數(shù)學(xué)教學(xué)：因“結(jié)構(gòu)”而精彩

汪明峰

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)體自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善和發(fā)展的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)狀態(tài)，在識(shí)“聯(lián)”的基礎(chǔ)上求“聯(lián)”。通過(guò)知識(shí)連線、知識(shí)勾面、知識(shí)成體，優(yōu)化兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓兒童的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”更具活性、質(zhì)性和生長(zhǎng)性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 知識(shí)結(jié)構(gòu) 認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：各種知識(shí)都是對(duì)于按照一定的關(guān)系或一定的模式構(gòu)成的事物結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。因此每門學(xué)科也就是與事物結(jié)構(gòu)相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握不僅僅指理解了知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，更重要的是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的同化或順應(yīng)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。知識(shí)結(jié)構(gòu)是客觀的，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是主體的，它依賴于兒童的記憶、思維、直覺(jué)、想象等數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)。每個(gè)人的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知風(fēng)格等存在差異，因此兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出個(gè)體化、個(gè)性化的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視“三聯(lián)”，即聯(lián)系、聯(lián)結(jié)、聯(lián)想，在“識(shí)聯(lián)”基礎(chǔ)上“求聯(lián)”。

一、“識(shí)聯(lián)”：兩種“結(jié)構(gòu)形態(tài)”的分析

認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)形態(tài)和兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)形態(tài)是“求聯(lián)”的教學(xué)基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)形態(tài)和兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)形態(tài)的分析往往是交融在一起的，常見(jiàn)的方式有“同化”和“順應(yīng)”?！巴奔磧和械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是相匹配的，能夠正向遷移、納入、整合；“順應(yīng)”即兒童原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是不適應(yīng)的，需要兒童主動(dòng)調(diào)整、改組甚至更新自我原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)形態(tài)分析

從系統(tǒng)論的角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)有著極強(qiáng)的整體性、系統(tǒng)性；從認(rèn)知論的角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)有著很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性。因此，教師要用聯(lián)系、發(fā)展的眼光觀照數(shù)學(xué)知識(shí)。例如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課時(shí)，教師要有“顧后的思索”，即“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“商不變的規(guī)律”是一致的，可以運(yùn)用“商不變的規(guī)律”引導(dǎo)兒童展開(kāi)自主探索。同時(shí)，教師亦要有“前瞻的眼光”，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)指向通分和約分，而通分和約分指向異分母分?jǐn)?shù)的加減法和分?jǐn)?shù)的乘除法。華東師范大學(xué)李士琦教授指出，數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)可看成是由“節(jié)點(diǎn)”和“連線”組成的網(wǎng)絡(luò)，“節(jié)點(diǎn)”即數(shù)學(xué)對(duì)象在心理上的表征形態(tài)，“連線”即知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。其中，“節(jié)點(diǎn)”指數(shù)學(xué)“基點(diǎn)”（基本知識(shí)點(diǎn)或核心知識(shí)點(diǎn)）。在數(shù)學(xué)知識(shí)節(jié)點(diǎn)周圍環(huán)繞著許多相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，筆者稱之為“附點(diǎn)”。附點(diǎn)在某種數(shù)學(xué)情境中是為基點(diǎn)服務(wù)的，主要是反映基點(diǎn)的特質(zhì)，但在另一數(shù)學(xué)情境中，附點(diǎn)又會(huì)成為新的基點(diǎn)。

（二）兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)形態(tài)分析

兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以數(shù)學(xué)知識(shí)節(jié)點(diǎn)為“原材料”，以兒童自身個(gè)性心理特征為“黏合劑”而形成的具有個(gè)性化、層次性和邏輯性的網(wǎng)絡(luò)心理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在對(duì)數(shù)學(xué)節(jié)點(diǎn)和附點(diǎn)知識(shí)把握的基礎(chǔ)上形成的，包括感受、理解與經(jīng)驗(yàn)等。兒童運(yùn)用自身形成的感受、理解、經(jīng)驗(yàn)等而形成各自解決問(wèn)題的心理通道，這些心理通道將會(huì)在兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知時(shí)發(fā)揮作用。心理通道有時(shí)能夠順利同化新知，有時(shí)卻和新知產(chǎn)生矛盾、沖突。當(dāng)心理通道和認(rèn)知產(chǎn)生沖突時(shí)，兒童就需要屏蔽一些心理通道，打開(kāi)新的心理通道。例如學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生已有“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”的認(rèn)知，再加上學(xué)習(xí)了“平行四邊形可以推拉成長(zhǎng)方形”知識(shí)點(diǎn)，因此自然地形成了“平行四邊形的面積=底×斜邊”的觀念，而且這一觀念是深刻的、持久的。即便學(xué)生通過(guò)“平行四邊形的面積推導(dǎo)”掌握了平行四邊形面積計(jì)算方法后，原來(lái)心理結(jié)構(gòu)中形成的舊有觀念還會(huì)不時(shí)地冒出來(lái)。針對(duì)這種情況，教師一方面要強(qiáng)化學(xué)生新的心理通道，使之深刻掌握平行四邊形面積的推導(dǎo)過(guò)程；另一方面要將新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比辨析，讓兒童順應(yīng)原有認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)。

二、“求聯(lián)”：結(jié)構(gòu)教學(xué)視野下兒童認(rèn)知的心理建構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和建構(gòu)。教師要依循數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)和兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，一方面，把零散、孤立、繁雜的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成有機(jī)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；另一方面，幫助兒童將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成穩(wěn)定的心理結(jié)構(gòu)。

（一）知識(shí)線的聯(lián)結(jié)

特級(jí)教師吳正憲說(shuō)：“知識(shí)猶如珍珠，如果不會(huì)整理，只是一盤散沙，沒(méi)有太大的價(jià)值。只有穿成美麗的項(xiàng)鏈，才會(huì)價(jià)值連城。”教師要有意識(shí)地將一個(gè)個(gè)零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，幫助兒童形成具有生長(zhǎng)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。運(yùn)用同化和順應(yīng)兩種心理機(jī)制，用大問(wèn)題、高觀點(diǎn)、全視野來(lái)觀照數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助兒童掌握清晰的知識(shí)軌跡，深刻理解知識(shí)的來(lái)龍去脈。例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課，筆者運(yùn)用數(shù)軸幫助學(xué)生理解一位小數(shù)的產(chǎn)生以及一位小數(shù)與兩位小數(shù)、整數(shù)與一位小數(shù)之間的關(guān)系。首先讓學(xué)生通過(guò)數(shù)軸直觀感知自然數(shù)，然后運(yùn)用課件動(dòng)畫(huà)截取0和1之間的一段，0到1之間平均分成10份，產(chǎn)生9個(gè)均分點(diǎn)，讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出整數(shù)部分為0 的9個(gè)一位小數(shù)。之后，在1到2、2到3之間平均分成10份，讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出整數(shù)部分不是0的一位小數(shù)。啟發(fā)學(xué)生思考在0到0.1之間再平均分成10份，每一份是多少。如此逐層遞進(jìn)，學(xué)生既理解了一位小數(shù)的意義，又為第二學(xué)段學(xué)習(xí)多位小數(shù)奠定基礎(chǔ)。清晰的知識(shí)線，有效溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，形成了線性的兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）知識(shí)面的聯(lián)結(jié)

一條條知識(shí)線不是相互平行的，而是交織成一個(gè)個(gè)知識(shí)面。因此，教師在教學(xué)中不僅要“瞻前顧后”，更要“左顧右盼”。要善于把握知識(shí)線之間的關(guān)聯(lián)，使之形成知識(shí)面，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。例如教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)相加減”一課，筆者首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了整數(shù)相加減、小數(shù)相加減的計(jì)算法則，讓學(xué)生懂得計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減，異分母分?jǐn)?shù)加減中分?jǐn)?shù)單位不同，所以不能直接相加減，必須先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，由此催生兒童的“通分意識(shí)”。這是知識(shí)線上的認(rèn)知構(gòu)建。不僅如此，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位、自然數(shù)的單位等都有了深刻的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，筆者還告訴學(xué)生，名數(shù)的加減法要統(tǒng)一單位，做數(shù)學(xué)習(xí)題要統(tǒng)一單位，等等。這樣一來(lái)，一種“統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)意識(shí)漸漸種植在兒童的頭腦中。教師要將教學(xué)視角放置于計(jì)算中，敏銳地捕捉到整數(shù)相加減、小數(shù)相加減、分?jǐn)?shù)相加減的聯(lián)接點(diǎn)——計(jì)數(shù)單位，通過(guò)類比、遷移等方法讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成加減運(yùn)算的結(jié)構(gòu)面，分辨分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)相加減的異同，并由這樣的結(jié)構(gòu)面拓展至量的計(jì)量，拓展至一般的解題乃至生活。

（三）知識(shí)體的聯(lián)結(jié)

完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要兒童將數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)成線、勾連成面、織編成網(wǎng)，如此認(rèn)知結(jié)構(gòu)才具有更強(qiáng)的包攝性、遷移性、生長(zhǎng)性。根深才能葉茂，良好的認(rèn)知網(wǎng)有助于提高兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性。例如教學(xué)“平面圖形的復(fù)習(xí)”一課，筆者首先讓學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形、四邊形、五邊形。在復(fù)習(xí)四邊形時(shí)選擇了各個(gè)擊破，梳理平行四邊形、長(zhǎng)方形、菱形和正方形的特征以及它們之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，重點(diǎn)復(fù)習(xí)了判定方法和溝聯(lián)關(guān)系，使之形成一個(gè)有機(jī)的結(jié)構(gòu)體。如向?qū)W生提問(wèn)：什么樣的菱形是正方形？什么樣的長(zhǎng)方形是正方形？什么樣的平行四邊形是正方形？什么樣的四邊形是正方形？等等。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有了深刻的理解和把握，逐步形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

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（作者單位：江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）