尋根溯源，在挖掘定律原型中滲透建模思想

袁玉梅

摘 要：“乘法分配律”作為一種數(shù)學(xué)模型，是學(xué)生最難理解和掌握的。究其原因，主要是學(xué)生沒(méi)有從根本上理解乘法分配律的真正意義；在教學(xué)過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)教材定律“原型”的挖掘，要強(qiáng)化并設(shè)計(jì)學(xué)生所需要的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”滲透。如果我們?cè)诮虒W(xué)乘法分配律之前能夠?qū)滩挠幸粋€(gè)完整準(zhǔn)確的把握，以讓活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中充分發(fā)揮作用，并在實(shí)際教學(xué)中提早形成定律的模型，適當(dāng)提前定律教學(xué)的話，一定會(huì)取得較好的效果。

關(guān)鍵詞：乘法分配律；建立模型；運(yùn)算能力

“乘法分配律”在小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容體系中，是以數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)模型的形式存在的。通常情況下，它與乘法交換律及結(jié)合律并不完全相同，因而在小學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候，存在著不少的難點(diǎn)需要突破。運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算歷來(lái)都是學(xué)生比較頭痛的問(wèn)題，雖然許多老師都在教法上下了很大的工夫，但收效并不理想。

反思學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，筆者以為學(xué)生遇到學(xué)習(xí)障礙的主要原因在于：第一，學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解還只停留在表面形式上，沒(méi)有從根本上理解乘法分配律的真正意義；第二，部分教師在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有利用好教材，尤其是沒(méi)有利用好教材設(shè)計(jì)這一內(nèi)容的思想，從而讓學(xué)生的原有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)難以發(fā)揮作用，而本內(nèi)容的原型也就沒(méi)有有效呈現(xiàn)。因此，即使學(xué)生通過(guò)一定量的訓(xùn)練做對(duì)了基本類型的題目，但遇到變式題時(shí)，也往往錯(cuò)誤連連。那么，什么樣的教學(xué)過(guò)程，才能讓學(xué)生在建構(gòu)這一知識(shí)的時(shí)候，能夠真正走出機(jī)械模仿的怪圈，從而讓他們的學(xué)習(xí)過(guò)程更加有效呢？筆者以為如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)乘法分配律之前有效地研究教材，有效地幫學(xué)生建構(gòu)出乘法分配律所需要的經(jīng)驗(yàn)及模型，適當(dāng)提前定律教學(xué)的話，一定會(huì)取得較好的效果。

一、系統(tǒng)把握教材，鋪墊好基礎(chǔ)知識(shí)，在前期學(xué)習(xí)中塑立乘法分配律的模型

很多教師在備課過(guò)程中都不會(huì)主動(dòng)去關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，更有甚者，是課上完了之后才根據(jù)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)自己在教學(xué)中存在的不足，或者是說(shuō)發(fā)現(xiàn)了教材的某個(gè)環(huán)節(jié)并不適合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需要。如果我們?cè)趯W(xué)期初就先對(duì)本學(xué)期涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行尋根溯源，認(rèn)真研讀教材的真正用意，系統(tǒng)地把握教材后再進(jìn)行備課，提前鋪墊基礎(chǔ)知識(shí)，并在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)的話，一定會(huì)取得較好效果。

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在這一方面的編排就比較好。為分解乘法分配率及其運(yùn)用這一教學(xué)難點(diǎn)，教材從二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣開(kāi)始就提前做了一些滲透。如第三冊(cè)第78頁(yè)《6的乘法口訣》中是這樣設(shè)計(jì)的，如圖1。

教材這樣的設(shè)計(jì)本身是為6的乘法口訣做鞏固，同時(shí)也期待學(xué)生在有效理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，為乘法分配率奠定學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。如果讀懂了教材的編排意圖，在開(kāi)展教學(xué)的過(guò)程中就可以最大限度地發(fā)揮這些習(xí)題的多重價(jià)值了。湞江區(qū)教研室的鄧瑩源老師在執(zhí)教這一課時(shí)就給我們做了很好的示范。

課伊始，鄧?yán)蠋熅拖茸寣W(xué)生復(fù)習(xí)2～5的乘法口訣及其表示的意義（即乘法口訣解決的是幾個(gè)幾相加的問(wèn)題），然后再?gòu)?～5的乘法口訣中提出與6有關(guān)的4句口訣（二六十二、三六十八、四六二十四、五六三十）進(jìn)行進(jìn)一步研究。鄧?yán)蠋熛茸寣W(xué)生根據(jù)6的口訣分別說(shuō)出兩個(gè)乘法算式和算式表示的意義，然后從乘法口訣表示的意義入手引導(dǎo)學(xué)生觀察：2個(gè)6與3個(gè)6之間有什么樣的聯(lián)系呢？學(xué)生在討論后發(fā)現(xiàn)3個(gè)6比2個(gè)6多1個(gè)6。在此基礎(chǔ)上鄧?yán)蠋熞髮W(xué)生用算式表示出這一發(fā)現(xiàn)：即3×6=2×6+6。接下來(lái)鄧?yán)蠋熡忠龑?dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)發(fā)現(xiàn)在6的其他口訣中是否也能找到呢？很快學(xué)生就在觀察、比較、推理后發(fā)現(xiàn)6的乘法口訣中相鄰兩句口訣之間都存在這樣的規(guī)律：即相鄰兩句口訣中后一句口訣比前一句口訣多6。在學(xué)生都已經(jīng)熟練掌握這一規(guī)律后，鄧?yán)蠋煴愎膭?lì)學(xué)生用這種方法去編排出6的其他乘法口訣。在這一過(guò)程中，鄧?yán)蠋熞龑?dǎo)學(xué)生從理解6的乘法口訣的意義入手，既幫助學(xué)生理解了口訣，又逐漸建立了乘法分配律的初步模型，累積了數(shù)形結(jié)合的思想。還促進(jìn)了思維發(fā)展，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、在學(xué)習(xí)情境中理解拆分，為建構(gòu)乘法分配律的模型思想提供基礎(chǔ)

在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在運(yùn)用乘法分配率進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的過(guò)程中遇到的最大障礙就是對(duì)數(shù)的拆分不能適應(yīng)，缺少把四個(gè)數(shù)參與的運(yùn)算改變成三個(gè)數(shù)的運(yùn)算（或者反過(guò)來(lái)：把三個(gè)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)變成四個(gè)數(shù)的運(yùn)算）的經(jīng)驗(yàn)。他們還停留在原來(lái)是幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)在還應(yīng)該是幾個(gè)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)中，不習(xí)慣這種變化。北師大版在教材編排上就關(guān)注到了這一點(diǎn)。如第五冊(cè)《筆算乘法》第52頁(yè)，如圖2。

在學(xué)習(xí)《兩三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法》時(shí)，教材安排了三種不同形式的解題方法來(lái)計(jì)算12×4：畫(huà)點(diǎn)子圖口算、列表拆分計(jì)算和豎式筆算。仔細(xì)觀察這三種計(jì)算方法，其實(shí)計(jì)算的過(guò)程都是一樣的，只不過(guò)計(jì)算形式不同。其實(shí)在這里就已開(kāi)始為乘法分配率鋪墊了“把一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)數(shù)相加的和”的經(jīng)驗(yàn)。

筆者在執(zhí)教這一內(nèi)容時(shí)先讓學(xué)生借助點(diǎn)子圖圈一圈，把點(diǎn)子圖進(jìn)行拆分后再進(jìn)行計(jì)算。在拆分過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都會(huì)把12拆成10+2，但是也有一些同學(xué)把12拆成6+6或6×2，再分別與4相乘，最后再把兩次相乘的結(jié)果合在一起。還有的同學(xué)沒(méi)有拆12這個(gè)數(shù)，而是把4拆成了2+2或2×2，再分別與12進(jìn)行相乘。無(wú)論如何拆分，學(xué)生在這一過(guò)程中，都獲得了拆數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。在多種拆分方法出來(lái)以后，適當(dāng)進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)具體的算式再滲透一下湊整的策略，會(huì)取得更好的效果。因此，在點(diǎn)子圖圈畫(huà)以后，筆者又引導(dǎo)學(xué)生完成列表法。學(xué)生在進(jìn)行列表計(jì)算的過(guò)程中通過(guò)對(duì)比，優(yōu)化出了湊整的策略。最后結(jié)合口算、點(diǎn)子圖和表格的方法探究出了乘法豎式的計(jì)算方法，就是用一位數(shù)分別去乘另一個(gè)乘數(shù)的每一位，再把所得的積相加。這節(jié)課學(xué)生在“拆——算——合”的過(guò)程中較好地理解了拆分，為乘法分配律的“建?！弊龊脧?qiáng)有力的鋪墊。

三、提前“塑型”，在生活中尋找定律“痕跡”，為乘法分配律做好孕伏

在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來(lái)這個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)中就蘊(yùn)含著乘法的分配律。如果我們?cè)谶@里對(duì)這個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步研究，并適當(dāng)挖掘教材潛力， 給乘法分配律建立學(xué)生熟知的幾何模型的話，能為今后學(xué)習(xí)乘法分配律打下基礎(chǔ)。

如圖3是“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”（北師大版第五冊(cè)第48頁(yè)）部分內(nèi)容。

在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，筆者先鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法進(jìn)行解答，待出現(xiàn)以上三種算法后，再比較這幾種方法的異同，延長(zhǎng)學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷的過(guò)程。特別是在比較“5×2+3×2”與“（5+3）×2”的過(guò)程中就已經(jīng)提前為乘法分配律進(jìn)行了“塑型”。經(jīng)過(guò)多次的解答，學(xué)生最后都選擇了比較簡(jiǎn)便的算法。這時(shí)筆者才讓學(xué)生去想辦法總結(jié)剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，尤其是長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的建立過(guò)程。這個(gè)過(guò)程雖然要花費(fèi)一定的時(shí)間，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也是在這個(gè)時(shí)間中積累起來(lái)的，因此這個(gè)時(shí)間的花費(fèi)是值得的。尤其是考慮到這一經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)也有幫助，其可讓這一知識(shí)的教學(xué)難點(diǎn)迎刃而解。

劉加霞教授曾說(shuō)過(guò)“把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”。通過(guò)乘法分配律的教學(xué)，筆者對(duì)這句話有了更深刻的理解。進(jìn)一步講，數(shù)學(xué)教師只有理解并把握了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能以有效的眼光審視自己的課堂，從而提高自己的教學(xué)水平。