一種分?jǐn)?shù)階微積分算子的有理函數(shù)逼近階數(shù)最小化方法

張旭秀， 李衛(wèi)東， 盛虎， 丁鳴艷

(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)

一種分?jǐn)?shù)階微積分算子的有理函數(shù)逼近階數(shù)最小化方法

張旭秀， 李衛(wèi)東， 盛虎， 丁鳴艷

(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)

針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子的實(shí)現(xiàn)問題，基于對(duì)數(shù)幅頻特性，導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階積分算子1/sγ(0<γ<1)的一種有理函數(shù)逼近公式，該式與Manabe提出的公式類似，但比它更便于分析和應(yīng)用，討論了該式應(yīng)用范圍的拓展。為了改善相位逼近精度，提出有理函數(shù)構(gòu)建頻率區(qū)間概念，它包含逼近頻率區(qū)間。在滿足逼近精度和逼近頻率區(qū)間條件下，提出使有理函數(shù)階數(shù)最小化的兩點(diǎn)措施：①充分利用對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線與準(zhǔn)確曲線之差，適當(dāng)加寬分?jǐn)?shù)階積分算子與有理函數(shù)二者對(duì)數(shù)幅頻特性之間的誤差帶；②根據(jù)逼近頻率區(qū)間，合理選擇函數(shù)構(gòu)建頻率區(qū)間。計(jì)算實(shí)例表明上述工作的有效性。

分?jǐn)?shù)階微積分算子;有理函數(shù)逼近;Manabe近似式;有理函數(shù)階數(shù)最小化；應(yīng)用范圍拓展

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分算子的實(shí)現(xiàn)方法，分為頻域?yàn)V波器法(連續(xù)模型法)和數(shù)字濾波器法(離散模型法)兩大類。連續(xù)模型法是用s的有理函數(shù)去逼近分?jǐn)?shù)階微積分算子，離散模型法是用z傳遞函數(shù)去逼近分?jǐn)?shù)階微積分算子。本文研究?jī)?nèi)容屬于連續(xù)模型法?，F(xiàn)有的一些連續(xù)模型法，如分段逼近連分式展開法、Matsuda連分式展開法、Carlson法、Oustloup法及其改進(jìn)方法[1-2]，它們的共同特點(diǎn)是不能預(yù)先準(zhǔn)確設(shè)置逼近誤差，這可能導(dǎo)致生成的有理函數(shù)階數(shù)偏高。

Manabe提出一種基于Bode圖的有理函數(shù)逼近方法[3-4]，克服了上述局限性，其做法是：在Bode圖的對(duì)數(shù)幅頻坐標(biāo)平面中，繪出分?jǐn)?shù)階積分算子的對(duì)數(shù)幅頻率特性 ,這是一條斜線，以這條斜線為基礎(chǔ)，根據(jù)對(duì)幅度逼近誤差的要求，設(shè)置一定寬度的誤差帶，在誤差帶內(nèi)用兩種具有典型斜率(-20dB/dec,-40dB/dec)的線段交替連接組成折線，來逼近分?jǐn)?shù)階積分算子1/sq(0

為克服以上兩種基于Bode圖的有理函數(shù)逼近方法存在的問題，本文采用另一種方法導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階積分算子1/sγ(0<γ<1)的有理函數(shù)逼近公式，以該式為基礎(chǔ)，拓展它的應(yīng)用范圍。為改善相位逼近精度，提出有理函數(shù)‘構(gòu)建頻率區(qū)間’概念，所要求的‘逼近頻率’區(qū)間在‘構(gòu)建頻率區(qū)間’內(nèi)部。在滿足逼近頻率區(qū)間和逼近精度(最大幅度逼近誤差)要求條件下，采取以下兩種措施實(shí)現(xiàn)有理函數(shù)階數(shù)最小化：1)考慮到用漸近線表示的對(duì)數(shù)幅頻率特性與實(shí)際曲線之差，適當(dāng)放寬逼近誤差帶；2)根據(jù)逼近頻率區(qū)間，更精細(xì)地選擇構(gòu)建頻率區(qū)間。

1 一種基于Bode圖的有理函數(shù)逼近公式的導(dǎo)出

Manabe法在Bode圖的指定頻域[Ω1,Ω2]內(nèi)，用整數(shù)階有理函數(shù)R(s)的對(duì)數(shù)幅頻特性(折線)逼近分?jǐn)?shù)階積分算子1/sq(0

1.1 交接頻率計(jì)算

圖1 ωc=1時(shí)的Bode圖Fig.1 Bode when ωc=1

經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)，左側(cè)交接頻率有

(1)

(2)

右側(cè)的交接頻率通式

(3)

(4)

1.2 逼近有理函數(shù)的生成

首先構(gòu)建縱軸左側(cè)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)應(yīng)的逼近函數(shù)RL(s)，自縱軸向左依次列出各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，取它們的連乘積，在Bode圖中20lgA1=0，20lgA2=-20lgB1，表明環(huán)節(jié)系數(shù)A1=1，A2與B1互為倒數(shù)，故有

假設(shè)直到Ω1=aj+1，共有j對(duì)環(huán)節(jié)，則上式可推廣為一般形式

(5)

Ω1=aj+1。

(6)

假設(shè)縱軸右側(cè)直到Ω2為止，對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)共有k對(duì)，則上式可推廣為一般形式

(7)

(8)

左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的逼近函數(shù)連乘，便得整個(gè)折線對(duì)應(yīng)的逼近函數(shù)，即1/sγ的逼近有理函數(shù)

(9)

該式對(duì)應(yīng)的函數(shù)構(gòu)建頻率區(qū)間下、上限分別為

Ω1=aj+1，

(10)

Ω2=1/ak+1。

(11)

式(9)與Manabe逼近函數(shù)公式乘以算子s的結(jié)果相同。但二者的區(qū)別是，Manabe法把[Ω1,Ω2]就當(dāng)作逼近頻率區(qū)間，而式(9)的逼近頻率區(qū)間是[ωa,ωb]，按上述，它是在[Ω1,Ω2]內(nèi)部。

下面以式(9)為基礎(chǔ)，研究有理函數(shù)階數(shù)最小化以及應(yīng)用范圍拓展問題。

2 逼近誤差帶寬的設(shè)定——逼近函數(shù)階數(shù)最小化措施之一

由圖1可見，在逼近頻率區(qū)間一定的前提下，誤差帶越寬，則有理函數(shù)的環(huán)節(jié)數(shù)越少，階數(shù)越低。為了降低有理函數(shù)的階數(shù)，應(yīng)當(dāng)在滿足逼近誤差條件下，盡量加寬誤差帶。為此，需要考慮以下兩個(gè)問題：第一，有理函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線與準(zhǔn)確曲線之間的誤差。第二，對(duì)數(shù)幅頻特性逼近誤差曲線極點(diǎn)頻率與其鄰近的交接頻率的關(guān)系。

2.1 對(duì)數(shù)幅頻特性漸進(jìn)線與準(zhǔn)確特性之間的誤差

在Bode圖中，逼近函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性是用漸進(jìn)線表示的。對(duì)數(shù)幅頻特性漸進(jìn)線與準(zhǔn)確特性之間存在誤差，交接頻率處，誤差最大。慣性環(huán)節(jié)的此誤差為(漸進(jìn)線值減準(zhǔn)確值)3dB；對(duì)于一階微分環(huán)節(jié)，此誤差為-3dB。

用漸近線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性(折線)總是在準(zhǔn)確特性曲線的外側(cè)，因此，如果直接按幅頻特性逼近誤差的最大允許值(折算成對(duì)數(shù)幅頻特性相應(yīng)值)設(shè)置誤差帶寬(單側(cè))δ，那么，誤差帶寬偏窄，求得的R(s)，其階數(shù)偏高，實(shí)際逼近誤差小于設(shè)定值，即逼近精度尚有裕量。消除這個(gè)裕量，可能換取R(s)階數(shù)的降低。為此，應(yīng)適當(dāng)加寬誤差帶。加寬多少為宜將在2.3節(jié)回答。

2.2 逼近誤差曲線極點(diǎn)頻率與交接頻率的關(guān)系

(12)

逼近誤差帶寬度的設(shè)置

假設(shè)要求幅度逼近的最大允許誤差為μ，在Bode圖中為

δ0=20lgμ。

(13)

Bode圖中的誤差帶寬度(單邊)δ應(yīng)當(dāng)在δ0基礎(chǔ)上，增加一個(gè)修正量Δδ，

δ=δ0+Δδ。

(14)

其中δ是逼近函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線在ωj處與分?jǐn)?shù)階積分算子對(duì)數(shù)幅頻特性之差，δ0是逼近函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻特性準(zhǔn)確值在ω*處與分?jǐn)?shù)階積分算子對(duì)數(shù)幅頻特性之差。Δδ的取值同ω*與ωj的相對(duì)大小有關(guān)，具體分以下三種情況：

圖2 Δδ的選取Fig.2 Selecting of Δδ

Δδ=3 dB。

(15)

Δδ=δ-δ0<3 dB。

(16)

Δδ=δ-δ0<3 dB。

(17)

γ值偏離0.5越遠(yuǎn)，則Δδ應(yīng)越小。此時(shí)的Δδ值不能用解析方法求出，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或者試探選取，例如γ=0.4和γ=0.6 時(shí)，可以取Δδ≈2.8 dB，γ=0.2和γ=0.8時(shí)，可以取Δδ≈2 dB，等等。

基于上述，在計(jì)算交接頻率之前，應(yīng)當(dāng)按以下步驟計(jì)算α：

1)根據(jù)設(shè)定的幅頻特性最大允許逼近誤差α0，計(jì)算δ0=20lgα0，或者直接設(shè)定δ0；

2)根據(jù)γ，選取Δδ，計(jì)算δ=δ0+Δδ；

3)計(jì)算α=10δ/20。

3 應(yīng)用范圍的拓展

式(9)的階數(shù)可以拓展用于以下幾種情況：

3.1 積分算子階數(shù)的拓展

式(9)的階數(shù)可以拓展用于以下幾種情況：

1)用于逼近 1/sq,(n

2) 用于對(duì)微分算子sβ,(0<β<1)的逼近：先按式(9)求出1/sβ的逼近有理函數(shù)R(s)，然后取R(s)的倒數(shù)即可。

3)用于逼近微分算子sp,(n

3.2 積分算子系數(shù)的拓展

設(shè)要逼近的傳遞函數(shù)為G0(s)=k0/sγ，k0>1，0<γ<1，要求逼近頻率區(qū)間為[ωa,ωb]，求G0(s)的逼近有理函數(shù)R(s)。

與圖1對(duì)照可見，圖3中的對(duì)數(shù)幅頻特性，是圖1中的對(duì)數(shù)幅頻特性沿著橫軸右移lgωc的結(jié)果。修改圖1中的交接頻率公式，得到圖3的交接頻率。有

aai=aiωc，i=1,2,3,…,

(18)

bbi=biωc,

(19)

(20)

(21)

圖3 公式(9)拓展到ωc>1時(shí)Bode圖Fig.3 Bodewhen equation (9) expanding to ωc>1

最后，得到G0(s)=k0/sγ的逼近有理函數(shù)表達(dá)式

(22)

相應(yīng)地，函數(shù)構(gòu)建頻率下、上限分別改為

Ω1=aaj+1=aj+1ωc，bbj≤ωb

(23)

(24)

4 有理函數(shù)的降階——逼近函數(shù)階數(shù)最小化措施之二

前面給出的逼近有理函數(shù)，其分子與分母階數(shù)都是相等的。在一定條件下，可以突破這種限制，使逼近有理函數(shù)階數(shù)降低一階。以右側(cè)為例，參看圖1，把式(7)和式(8)重寫如下

(25)

(26)

(27)

(28)

僅當(dāng)ωb在式(27)所示范圍內(nèi)時(shí)，必須使用式(25)和式(26)；當(dāng)ωb在式(28)所示范圍內(nèi)時(shí)，除了可以使用式(25)和式(26)以外，還可以取

(29)

(30)

類似地，把式(5)RL(s)的導(dǎo)出過程及其一般形式重寫如下：

(31)

(32)

式(32)第二式是參照式(31)(j=2)寫出的。

前面已指出，當(dāng)ωa滿足條件bj≤ωa

Ω1=aj+1。

(33)

ωa的浮動(dòng)范圍也可以分成兩段：

bj≤ωa

(34)

aj≤ωa

(35)

僅當(dāng)式(34)成立時(shí)，才必須使用式(32)和式(33)，當(dāng)式(35)成立時(shí)，除了可以使用式(32)和式(33)以外，為節(jié)省一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，還可以取

Ω1=bj。

(36)

并把式(32)修改成

(37)

從Bode圖1來看，與式(32)及式(33)對(duì)應(yīng)，折線從Ω1=a3對(duì)應(yīng)的水平線的左端進(jìn)入誤差帶；與式(36)及(37)對(duì)應(yīng)，折線從Ω1=b2對(duì)應(yīng)的斜線的上方進(jìn)入誤差帶。

上述有理函數(shù)降階的思想，同樣可以用于ωc>1的情況。

5 實(shí)現(xiàn)方法

綜合上述，本文所給出方法的實(shí)現(xiàn)過程如下：

1)題設(shè)條件，包括要逼近的微積分算子，逼近頻率區(qū)間[ωa，ωb]，對(duì)數(shù)幅頻特性最大逼近誤差δ0或者幅頻特性最大逼近誤差α0；

2)把要逼近的微積分算子，轉(zhuǎn)換成逼近1/sγ的問題；

3)根據(jù)γ確定Δδ，進(jìn)一步求出誤差帶寬(單邊)δ；

4)計(jì)算交接頻率：如果ωc=1，則按公式(1)、式(2)、式(3)、式(4)進(jìn)行；如果ωc>1則按公式(18)、式(19)、式(20)、式(21)進(jìn)行。以上公式都是遞推公式，可以取i=1,2,3,…

5)確定構(gòu)建頻率區(qū)間和有理函數(shù)表達(dá)式

對(duì)于ωc=1，有以下4種情況：

1)如果ωa滿足不等式bj≤ωa

Ω1=aj+1，

(38)

(39)

2)如果滿足aj≤ωa

Ω1=bj，

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

根據(jù)ωa和ωb的實(shí)際位置，從情況1)和2)中取出一個(gè)逼近函數(shù)，從情況3)和4)中取出一個(gè)逼近函數(shù)，兩個(gè)逼近函數(shù)連乘，得到1/sγ的逼近有理函數(shù)R(s)。

6 驗(yàn)證實(shí)例

實(shí)例1：求10/s0.5的逼近有理函數(shù)，逼近頻率區(qū)間[0.05，1.5×105](rad/s)，對(duì)數(shù)幅頻特性(準(zhǔn)確值)逼近誤差不大于2dB，即幅頻特性逼近誤差不大于α0=102/20=100.1=1.26。

(46)

10/s0.5及其逼近函數(shù)式(46)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線如圖4所示，對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線如圖5所示。

圖4 10/s0.5及其逼近函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性Fig.4 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

圖5 對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.5 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

實(shí)例2：逼近區(qū)間為[3×102,3×105](rad/s), 其他同實(shí)例1。

解：ωa=3.16×102>ωc=102，所以只需使用圖1右側(cè)的幅頻特性，按表1，它對(duì)應(yīng)的逼近有理函數(shù)為

(47)

10/s0.5及其逼近函數(shù)式(47)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線如圖6所示，對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線如圖7所示。

圖6 10/s0.5及其逼近函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性Fig.6 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

實(shí)例3：逼近頻率區(qū)間[3×102,3×104]，其他同實(shí)例2。

(48)

10/s0.5及其逼近函數(shù)式(48)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線如圖8所示，對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線如圖9所示。

圖7 對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.7 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

圖8 10/s0.5及其逼近函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性Fig.8 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

圖9 對(duì)數(shù)幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.9 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

7 結(jié) 論

本文基于Bode圖，導(dǎo)出一種分?jǐn)?shù)階積分算子1/sγ，(0<γ<1) 的逼近有理函數(shù)公式，它式與Manabe提出的公式類似，但比它更便于分析和拓展。以該式為基礎(chǔ)，討論該式應(yīng)用范圍的拓展提出函數(shù)構(gòu)建頻率區(qū)間概念，它有別于逼近頻率區(qū)間；討論該式應(yīng)用范圍的拓展問題；提出使逼近有理函數(shù)階數(shù)最小化的兩點(diǎn)措施：第一，根據(jù)γ值，給Bode圖中的誤差帶寬增加一個(gè)修正量，第二，根據(jù)要求的逼近頻率區(qū)間，精細(xì)選擇函數(shù)構(gòu)建頻率區(qū)間，以便在可能情況下，突破有理函數(shù)分子分母階數(shù)相等的限制，實(shí)現(xiàn)降階。計(jì)算實(shí)例表明上述做法是有效的。

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(編輯：劉素菊)

Minimum method of rational function orders for approximation fractional differential and integral operators

ZHANG Xu-xiu， LI Wei-dong， SHENG Hu， DING Ming-yan

(School of Electronics and Information Engineering, Dalian Jiaotong University,Dalian 116028, China)

Aiming at the problem of implementation of fractional differential and integral operators, an rational function approximation formula for 1/sγ(0<γ<1)is derived based on logarithmic frequency characteristic. The formula is similar to the Manabe formula,but is more convinient for analysis and application.Its extension of application scope was discussed. In order to improve the accuracy of phase approximation, a rational function constructing the frequency interval is proposed. It contained the approximation frequency interval. To meet the conditions of approximation accuracy and frequency interval approximation, two measures to minimize rational function orders was presented:firtly,make full use of the error between the asymptote and the actual value of the logarithm amplitude- frequency characteristic,and appropriately broaden the error strip of the logarithm amplitude- frequency characteristic of the fractional integral operator vs the rational function；secondly,select the rational function formation frequency area reasonably based on the approximation of the frequency interval. Computation examples show that above work is valid.

fractional differential and integral operator; rational function approximation; Manabe- approximation formula; minimum of rational function orders；extension of application scope

2015-12-30

國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2015BAF20B02)；國(guó)家自然科學(xué)基金(61471080,No.61201419)；國(guó)家留學(xué)基金資助(201608210308)

張旭秀(1968—)，女，博士，教授，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分理論及應(yīng)用、智能控制等； 李衛(wèi)東(1963—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)殍F路信息與通信智能化技術(shù)、復(fù)雜系統(tǒng)分析與控制、智能控制等； 盛 虎(1978—)，男，博士，副教授，研究方向分?jǐn)?shù)階微積分理論及應(yīng)用； 丁鳴艷(1979—)，女，碩士，講師，研究方向?yàn)樽詣?dòng)控制理論與應(yīng)用。

張旭秀

10.15938/j.emc.2017.06.013

TN 713

A

1007-449X(2017)06-0096-08