三、四、五邊形的數(shù)學(xué)奇跡

Jacob

著名的科學(xué)普及和數(shù)學(xué)普及作家馬丁·加德納（Martin Gardner，1914～2010），他的鐵桿“粉絲”們依然持續(xù)舉辦著兩年一度的邀請(qǐng)制的“加德納聚會(huì)”，而其他的任何人（任何地方）在每年十月都可以舉辦或參加叫做“頭腦慶典”的活動(dòng)。更重要的是，因?yàn)椴粩嗵岢黾拥录{難題的新解法和改進(jìn)舊解法，人們不斷地超越自己，突破自己。

接下來(lái)，我們懷著輕松的心情，回顧一下加德納的關(guān)于二維平面上圖形“剖分”與“平鋪”的問(wèn)題——這些曾讓大家激動(dòng)不已的謎題的突破歷程。值得一提的是，下面有一些結(jié)果還是最近才發(fā)現(xiàn)的，這讓人非常開心，由此證實(shí)了加德納的觀點(diǎn)——好玩的數(shù)學(xué)能真真正正產(chǎn)生持續(xù)不斷的研究，更能成為滿足好奇心和創(chuàng)造新思想的跳板。

三角形和正方形

“剖分”問(wèn)題就是把熟悉的圖形切開，形成若干個(gè)有趣的更小的碎片的問(wèn)題，而“平鋪”問(wèn)題則要處理與之相對(duì)的概念，是用大量的某一種或幾種特定的小圖形來(lái)填滿一大片空間的問(wèn)題。

這是加德納在他1960年2月專欄中提出的一個(gè)簡(jiǎn)單的剖分問(wèn)題：“給定一個(gè)鈍角三角形，是否可能將其切成若干個(gè)更小的銳角三角形？”無(wú)疑地，最初的數(shù)種嘗試都失敗了，比如上圖所展示的。（小三角形4不是銳角三角形）

還有一道更難的，選自加德納1981年4月的專欄：“將一個(gè)正方形分割成互不重疊的銳角三角形，那么小三角形的數(shù)量最少可以是多少塊？”他自己做出了一個(gè)令人驚訝的解答……

在1958年11月，加德納提出一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)正方形是否能夠被切成若干個(gè)更小的正方形——這些小正方形的邊長(zhǎng)必須為互不相同的整數(shù)，而不是類似國(guó)際象棋棋盤那樣子的排成方陣的簡(jiǎn)單形式。從19世紀(jì)30年代開始，人們開始了解到這個(gè)問(wèn)題與電網(wǎng)絡(luò)理論有關(guān)聯(lián)。加德納提供過(guò)的一個(gè)近似的答案——一個(gè)32×33的長(zhǎng)方形剖分成這樣的一些正方形（榮登《科學(xué)美國(guó)人》某月的雜志的封面）。

上面的尋找“正方形中的正方形”問(wèn)題的真正解答花了20年，其中的一個(gè)解是邊長(zhǎng)為112單位的正方形，它按照要求被切成了21個(gè)正方形。加德納給出過(guò)一個(gè)有趣的基本論斷，來(lái)說(shuō)明為什么這些方式中沒有一種可以適用于三維情況——就是說(shuō)一個(gè)正方體不能被拆開成為若干的不相等的正方體。自從40年前讀到這個(gè)論斷起，我就深陷其中。這暗示著，在更高維度下，這些方法也不會(huì)有用！

從現(xiàn)在起，我們把正方形的問(wèn)題放在一邊，我們來(lái)討論平鋪問(wèn)題吧。在1979年10月，加德納寫出了老友Golomb在1975年提出的挑戰(zhàn)問(wèn)題：整個(gè)無(wú)限平面是否能被正方形鋪滿，而且這些正方形邊長(zhǎng)還是形如1，2，3，…的整數(shù)？

Golomb的挑戰(zhàn)問(wèn)題很長(zhǎng)時(shí)間沒被攻破，2008年，它才被Jum Henle與他的兒子Fred征服。

這里說(shuō)一下另外一個(gè)趣味智力題，加德納展示了下圖這個(gè)將一個(gè)由等邊三角形構(gòu)成的梯形切成四塊全等的凸塊的剖分方法，并尋求一種用五塊全等的凸塊分割一個(gè)正方形的方法。

事后看來(lái)，答案是相當(dāng)明顯的——我們提起過(guò)加德納也是一個(gè)頂級(jí)魔術(shù)師，也因此是位誤導(dǎo)大師么？就僅在一個(gè)月之前，一份“不存在其他解”的證明被公布出來(lái)了。（在由Lipin Yuan，Carol Zamfirescu和Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五個(gè)全等塊的分割”的預(yù)稿中）

永遠(yuǎn)令人驚訝的五邊形

將三角形和四邊形放在腦后，我們來(lái)看看五邊形。正五邊形無(wú)法僅靠自身鋪滿整個(gè)平面，而像等腰三角形。正方形和正六邊形卻能完美地鋪滿整個(gè)平面，其中也包括不規(guī)則的五邊形。下面的故事可能都可以在"Wolfram五邊形平鋪論證計(jì)劃網(wǎng)頁(yè)”這個(gè)互動(dòng)項(xiàng)目中看到。這個(gè)故事始于100年前，那時(shí)Karl Rheinhardt發(fā)現(xiàn)了5種不同五邊形平鋪，這兒有其中的兩種。

50年之后，在1968年，Richard Kershner發(fā)現(xiàn)另外三種形式，并隨著馬丁·加德納在他1975年7月的專欄中的報(bào)道，Richard E.James又發(fā)現(xiàn)了一種形式。于是馬丁·加德納及時(shí)在接著的專欄里報(bào)道了這件事。而已到中年的圣迭戈的家庭主婦Marjorie Rice在她兒子的一本雜志中讀到了這份報(bào)告。盡管沒受過(guò)數(shù)學(xué)訓(xùn)練，她開始著手探索、組織自己的思緒并開創(chuàng)自己特有的記號(hào)來(lái)記錄自己研究的過(guò)程。在1977年之前，通過(guò)發(fā)現(xiàn)四種全新的五邊形平鋪平面方法，她令數(shù)學(xué)界刮起了一陣風(fēng)暴。這四種方式早先被其他所有人都忽略了，其中的兩種展示如下。

她的一件在1995年發(fā)現(xiàn)的成果被數(shù)學(xué)家Doris Schattschneider采納，用于華盛頓的美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)本部的瓷磚鋪設(shè)。

在1985年，Roll Stein發(fā)現(xiàn)一種新的五邊形平鋪，這將總數(shù)目提升到14種。之后又過(guò)去了30年，Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau，這三位都來(lái)自于華盛頓大學(xué)博塞爾分校的學(xué)者，在2015年7月宣布了第15種方法，如右是它的一種體現(xiàn)形式。

那么還有更多這樣鋪滿整個(gè)平面的五邊形平鋪嗎？如果還有，一共有多少種這樣的平鋪呢？博塞爾團(tuán)隊(duì)中的印第安人McLoud（她是她家里第一個(gè)拿到大學(xué)文憑的人）說(shuō)：“現(xiàn)在還不知道凸五邊形平鋪方法數(shù)量的上界?！本褪钦f(shuō)，可能還有幾十種，或者有無(wú)限種。也有可能就這么多，不再有了。

蓋棺了結(jié)

仔細(xì)看看博塞爾團(tuán)隊(duì)的五邊形是很有建設(shè)性的，這個(gè)五邊形就像一個(gè)不規(guī)則棺材。也許McLoud和他的同事真的靠著發(fā)現(xiàn)最后一種五邊形平鋪的類型給它釘上了釘子。

接下來(lái)我們來(lái)描述得到這個(gè)圖形的過(guò)程：這個(gè)形狀可通過(guò)折彎一條5個(gè)單位長(zhǎng)度的稻草桿子（CDEaAB）來(lái)獲得（這里a代表著圖象中線段EA的中點(diǎn)，也代表著EA的長(zhǎng)度），這之后會(huì)如下調(diào)整：

一個(gè)小孩拿著稻草桿子瞎搗鼓，把桿子折彎，只要拉開合適的位置，都能輕松地拼出這個(gè)五邊形。也許，歷史的長(zhǎng)河中，真有過(guò)幾次這樣的事。如果真有這回事，沒有孩子曾意識(shí)到他們的發(fā)現(xiàn)，他們只會(huì)在媽媽叫他吃飯的時(shí)候別無(wú)他想地扔掉那根稻草桿。那么，又有誰(shuí)能斷定沒有某個(gè)小孩把稻草桿折成另一種能平鋪無(wú)限平面的新型五邊形呢？它的確是一種孩子能玩的，而且能玩出深入結(jié)果的東西（想想前面的主婦）。

（本文翻譯自斯貝爾曼學(xué)院數(shù)學(xué)教授Colm Mulcahy的《It's as not-so-easy as 3，4，5》，有刪節(jié)）endprint