穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計

王玉璽, 黃國策, 李 偉, 劉 劍

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院， 西安 710077)

穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計

王玉璽, 黃國策, 李 偉, 劉 劍

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院， 西安 710077)

針對雜波條件下目標(biāo)反射信號方向不確定的情況，提出一種穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法. 在考慮各陣元發(fā)射功率相等的約束條件下，利用發(fā)射加權(quán)矩陣構(gòu)造不確定集范圍內(nèi)關(guān)于輸出信干噪比(SINR)的Max-min優(yōu)化模型；在此基礎(chǔ)上，利用序列優(yōu)化、半正定松弛和Charnes-Cooper轉(zhuǎn)換，將非凸的聯(lián)合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于發(fā)射波形和接收濾波器的凸優(yōu)化問題進行迭代求解；最后通過隨機向量合成方法計算最終發(fā)射波形和接收濾波器，并對算法計算復(fù)雜度和收斂性給出分析和證明. 所提方法在滿足陣元發(fā)射功率一致的約束條件下，提高了算法穩(wěn)健性并降低了計算復(fù)雜度. 仿真實驗證明了算法的有效性.

MIMO雷達；波形優(yōu)化；穩(wěn)健性；凸優(yōu)化；半正定規(guī)劃

多輸入多輸出(Multiple-input-multiple-output, MIMO)雷達作為一種新興的雷達體制，成為目前國內(nèi)外研究熱點. MIMO雷達通過每個陣元發(fā)射不同波形獲得特有的性能優(yōu)勢，因此根據(jù)實際應(yīng)用需求設(shè)計MIMO雷達發(fā)射波形具有重要意義. MIMO雷達發(fā)射方向圖由發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣決定. 為提高發(fā)射功率利用率，文獻[1-6]結(jié)合實際的雷達工作模式分別對發(fā)射信號協(xié)方差矩陣進行優(yōu)化，形成具有一定形狀的發(fā)射方向圖，從而增強目標(biāo)反射信號并降低雜波，但是在實際應(yīng)用中需要根據(jù)優(yōu)化的協(xié)方差矩陣得到具體的發(fā)射波形. 為避免上述問題，文獻[7-8]提出無需合成協(xié)方差矩陣的方向圖設(shè)計方法,文獻[9]則利用發(fā)射信號加權(quán)矩陣，將波形優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為發(fā)射信號加權(quán)矩陣的優(yōu)化問題. 文獻[10]對基于發(fā)射加權(quán)矩陣所得到的優(yōu)化波形模糊方程進行了研究，分析該方法所得優(yōu)化波形模糊抑制能力. MIMO雷達信號輸出質(zhì)量不僅與發(fā)射波形有關(guān)，而且接收端濾波器也直接決定了雷達信號的輸出質(zhì)量. 為進一步提高雷達工作性能，文獻[11-12]分別提出了雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法，但是上述聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法沒有考慮到發(fā)射波形的峰均比(peak-to-average-ratio, PAR)等實際約束條件. 為解決該問題，文獻[13-16]分別針對雜波條件下不同目標(biāo)信號模型，以最大SINR為準(zhǔn)則，結(jié)合實際發(fā)射波形需要滿足恒包絡(luò)或PAR等約束條件，設(shè)計了不同的雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化算法，但是該類算法需要通過凸優(yōu)化得到發(fā)射波形協(xié)方差矩陣，再根據(jù)協(xié)方差矩陣合成具體發(fā)射波形，當(dāng)信號編碼較長時計算量巨大，不能滿足雷達應(yīng)用實時性要求. 為降低波形優(yōu)化計算復(fù)雜度，文獻[17]對基于發(fā)射加權(quán)矩陣的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器進行了聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計，但是該方法并沒有考慮實際應(yīng)用條件下算法的穩(wěn)健性，而且算法采用類凸優(yōu)化方法計算加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣，在中間迭代過程中需要根據(jù)每次優(yōu)化后的協(xié)方差矩陣合成具體加權(quán)向量用于優(yōu)化接收濾波器，計算量仍然較大.

針對上述問題，結(jié)合實際應(yīng)用中強雜波條件下弱目標(biāo)信號所存在的方向失配以及陣元發(fā)射功率約束等情況，本文提出一種基于發(fā)射加權(quán)矩陣的穩(wěn)健MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法. 首先針對目標(biāo)信號來波方向的不確定集，以最差情況下雷達輸出信號SINR最優(yōu)為目標(biāo)，以相同的陣元發(fā)射功率為約束條件構(gòu)造發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化模型；然后利用序列優(yōu)化、Charnes-Cooper轉(zhuǎn)換和半正定松弛，將非凸的聯(lián)合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器的子凸優(yōu)化問題進行迭代求解；最后通過隨機向量合成方法得到具體的發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器向量. 所提方法在提高算法穩(wěn)健性的同時，通過對發(fā)射加權(quán)矩陣進行優(yōu)化，大大降低了算法計算復(fù)雜度，且優(yōu)化模型滿足實際工程中對陣元發(fā)射功率的約束.

1 信號模型

設(shè)一集中式MIMO雷達發(fā)射陣元個數(shù)為均勻線陣，接收陣元個數(shù)為Mr. 一組基帶信號向量為s(n)=[s1(n,s2(n),…,sk(n)]T, 不同基帶信號之間兩兩相互正交，n=1,2,…,N，其中N為基帶信號的編碼長度. 在發(fā)射加權(quán)矩陣作用下，雷達發(fā)射信號向量為

x(n)=[x1(n),x2(n),…,xMt(n)]T=Cs(n),

其中C為發(fā)射加權(quán)矩陣且C∈CMt×K，K為正交基帶信號個數(shù). 假設(shè)遠(yuǎn)場X方向存在一點目標(biāo)，在不同方向θj，j=1,…,Q，存在Q個相互獨立的雜波反射點. 在時刻n目標(biāo)位置處接收到的雷達信號為

).

).

).

其中，αi為不同雜波點反射系數(shù). 接收端接收到總的信號為

其中，S=[s(1),s(2), …,s(N)]∈CK×N為基帶信號矩陣，V∈CMr×N為噪聲矩陣. 接收端接收信號經(jīng)過匹配濾波后，輸出向量化信號為

其中，υ∈CMr×K為匹配濾波器輸出噪聲向量，均值為0,方差為σ2IMr?IK.

2 穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計

(1)

在較強的雜波環(huán)境中，雜波反射點的方向和強度等統(tǒng)計信息可以通過認(rèn)知等方法獲得. 相對于較強的雜波信號，目標(biāo)反射信號較弱導(dǎo)致目標(biāo)信號的來波方向存在失配誤差，因此為保證雷達系統(tǒng)性能，需要對所有可能的目標(biāo)信號來波方向進行優(yōu)化設(shè)計. 同時考慮到在工程應(yīng)用中發(fā)射功率的約束條件，需要MIMO雷達發(fā)射加權(quán)矩陣滿足如下條件：

tr(CCH)=E,

(2)

(3)

其中，E為總的發(fā)射功率，ei表示第i個位置元素為1,其他位置元素為0,長度為n=1,2,…,N的列向量. 式(2)表示總的發(fā)射功率有限，而式(3)表示每個陣元的發(fā)射功率相等. 因此在實際發(fā)射功率約束條件下，穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化模型可表示為

(4)

其中，θ表示目標(biāo)可能的方向集合. 由式(4)可知，該優(yōu)化問題為關(guān)于變量C和w的非凸二次約束二次規(guī)劃問題(QuadraticallyConstrainedQuadraticprogram,QCQP). 為求解上述困難問題，本文采用序列優(yōu)化方法[16]和半正定松弛方法[18]，分別對變量C和w進行迭代優(yōu)化. 為利用序列優(yōu)化方法求解式(4)，需要首先引入引理1.

引理 1 令c=vec(CH)，W=ccH、W=wwH，則輸出信號SINR可表示為

(5)

證明 由于CHat(θ0)為K×1維列向量，利用公式vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，可得CHat(θ0)=atT(θ0)?IKvec(CH)，式(5)分子可化為 |wHar(θ0)?CHat(θ0)|2=wHar(θ0)?atT(θ0)?

IKc(wHar(θ0)?atT(θ0)?IKc)H=

其中，Vθ0=ar(θ0)?atT(θ0)?IK∈CMrK×MtK. 同理，式(5)分母可化簡為

引理1得證.

根據(jù)矩陣跡運算特性tr(AB)=vec(A)Hvec(B)及式(5)，可將P轉(zhuǎn)化為

其中，Bi=IK?Diag(ei)，Diag(e)表示將向量εi構(gòu)造為對角矩陣，W≥0、Ψ≥0表示矩陣W和Ψ均為半正定矩陣且秩為1. 由于秩1約束為非凸的，利用半正定松將秩1約束條件省略得到松弛后的優(yōu)化問題為

2.1 固定W優(yōu)化Ψ

(6)

(7)

與PΨ最優(yōu)解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值相同，因此可得

(8)

(9)

2.2 固定Ψ優(yōu)化W

(10)

Step 1 選擇隨機向量w，初始化矩陣W；

Step 2 利用W通過式(7)計算求解Ψ；

Step 3 利用Ψ通過式(10)計算求解W；

Step 4 重復(fù)Step 1和Step 2，直到第m次優(yōu)化后輸出SINR(m)與第(m-1)次優(yōu)化輸出SINR(m-1)之間滿足|SINR(m)-SINR(m-1)|≤μ，其中μ預(yù)先設(shè)置的截止因子，則停止優(yōu)化輸出W和Ψ.

2.3 根據(jù)協(xié)方差矩陣計算發(fā)射加權(quán)向量和接收濾波器

利用序列優(yōu)化方法分別計算得到最優(yōu)協(xié)方差矩陣Ψ*和W*后，接下來則需要根據(jù)W*、Ψ*求解具體的發(fā)射信號加權(quán)向量c和接收濾波器w. 由于本文針對發(fā)射信號加權(quán)向量進行優(yōu)化，因此避免了由給定的信號協(xié)方差矩陣求解具體信號這一困難問題，c與w的求解方法完全相同，本節(jié)僅以w為例給出具體計算過程.

若rank(W*)=1，則可以通過矩陣特征值分解直接求得w，但是由于在優(yōu)化求解過程中利用了半正定松弛，因此所得優(yōu)化矩陣W*并不一定滿足rank(W*)=1的約束條件. 若rank(W*)≥2，則需利用隨機化方法[18]求解秩近似為1的次優(yōu)化向量w，具體計算過程為：任意選取M個隨機向量wm，且wm服從均值為0,方差為W*的復(fù)高斯正態(tài)分布，即wm～NC(0,W*)，m=1,2,…,m，M為隨機化實驗次數(shù). 對每一個隨機向量wm，在最優(yōu)協(xié)方差矩陣Ψ*條件下計算不確定集Θ內(nèi)最差情況下的輸出信號SINR，即

則序列{SINRm}中最大值所對應(yīng)的wm即可作為接收濾波器的最優(yōu)解w*. 同理可計算得到最終發(fā)射加權(quán)向量c*.

2.4 算法性能分析

為證明本文所提MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計的可行性和有效性，本節(jié)將對所提方法計算復(fù)雜度以及算法收斂性進行證明分析. 由算法1可知，所提聯(lián)合優(yōu)化算法總的計算復(fù)雜度主要由式(7)和式(9)的計算復(fù)雜度以及迭代次數(shù)所決定. 為清晰直觀地體現(xiàn)出本文所提算法在計算量上的優(yōu)勢，將本文所提方法與文獻[14]及文獻[17]所提方法每次迭代計算復(fù)雜度以表格形式給出，具體如表1所示. 在實際應(yīng)用中由于選擇的正交基帶信號個數(shù)小于發(fā)射陣元數(shù)且遠(yuǎn)小于信號編碼長度,即K≤Mt≤N，因此本文所提方法在每次迭代過程中發(fā)射波形和接收濾波器計算復(fù)雜度均小于文獻[14]所提方法. 而文獻[17]由于未考慮方向失配影響，在每次迭代中計算接收濾波器向量時直接利用自適應(yīng)波束形成MVDR算法，雖然相比本文所提算法計算復(fù)雜度較小，但是在每次迭代過程中都需要利用隨機向量合成方法由優(yōu)化后的協(xié)方差矩陣Ψ求解具體的加權(quán)向量，而且在求解優(yōu)化矩陣Ψ的過程中采用類凸優(yōu)化方法需要對所有可能t值進行遍歷，因此每次迭代過程中發(fā)射波形優(yōu)化計算復(fù)雜度為O(Lt(MtK)3.5)+O(M(MtK)2)，遠(yuǎn)大于本文所提方法. 因此相比于現(xiàn)有方法,本文所提算法具有較高的計算效率.

表1 不同算法計算復(fù)雜度比較

3 仿真實驗

設(shè)收發(fā)共置MIMO雷達發(fā)射陣元數(shù)為Mt=10，接收陣元數(shù)為Mr=8，且陣元間距為半波長. 假設(shè)目標(biāo)位置方向為θ0=0°，目標(biāo)方向不確定集范圍為Θ=[-6°, 6°]，目標(biāo)信號信噪比RSN=10dB. 設(shè)有6個相互獨立的雜波反射點，方向分別為-45°、-30°、-15°、20°、30°和50°，每個雜波反射信號雜噪比均為INR=40dB，雷達系統(tǒng)噪聲為高斯白噪聲，算法迭代截止因子μ=0.01，信號合成算法中隨機化實驗次數(shù)N=1 000. 為驗證所提算法的有效性，實驗將對雷達發(fā)射方向圖、算法穩(wěn)健性以及算法輸出SINR進行仿真分析.

設(shè)正交基帶信號個數(shù)K=8其他仿真條件不變，分別對各陣元發(fā)射功率相同的穩(wěn)健方法、各陣元發(fā)射功率不同的穩(wěn)健方法和文獻[17]所提方法進行對比. 圖1為在不考慮誤差的情況下，3種不同算法求解優(yōu)化問題時的迭代次數(shù). 由圖1可知,本文所提算法能夠較快收斂到最優(yōu)解，得到最優(yōu)加權(quán)向量和接收濾波器的協(xié)方差矩陣. 圖2為3種不同方法在雜波條件下的收發(fā)聯(lián)合方向圖，其中虛線為雜波方向. 由圖2可知,本文所提穩(wěn)健的發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法能夠有效抑制雜波，而且對可能的目標(biāo)信號來波方向形成一個較寬的主瓣，從而有效提高算法穩(wěn)健性，克服了因目標(biāo)期望信號方向失配而造成的輸出信號SINR急劇下降的情況. 而且由圖2可以看出，各陣元發(fā)射功率不同情況下所形成的收發(fā)聯(lián)合方向圖相比于各陣元發(fā)射功率相同時所形成的聯(lián)合方向圖，具有更低的旁瓣和更為平穩(wěn)的主瓣，這是因為陣元發(fā)射功率不同可以增加波形優(yōu)化自由度，從而提高系統(tǒng)性能，但是不同陣元之間較大的發(fā)射功率差異提高了對系統(tǒng)硬件的要求.

圖1 算法輸出SINR隨迭代次數(shù)收斂情況

圖2 不同算法收發(fā)聯(lián)合方向

進一步分析對比算法對目標(biāo)信號方向誤差的穩(wěn)健性，設(shè)目標(biāo)信號方向誤差取值范圍為[0°,10°]，其他條件不變，算法輸出SINR隨方向誤差的變化情況見圖3. 當(dāng)方向誤差較小時，文獻[17]所提方法性能優(yōu)于本文所提穩(wěn)健算法，但是隨著誤差的增大性能急劇下降；而本文所提方法在方向誤差一定的范圍內(nèi)輸出SINR變化緩慢，因此具有較好的穩(wěn)健性. 圖4則對比分析了算法中信號合成前后系統(tǒng)輸出SINR. 由圖4可知，利用隨機化向量合成方法求得具體發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器后所得SINR，與直接利用所得優(yōu)化矩陣Ψ*和W*所得輸出SINR幾乎完全相同，因此利用隨機化向量合成方法求解具體的發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器不會對系統(tǒng)性能造成較大影響.

圖3 輸出SINR隨目標(biāo)信號方向誤差的變化情況

Fig.3 The output SINR versus the DOA error of target signal

圖4 信號合成前后性能對比

Fig.4 Performance comparison of signal before and after synthesis

為驗證分析算法輸出SINR性能，設(shè)目標(biāo)信號RSN變化范圍為[0, 20dB]，正交基帶信號個數(shù)分別為6和8，其他條件不變. 在不考慮方向誤差的情況下，系統(tǒng)輸出SINR的變化情況如圖5所示. 當(dāng)雜波信號個數(shù)小于相控陣?yán)走_接收陣列自由度時，所提方法相較于一般MIMO雷達具有較高的輸出SINR，但是隨著雜波干擾個數(shù)的增加，相控陣?yán)走_性能急劇下降，如圖6所示. 而本文所提方法由于對發(fā)射信號和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計，從發(fā)射端和接收端聯(lián)合優(yōu)化抑制雜波，因此系統(tǒng)自由度更高,能夠有效抑制多雜波情況. 而且相比于一般全向MIMO雷達，利用發(fā)射加權(quán)矩陣處理后每個陣元發(fā)射相關(guān)信號，系統(tǒng)具有一定的發(fā)射增益，因此輸出SINR介于一般相控陣和全向MIMO雷達之間.

圖5 不同雷達輸出SINR隨RSN的變化情況

Fig.5 The output SINR of different radar versus inputRSN

圖6 不同雷達輸出SINR隨雜波個數(shù)變化情況

Fig.6 The output SINR of different radar versus the number of interferences

4 結(jié) 語

本文針對雜波條件下目標(biāo)期望信號不確定時雷達輸出SINR較低的情況，提出一種穩(wěn)健的MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計方法. 首先針對所提出的在不確定集范圍內(nèi)對發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器進行聯(lián)合優(yōu)化的Max-min非凸困難問題，通過序列優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器的迭代優(yōu)化問題; 然后利用Charnes-Cooper轉(zhuǎn)換和半正定松弛將非凸的迭代優(yōu)化轉(zhuǎn)化為易于求解的凸優(yōu)化問題，分析了所提算法的計算復(fù)雜度并對算法收斂性和可行性給出了證明; 最后通過對所提算法的收發(fā)聯(lián)合方向圖、穩(wěn)健性及不同條件下輸出SINR性能進行仿真對比，進一步證明了算法有效性以及實際的工程應(yīng)用價值.

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[19]CHARNES A, COOPER W W. Programming with linear fractional functionals[J]. Naval Research Logistics Quarterly, 1962, 9(3):181-186. DOI: 10.1002/nav.3800090303.

(編輯 王小唯， 苗秀芝)

A robust joint design of transmit waveform and receive filter for MIMO radar

WANG Yuxi, HUANG Guoce, LI Wei, LIU Jian

(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

For the case that the direction of the reflected signal from desired target in the presence of clutter is uncertain, a robust joint design of transmit waveform and receive filter for MIMO radar is proposed. Under the condition of the transmit power constraint for each transmit element, a Max-min optimal model about the output SINR within the uncertainty set is designed using transmit weighting matrix. On this basis, the sequential optimization method, semi-definite relaxation and Charnes-Cooper transform are used to transform the joint optimization problem, which is non-convex, into two convex sub-problems about transmit waveform and receive filter, respectively. And through iteration optimization procedure, the optimized covariance matrixes of transmit waveform and receive filter are obtained. Finally, the desired transmit weighting matrix and receive filter are synthesized via the randomization method with the optimized covariance matrixes. Theoretical analysis and demonstration about the computation complexity and the convergence of the proposed method are given. The proposed method can improve the robustness and reduce the computational burden with the same transmit power constraint of each antenna. And the efficiency and validity of the proposed method are verified by the simulation results.

MIMO radar; waveform optimization; robust design; convex optimization; semi-definite relaxation

10.11918/j.issn.0367-6234.201609065

2016-09-18

國家自然科學(xué)基金(61302153)

王玉璽(1989—)，男，博士研究生； 黃國策(1962—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

王玉璽，WYX10013@163.com

TN911.7

A

0367-6234(2017)05-0109-07