基于移動有限元法的裂紋梁振動分析

梁崗 曹沛 唐炯 沈晴 李心爽

(1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院, 上海 201306) (2.上海振華重工(集團)股份有限公司, 上海 200125)(3.美國康涅狄格大學(xué)機械工程系, 美國)

基于移動有限元法的裂紋梁振動分析

梁崗1曹沛2?唐炯3沈晴2李心爽2

(1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院, 上海 201306) (2.上海振華重工(集團)股份有限公司, 上海 200125)(3.美國康涅狄格大學(xué)機械工程系, 美國)

采用移動有限元法和局部柔度法對移動質(zhì)量作用下含裂紋簡支梁進行了振動計算分析.計算考慮了裂紋和移動質(zhì)量的相對位置對梁固有頻率的影響,以及移動質(zhì)量在不同位置、速度情況下對裂紋梁的動力響應(yīng)的影響.結(jié)果分析表明,裂紋與移動質(zhì)量的存在會使得梁的動態(tài)位移有不同程度的增大,且隨著移動質(zhì)量位置和裂紋位置的改變會使得梁的固有頻率變小.

移動有限元, 簡支梁, 張開裂紋, 固有頻率, 動力響應(yīng)

引言

移動載荷對梁結(jié)構(gòu)動力特性的影響在港口起重運輸機械上是一個很重要的課題,如橋式起重機載重運行和岸邊集裝箱起重機裝卸作業(yè)等均可簡化為移動質(zhì)量-梁耦合系統(tǒng).目前,工程實踐中常以梁的固有頻率代替移動質(zhì)量-梁的耦合頻率,但是考慮到移動質(zhì)量在運動過程中,質(zhì)量-梁組成的系統(tǒng)會產(chǎn)生耦合振動,對梁的固有頻率產(chǎn)生較大影響；另外,由于各種因素的影響,梁結(jié)構(gòu)中極易產(chǎn)生微觀裂紋.裂紋的存在不僅改變了裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力場,而且改變了梁結(jié)構(gòu)動力特性.這些微觀裂紋若不及時發(fā)現(xiàn)、處理,其失穩(wěn)擴展而引起的斷裂,將導(dǎo)致整個梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生毀滅性的破壞.故本文將針對移動質(zhì)量-梁系統(tǒng)分析不同程度裂紋梁的振動特性,對更加準確地獲得梁結(jié)構(gòu)的固有頻率、保證梁結(jié)構(gòu)安全可靠具有重要意義.

對于移動質(zhì)量-梁模型的研究,在過去的十幾年里研究人員在系統(tǒng)建模、動力學(xué)分析方面已經(jīng)有許多研究成果[1-10],其中Wayou[7]研究了歐拉-伯努利梁在移動力下的非線性動態(tài)分析,彭獻[8-9]分析了移動質(zhì)量作用下梁固有頻率的變化,Ismail Gerdemeli[10]利用移動有限元法研究了隨著移動質(zhì)量大小的變化對梁固有頻率的影響.

如何有效地識別和檢測裂紋具有十分重要的工程意義[11].對此,國內(nèi)外學(xué)者應(yīng)用不同的方法對有關(guān)裂紋梁的動力特性問題進行了深入研究,從解析解、半解析解到數(shù)值方面的計算都提出了一系列的解決方案[13-20].而基于振動特性的裂紋檢測法作為一種無損檢測的方法近年來越來越受到重視[12].

本文基于移動有限元法,根據(jù)移動質(zhì)量-梁系統(tǒng)的動力學(xué)方程,建立了Euler-Bernoulli梁與移動質(zhì)量耦合單元的時變質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣.并利用卡式定理導(dǎo)出含裂紋梁單元的柔度矩陣,基于力平衡條件導(dǎo)出裂紋梁單元的剛度矩陣.在此基礎(chǔ)上,以堆場內(nèi)集裝箱起重機為例,計算了移動質(zhì)量作用下含裂紋簡支梁的動態(tài)特性及動力響應(yīng),并對結(jié)果進行了對比分析.對集裝箱起重機的動態(tài)設(shè)計、動力性能評估以及振動的控制具有一定的指導(dǎo)意義.

1 裂紋梁振動的移動有限元法

如圖1所示,將梁分為若干個單元,移動質(zhì)量mp以恒定的速度vm沿梁運動,其中第S個單元含有移動質(zhì)量,第K個單元含有裂紋,考慮移動慣性載荷作用下的系統(tǒng)運動方程為：

(1)

圖1 移動質(zhì)量下含有裂紋的簡支梁Fig. 1 Simple support crack beam due to a moving mass

1.1 移動有限元原理

圖2為一載有移動質(zhì)量mp的梁單元,單元有兩個節(jié)點,每個節(jié)點有兩個自由度.移動質(zhì)量在梁上的位置隨著時間的變化而變化.

圖2 含有移動質(zhì)量的梁單元Fig. 2 Beam element with moving mass

當梁在振動時,梁在移動質(zhì)量下的所受的橫向力為[3]：

(2)

其中：

(3)

fy(x,t)是移動質(zhì)量在t時刻,x位置處作用的力.δ(x-xp)為狄拉克函數(shù),g為重力加速度.x0和v0是初始位置和初始速度.

考慮移動質(zhì)量的慣性影響,梁的橫向加速度方程可以寫為[19]：

(4)

當質(zhì)量塊勻速運動時,(4)式可以寫為：

(5)

(5)式的另外一種形式為：

(6)

其中：“ .”為對時間的導(dǎo)數(shù),“ ′”為對位移的導(dǎo)數(shù),wy=wy(x,t)是梁的縱向撓度關(guān)于時間和位移的函數(shù).將(6)帶入(2)中,得：

(7)

在質(zhì)量塊勻速移動下,單元的等效節(jié)點力為：

(8)

Ni(i=1～4)為梁單元的形函數(shù)：

N1=1-3ξ(t)2+2ξ(t)3

N2=[ξ(t)-2ξ(t)2+ξ(t)3]l

N3=3ξ(t)2-2ξ(t)3

N4=[-ξ(t)2+ξ(t)3]l

(9)

形函數(shù)和位移、時間之間的關(guān)系為：

wy(x,t)=N1us1+N2us2+N3us3+N4us4

(10)

其中,usi(i=1～4)為單元的節(jié)點位移.

將(10)帶入(8),并將所得表達式寫為矩陣形式：

(11)

其中,

(12e)

(12f)

(12g)

[m]、[c]、[k]為移動有限元的時變質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣.移動質(zhì)量的位置xp(t)與質(zhì)量和速度有關(guān).

1.2 裂紋梁單元

利用局部柔度理論建立裂紋梁單元的有限元模型.對于一個含有裂紋的歐拉-伯努利梁單元.單元長度為l,相對于梁單元的左端裂紋位置為l1.應(yīng)用局部能量法來推導(dǎo)裂紋梁單元的剛度矩陣[20].

對于無裂紋梁單元的應(yīng)變能為：

(13)

其中：E為楊氏模量,I為截面的慣性矩,l為梁單元的長度.梁單元的彎矩方程可以寫為：

Mb=Tl+M

(14)

其中：T為單元所受的剪力,M為單元的彎矩.

由于裂紋的存在,裂紋梁單元相對于一般的梁單元存在附加的應(yīng)變能,根據(jù)Tada[17]的理論：

(15)

其中：A為梁單元的橫截面積,μ為泊松比,KⅠ、KⅡ、KⅢ為應(yīng)力強度因子.

圖3 裂紋梁單元Fig. 3 Cracked beam element

根據(jù)無裂紋梁理論,無裂紋梁單元的彈性系數(shù)可以寫為：

(16)

而考慮裂紋梁的附加應(yīng)變能,其彈性系數(shù)為：

(17)

對于一個裂紋梁單元,單元的平衡方程可以寫為：

(18)

根據(jù)公式(13)(14)和(15)～(17)彈性矩陣[C]可以寫為：

(19)

根據(jù)公式(19),裂紋梁的剛度矩陣可以寫為：

(20)

2 系統(tǒng)動力方程求解

由圖1所示的多自由度系統(tǒng)的振動方程為：

(21)

(22)

(23)

除了含有移動質(zhì)量的S單元和含有裂紋的K單元：

(24)

(25)

(26)

(27)

隨時間變化的xm(t)和S可由(28)(29)得來：

xm(t)=xp(t)-(s-1)l

(28)

(29)

(30)

對于公式(21)所給出的動力方程,可以通過Newmark數(shù)值積分來得出結(jié)果.

3 數(shù)值結(jié)果

本文給出的所有結(jié)果,是在重力加速度為9.81m/s2、阻尼率為ξ1=ξ2=0.05對應(yīng)于以前兩階固有頻率ω1,ω2；取m為移動質(zhì)量的大小,M為梁的質(zhì)量.取梁的參數(shù)為：高h=0.5m,寬b=1m,長L=30m.簡支梁的材料屬性：密度7890kg/m3、楊氏模量2.01×1011Pa、泊松比0.3.

3.1 移動質(zhì)量下裂紋梁的固有頻率

為了揭示耦合系統(tǒng)各階頻率隨移動質(zhì)量與梁的質(zhì)量比、位置比和裂紋相對位置的變化規(guī)律,按特征值計算法的結(jié)果,繪出該耦合系統(tǒng)的前三階固有頻率隨裂紋位置比β和系統(tǒng)質(zhì)量位置比λ變化的三維圖形分別如圖4、圖5、圖6所示.

圖4 耦合系統(tǒng)的第一階固有頻率隨λ和β變化的三維圖Fig. 4 3-dimension graph of 1st natural frequency of the coupled system with the change of λ and β

圖5 耦合系統(tǒng)的第二階固有頻率隨λ和β變化的三維圖Fig. 5 3-dimension graph of 2nd natural frequency of the coupled system with the change of λ and β

圖6 耦合系統(tǒng)的第三階固有頻率隨λ和β變化的三維圖Fig. 6 3-dimension graph of 3rd natural frequency of the coupled system with the change of λ and β

假定當相對裂紋深度為0.5，質(zhì)量比為:m/M=0.2時.由以下三圖可以清晰地看到,移動質(zhì)量與簡支梁耦合系統(tǒng)的各階固有頻率隨裂紋位置比和質(zhì)量位置比呈簡諧函數(shù)規(guī)律變化,一階為半波,二階為全波,三階為1.5倍全波,且階數(shù)愈高波數(shù)越高.且根據(jù)圖像數(shù)據(jù)可以計算出,第一階頻率的變化范圍為0～25.49%；第二階頻率的變化范圍為0～17.31%；第三階頻率的變化范圍為0～14.71%.且當裂紋位置和移動質(zhì)量位置重合時的固有頻率相對于其他位置時會有較為顯著的下降.

綜上所述,移動質(zhì)量與裂紋梁耦合系統(tǒng)的各階固有頻率并非常數(shù),而與系統(tǒng)的質(zhì)量比、位置比和裂紋相對深度、相對位置有關(guān)；若用梁的固有頻率代替耦合系統(tǒng)的固有頻率有時會產(chǎn)生較大的誤差.

3.2 移動質(zhì)量下裂紋梁的動態(tài)響應(yīng)

利用上述理論編寫程序,將簡支梁分為50個單元.取裂紋相對深度為0.5,相對位置為0.5,移動質(zhì)量與梁的質(zhì)量比為：m/M=0.2.

圖7為移動質(zhì)量在不同速度時,梁跨中處的動態(tài)響應(yīng).當移動質(zhì)量在裂紋梁上運行時,梁的撓度相比于無損梁的撓度加大.并且在同一移動速度下,裂紋梁跨中處達到最大撓度的時刻要比無損梁達到最大撓度的時刻推后.并且隨著速度的增加,裂紋梁跨中處達到最大撓度的時刻有著向后推移的趨勢.當v=4m/s時,移動力與移動質(zhì)量的計算誤差為6.4%；當v=10m/s時,移動力與移動質(zhì)量的計算誤差為18.5%.表明隨著速度的增加,移動質(zhì)量慣性力對梁動態(tài)響應(yīng)的影響增加.

圖7 動質(zhì)量在不同速度作用下裂紋梁的動態(tài)響應(yīng)(裂紋相對深度α=0.5；相對位置β=0.5)(--移動力無裂紋, —○—移動力有裂紋—移動質(zhì)量無裂紋,—●—移動質(zhì)量有裂紋)Fig. 7 Dynamic response due to moving mass in different velocity

圖8表明裂紋對梁在不同時刻振動形狀的影響(v=10m/s、m/M=0.4).當移動質(zhì)量接近梁的右端時,裂紋對梁振動的影響越來越小.隨著質(zhì)量比和速度的增加,裂紋對梁撓屈變形影響最大的時刻并不是質(zhì)量移動到裂紋位置時(裂紋相對位置為0.5),而是在t/T=0.6左右.

圖8 移動質(zhì)量在速度為10m/s時,裂紋梁和無裂紋梁在七個時刻的形狀Fig. 8 Beam shape for v=10m/s, α=0.5,mid-span

圖9所示為裂紋程度的加深對梁跨中處動態(tài)響應(yīng)的影響(v=10m/s、m/M=0.4).隨著裂紋程度的增加跨中處動態(tài)響應(yīng)的最大位移增大,當裂紋相對深度α=0.2為時,跨中處最大撓度值較無損梁下降了0.16%；當α=0.3時,跨中處最大撓度值較無損梁下降了0.64%；當α=0.4時,跨中處最大撓度值較無損梁下降了3.23%；當α=0.5時,跨中處最大撓度值較無損梁下降了13.09%.表明隨著裂紋相對深度的增加,裂紋對梁跨中處的動態(tài)響應(yīng)越敏感.

圖9 裂紋深度的變化對動態(tài)響應(yīng)的影響Fig. 9 Effect of crack size on the time response at mid-span

4 結(jié)論

本文利用移動有限元和裂紋梁單元理論對移動質(zhì)量下簡支裂紋梁進行動力學(xué)計算分析,得出移動質(zhì)量作用下裂紋的存在相比于無損梁會產(chǎn)生更大的動態(tài)撓屈變形.運用移動有限元法,考慮移動質(zhì)量的慣性力對梁結(jié)構(gòu)動態(tài)性能的影響,隨著動載速度的增加,相比于移動力,慣性力對梁動態(tài)特性的影響更顯著,且慣性力對裂紋的影響使得梁跨中處達到最大撓度的時刻向后偏置.當裂紋相對深度達到α=0.5時,梁的動態(tài)撓度會有顯著的增大,若不及時發(fā)現(xiàn)處理將會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞.

1 李海斌,畢世華,方遠喬. 運動剛體激勵下彈性梁的振動響應(yīng)分析. 工程力學(xué), 1998,15(4):74～80 (Li H B, Bi S H. Fang Y Q. Vibraction analysis of beams activated by moving rigid body.EngineeringMechanics, 1998,15(4):74～80 (in Chinese))

2 M.A.M Ahmoud, M.A.A Bou, Z Aid. Dynamic response of a beam with a cracksubject to a moving mass.JournalofSoundandVibration, 2002,256(4):591～603

3 Cifuentes A O. Dynamic response of a beam excited by a moving mass.FiniteElementsinAnalysisandDesign, 1989,5:237～246

4 Wu J J, Whittaker A R, Cartmell M P. The use of finite element techniques for calculating the dynamic response of structures to moving loads.ComputersandStructures, 2000:78:789～799

5 Foda M A, Abduljabbar Z. A dynamic Green's function formulation for the response of a beam structure to a moving mass.JournalofSoundandVibration, 1998,210(3):295～3066 Zhu X Q, Law S S. Precise time-step integration for the dynamic response of acontinuous beam under moving loads.JournalofSoundandVibration, 2001,240(5):962～970

7 Wayou A N Y, Tchoukuegno R, Woafo P. Non-linear dynamics of an elastic beam under moving loads.JournalofSoundandVibration, 2004,273:1101～1108

8 彭獻,游福賀. 移動質(zhì)量與梁耦合系統(tǒng)固有頻率的計算與分析. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2009,7(3):270～274 (Peng X, You F H. Calculation and analysis on natural frequency of a moving mass and beam′s coupled system.JournalofDynamicsandControl, 2009,7(3):270～274(in Chinese))

9 彭獻,殷新鋒. 車-橋系統(tǒng)的振動分析及控制. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2006,4(3):253～258 (Peng X, Yin X F. Vibration analysis and control on vehicle-bridge system.JournalofDynamicsandControl, 2006,4(3):253～258)

10Ismail Gerdemeli, Ismail Esen, Derya?zer. Dynamic response of an overhead crane beam due to a moving mass using moving finite element approximation.KeyEngineeringMaterials, 2011,450:99～102

11范天佑. 斷裂理論基礎(chǔ). 北京：科學(xué)出版社, 2003 (Fan T Y. Theoretical basis of fracture. Beijing: Press of Science, 2003 (in Chinese))

12吳寧祥,謝里陽,吳克勤,由美雁. 裂紋梁動力學(xué)仿真的有限元模型. 東北大學(xué)學(xué)報, 2008,29(5):714～717 (Wu N X, Xie L Y, Wu K Q, You M Y. An improved finite element model for dynamic simulation ofcracked beam.JournalofNortheasternUniversity, 2008,29(5)714～717(in Chinese))

13劉文光,陳國平. 呼吸式裂紋梁的振動疲勞裂紋擴展耦合分析. 中國機械工程, 2010,21(23):2798～2802 (Liu W G, Chen G P.Coupling analysis of vibration fatigue crack growth for breathing cracked beam.MechanicalEngineeringofChina, 2010,21(23):2798～2802(in Chinese))14李兆軍,龍慧,劉洋,邱旻. 基于有限元位移模式的含裂紋梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型. 中國機械工程, 2014,25(12):1563～1566 (Li Z J, Long H,Liu Y, Qiu H. Dynamics equation of cracked beam based on finite element displacement mode.MechanicalEngineeringofChina,2014,25(12):1563～1566(in Chinese))

15吳寧祥,謝里陽,吳克勤等. 裂紋梁的相似特性及模型誤差分析. 機械強度, 2006,28(4):570～573 (Wu N X, Xie L Y, Wu K Q, et al. Similarity of cracked beam and model error analysis.MechanicalStrength, 2006,28(4):570～573 (in Chinese))

16錢管良,顧松年,姜節(jié)勝. 含裂紋梁的動力響應(yīng). 振動工程學(xué)報, 1989,2(3):78～85 (Qian G K, Gu S N, Jiang J S. The dynamic response of beam with crack.JournalofVibrationEngineering, 1989,2(3):78～85 (in Chinese))

17Tada H, Paris P, Irwin G. The stress analysis of cracks handbook. Hellertown, PA: Del Research Corp, 1973

18Clough R W, Penzien J. Dynamics of structures 3rd ed. Computers and Structures, Inc., Berkeley, 2003

19Fryba L. Vibration solids and structures under moving loads, Thomas TelfordHouse, London, 1999

20Nahvi H . Crack detection in beams using experimental modal data and finite element model. Mechanical Science, 2000

? Corresponding author E-mail:dick77891@qq.com

23 January 2016,revised 10 October 2016.

VIBRATION ANALYSIS OF A CRACKED BEAM BASES ON MOVING FINITE ELEMENT APPROACH*

Liang Gang1?Cao Pei1Tang Jiong2Shen Qing2,Li Xinshuang2

(1.CollegeofLogisticsEngineering,ShanghaiMaritimeUniversity,Shanghai201399,China)(2.ShanghaiZhenhuaHeavyIndustryCoLtd,Shanghai200125,China)(3.DepartmentofMechanicalEngineering,UniversityofConnecticut,American)

The vibration of a cracked beam due to a moving mass is investigated by using the moving finite element method and the local flexibility method. The effect of the relative position and relative depth of the crack on the natural frequency and the dynamic response of the cracked beam under different velocity are discussed through the numerical calculation. The analysis shows that the crack and the moving mass increase the dynamic displacement of beam, but decrease the coupling frequency of the system in a certain degree. Meanwhile, with the increase of the speed of moving mass and the relative depth of crack, the dynamic response of the beam is apt to increase.

moving finite element, simple support beam, open crack, natural frequency, dynamic response

10.6052/1672-6553-2016-051

2016-01-23收到第1稿,2016-10-10收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail:dick77891@qq.com