表示子結(jié)構(gòu)間連接關(guān)系的連接矩陣，τk為與對應(yīng)的獨立界面力矢量[4,19]。

(2)

式中：ΛL

ΦL

ΛH

ΦH

ΓLCΦL,ΓHCΦH

(3)

為進行截斷補償，引入自由界面剩余附著模態(tài)，由式(2)第二行可得：

(4)

將式(4)代入式(2)可消去坐標ηk，即：

(5)

其中，

(6)

(7)

式中：F為子結(jié)構(gòu)剩余柔度。為簡化計算，忽略級數(shù)高階項對的貢獻，僅保留前兩項，即假設(shè)式(5)可化為：

(8)

其中

k

qk

(9)

1.2 CKC法討論：近似階數(shù)

從數(shù)學的角度，模態(tài)綜合法是一種Ritz法，模態(tài)變換矩陣為Ritz基。CKC法縮減系統(tǒng)(k,m)滿足如下關(guān)系：

(10)

基于動力凝聚法[20]及C-B法[21]研究結(jié)論，對剩余項進行近似時考慮其慣性貢獻計算效率更高。因此，本文通過在模態(tài)變換t中引入剩余附著模態(tài)的二階近似來改善CKC法效率，其關(guān)鍵在于引入慣性影響的同時不提高縮減系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。

2 改進的Kron形式CMS方法

本節(jié)給出改進的Kron形式CMS(Enhanced Kron’s CMS, EKC)方法的推導(dǎo)過程。在CKC法的基礎(chǔ)上，其主要包含廣義坐標縮減及剩余附著模態(tài)慣性近似兩步。

2.1 廣義坐標縮減

CKC法縮減系統(tǒng)的維數(shù)為nCKC=nKC+NICF，其中NICF為獨立界面力的個數(shù)(或C的行數(shù))。注意到NICF個獨立界面力坐標對應(yīng)非特征向量，而nKC個子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標中亦有部分坐標對應(yīng)分析頻帶外的模態(tài)。因此，為提高計算效率，首先對縮減模型廣義坐標進行縮減，僅求解分析頻帶內(nèi)的模態(tài)。

在求解特征方程式(8)后，廣義坐標qk可以表示為：

(11)

(12)

考慮凝聚變換式(13)后，式(8)化為：

(13)

其中,k=1,2,…,nEKC且

(14)

這樣，縮減系統(tǒng)特征方程由nCKC維縮減至nEKC維，同時分析頻帶內(nèi)模態(tài)的精度仍能得到保證。

2.2 剩余附著模態(tài)慣性近似

首先，注意到廣義坐標縮減變換式(13)及一階近似模態(tài)變換式(11)，式(16)可近似表示為：

(16)

然后，由式(14)可知：

(17)

最后，將式(18)代入式(17)可得：

(18)

式中：TEKC為EKC法對應(yīng)的模態(tài)變換矩陣，對應(yīng)的縮減系統(tǒng)特征方程為：

(19)

2.3 算法實現(xiàn)及討論

步驟3：(a) 組裝：

(20)

上述EKC法中，步驟1～3為CKC法。從編程角度，步驟1～5需考慮如下注釋：

注1．關(guān)于系數(shù)因子θev，步驟1(b)中θev一般應(yīng)大于1.5[23]；步驟3(b)中θev值可與步驟1(b)中的不同，應(yīng)保證nEKC≤nKC，推薦nEKC=(1.5～2)nd，nd分析頻帶內(nèi)整體結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)，可通過步驟3(b)估計。

注2．矩陣C(或C(j))為符號布爾矩陣，只有每個子結(jié)構(gòu)界面處元素為1或-1，其余均為0。因此與C相關(guān)的矩陣乘法運算可通過直接組裝實現(xiàn)。

注3．注意到關(guān)系

(21)

且K為稀疏矩陣，因此需采用“分解-回代”的方式實現(xiàn)與F相關(guān)的乘法。當劃分后存在自由子結(jié)構(gòu)時，K不可逆，此時可使用慣性釋放方法去除K中的剛體模態(tài)分量[14]。

EKC法與CKC法的計算量主要由行(或列)維數(shù)為N(j)的矩陣的運算決定。對第j個子結(jié)構(gòu)：

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過兩個算例，即Euler-Bernoulli梁及某衛(wèi)星主動段模型，來比較EKC法及CKC法的精度及效率，兩種方法按第2.3節(jié)所述算法實現(xiàn)，計算機配置為：Windows7-64bit系統(tǒng)、4核Intel Core處理器及24GB內(nèi)存。對于Euler-Bernoulli梁，為便于實現(xiàn)及對照，算法基于MATLAB 2012b實現(xiàn)。對于衛(wèi)星模型，算法使用Nastran的二次開發(fā)語言Direct Matrix Abstraction Program(DMAP)實現(xiàn)。

3.1 Euler-Bernoulli梁

圖1 Euler-Bernoulli梁模型及其子結(jié)構(gòu)劃分
Fig.1 Euler-Bernoulli beam model and its components

(22)

由表1可知，在分析頻帶內(nèi)，EKC法精度比CKC法高出兩個數(shù)量級，這是由于EKC法在對剩余附著模態(tài)進行截斷時考慮了其慣性影響。對于EKC法，進行廣義坐標減縮后，精度略微下降，但仍遠高于CKC法。高階模態(tài)的精度較低階模態(tài)下降的更明顯，由于縮減時忽略的廣義坐標對應(yīng)的模態(tài)所屬頻帶與高階模態(tài)所屬的頻帶更為接近。

圖2 EKC法及CKC法模態(tài)收斂性比較Fig.2 Modal convergence of the EKC and CKC methods

進一步比較上述近似子結(jié)構(gòu)方法的模態(tài)收斂性，即：隨子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)的增加，綜合后達到給定精度要求的整體系統(tǒng)模態(tài)數(shù)的變化。這里精度要求取特征值相對誤差為1×10-6，廣義坐標縮減時仍取θev=1。結(jié)果如圖2所示,其中曲線“CKC”、“EKC-nKC”及“EKC-nEKC”分別對應(yīng)CKC法、選取nKC及nEKC階主導(dǎo)廣義模態(tài)的EKC法結(jié)果。由圖2可知，EKC法模態(tài)收斂性優(yōu)于CKC法，尤其是在低頻段，即子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)較少時；同時廣義坐標縮減對EKC法模態(tài)收斂性影響較小。

3.2 某衛(wèi)星模型

本節(jié)通過某型衛(wèi)星主動段FE模型來進一步驗證EKC法在實際工程應(yīng)用中的精度與效率。如圖3所示，此模型按照實際衛(wèi)星方案階段配置建立，單元類型統(tǒng)計見表2，共1602122自由度，星箭轉(zhuǎn)接框處固支。按照不同模塊在連接處將其劃分為10個子結(jié)構(gòu)，相關(guān)矩陣維數(shù)見表3。

表1 Euler-Bernoulli梁算例結(jié)果Table 1 Results of the Euler-Bernoulli beam model

表2 衛(wèi)星有限元模型構(gòu)成Table 2 Summary of the satellite FE model

表3 衛(wèi)星模型子結(jié)構(gòu)劃分參數(shù)Table 3 Matrix size of the CMS methods for the satellite

假定需求解衛(wèi)星前10階模態(tài)，對應(yīng)主動段載具外激勵主導(dǎo)分量所處頻帶。求解時EKC及CKC法采用同樣的截斷準則，即步驟1(b)中θev≈2，對應(yīng)子結(jié)構(gòu)保留模態(tài)數(shù)見表3。注意到此時nKC=86遠大于所需整體模態(tài)數(shù)。為比較界面力減縮影響，按照注釋1所述準則，分別考慮nEKC=nKC=86及nEKC=16兩種情況。計算精度見表4，其中特征值及特征向量相對誤差定義與第3.1節(jié)中定義一致。

由表4可知，在分析頻帶內(nèi)，EKC法精度遠高于CKC法。對于EKC法，考慮廣義坐標凝聚后，精度略微下降，其中高階模態(tài)的精度下降的更明顯。

表4 衛(wèi)星模型計算誤差Table 4 Error of different CMS methods for the satellite

表5 衛(wèi)星模型CPU運行時間(s)統(tǒng)計Table 5 CPU time(s) for the satellite

圖3 衛(wèi)星主動段模型Fig.3 Launch phase model of a satellite

為分析計算效率，將兩種子結(jié)構(gòu)方法主要步驟所需的計算時間列于表5，表中子結(jié)構(gòu)模態(tài)分析對應(yīng)步驟1，靜態(tài)近似對應(yīng)步驟2、3，慣性近似對應(yīng)步驟4、5。分析表5可知：

2)廣義坐標縮減后，慣性近似額外所需的時間減少為原來的21.5%，僅為CKC法所需時間的8.7%，而此時計算精度相比CKC法提高近兩個數(shù)量級，這說明了廣義坐標縮減的有效性；

綜上所述，本文提出的EKC法適用于實際復(fù)雜工程問題，且效率比傳統(tǒng)的CKC法更高。

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進的Kron形式CMS方法。首先，在模態(tài)變換中考慮了剩余附著模態(tài)的慣性貢獻，因此在相同的模態(tài)截斷準則下，可以得到更高精度的模態(tài)。特別的，引入慣性近似后，本方法的縮減系統(tǒng)特征方程仍為線性。同時，為降低最終縮減模型的維數(shù)，對廣義坐標按照其頻域貢獻進行凝聚。這樣，相比傳統(tǒng)Kron形式CMS方法，本方法可以更高效地求解系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。文中通過實際工程算例驗證了本方法的有效性。

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An Enhanced Kron’s Component Modal Synthesis Method

CUI Jie1, WANG Guang-yuan2, ZHENG Gang-tie1

(School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;Beijing Institute of Spacecraft System Engineering, Beijing 100094, China)

A new free-interface component modal synthesis (CMS) method is developed in this paper based on the Kron’s substructuring. For better precision, the inertia approximation of the residual attachment modes, which depends on the unknown global eigenvalues by definition, is included in the modal transformation matrix while the reduced system eigen-equation is still linear. Moreover, the generalized coordinates are further condensed to reduce the size of the reduced model. Compared with the conventional static-approximated CMS methods, the precision is significantly improved with little additional computational cost. Numerical examples validate the precision and efficiency of the proposed method.

Structural dynamics; Model reduction; Component modal synthesis; Dynamic substructuring; Kron’s substructuring

2017-03-14;

2017-04-25

V414.1

A

1000-1328(2017)06-0566-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.06.002

崔 杰(1989-)，男，博士生，主要從事航天器結(jié)構(gòu)動力學，振動與控制方面的研究。