基于能量等效原理的應(yīng)變局部化分析:I.一維解析解1)

武守信 魏吉瑞 楊舒蔚

?(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，成都610031)?(交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031)

基于能量等效原理的應(yīng)變局部化分析:
I.一維解析解1)

武守信?,?,2)魏吉瑞?,?楊舒蔚?,?

?(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，成都610031)?(交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031)

基于熱力學(xué)第一定律和非局部塑性理論，提出了一種求解應(yīng)變局部化問題的非局部方法.對(duì)材料的每一點(diǎn)定義了局部和非局部?jī)煞N狀態(tài)空間，局部狀態(tài)空間的內(nèi)變量通過非局部權(quán)函數(shù)映射到非局部空間，成為非局部?jī)?nèi)變量.在應(yīng)變軟化過程中，局部狀態(tài)空間中的塑性變形服從正交流動(dòng)法則，材料的軟化律在非局部狀態(tài)空間中被引入.通過兩個(gè)狀態(tài)空間的塑性應(yīng)變能耗散率的等效，得到了應(yīng)變軟化過程中明確定義的局部化區(qū)域以及其中的塑性應(yīng)變分布.應(yīng)用本方法導(dǎo)出了一維應(yīng)變局部化問題的解析解.解析解表明，應(yīng)變局部化區(qū)域的尺寸只與材料內(nèi)尺度有關(guān)；對(duì)于高斯型非局部權(quán)函數(shù)，局部化區(qū)域的尺寸大約是材料內(nèi)尺度的6倍.一維算例表明，局部化區(qū)域的塑性應(yīng)變分布以及載荷--位移曲線僅與材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)幾何尺寸有關(guān)，變形局部化區(qū)域的尺寸隨著材料內(nèi)尺度的減小而減小，同時(shí)塑性應(yīng)變也隨著材料內(nèi)尺度的減小變得更加集中.當(dāng)內(nèi)尺度趨近于零時(shí)，應(yīng)用本文方法得到的解與采用傳統(tǒng)的局部塑性理論得到的解相同.

應(yīng)變局部化,非局部塑性,內(nèi)尺度,網(wǎng)格相關(guān)性,有限元

引言

一些巖土工程材料，如巖石、混凝土、土體，當(dāng)加載至接近破壞時(shí)，會(huì)在某些區(qū)域呈現(xiàn)出高度集中的塑性變形.這些具有集中塑性變形的區(qū)域通常呈帶狀[18]，因此這種現(xiàn)象通常叫做“應(yīng)變局部化(strain localization)”或 “剪切帶局部化 (shear band localization)”.伴隨應(yīng)變局部化出現(xiàn)的是材料強(qiáng)度隨著塑性變形的增大而減小，這種現(xiàn)象一般叫做“應(yīng)變軟化(strain softening)”.盡管應(yīng)變局部化的機(jī)理因材料的不同而不同，但由應(yīng)變軟化導(dǎo)致的應(yīng)變局部化是巖土材料中最常見的.

對(duì)剪切帶局部化的數(shù)值模擬已經(jīng)有30多年的歷史.目前普遍認(rèn)為在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的框架中采用應(yīng)變軟化模型對(duì)應(yīng)變局部化進(jìn)行數(shù)值模擬會(huì)導(dǎo)致病態(tài)的、具有網(wǎng)格相關(guān)性的結(jié)果[911].這種網(wǎng)格相關(guān)性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是當(dāng)采用的有限元網(wǎng)格尺寸變小時(shí)，應(yīng)變局部化區(qū)域的尺寸(或剪切帶的厚度)也隨之變小，當(dāng)網(wǎng)格尺寸趨于零時(shí)，剪切帶的厚度也趨于零；二是載荷--位移曲線與有限元網(wǎng)格尺寸密切相關(guān)，對(duì)于特定問題沒有唯一解.造成這種問題的根本原因可以從兩個(gè)方面理解：根據(jù)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，當(dāng)采用應(yīng)變軟化模型時(shí)，基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論建立的控制微分方程會(huì)失去其橢圓性[1214]，進(jìn)而導(dǎo)致相應(yīng)的邊值問題不適定；根據(jù)物理的觀點(diǎn)，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)采用逐點(diǎn)描述材料行為的方式，沒有包含材料的內(nèi)尺度信息，因此它不適合用來描述非均勻變形.

為了克服網(wǎng)格相關(guān)性，學(xué)者們提出了很多理論或模型.這些模型大體包括：擴(kuò)展的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型[910,12]、梯度塑性模型[14]和非局部塑性模型[1520].其中第一類模型通過引入附加的形函數(shù)或擴(kuò)展的應(yīng)變場(chǎng)來允許應(yīng)變局部化的形成，后兩類模型通過不同的方法在材料本構(gòu)關(guān)系中引入了材料內(nèi)尺度.所有這些模型的共同目的都是致力于恢復(fù)控制微分方程的橢圓性，從而使應(yīng)變軟化邊值問題變得適定，最終使局部化區(qū)域以及其中的塑性應(yīng)變分布的解成為一個(gè)在物理上客觀的量.

在上述這些模型中，非局部塑性模型提供了一種在本構(gòu)關(guān)系模型中引入材料內(nèi)尺度的直接、并且是自然的方法，從而克服了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的根本缺陷.這一類模型是基于Eringen[19]在1960年代提出的非局部連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的概念，并由Ba?zan和Lin[20]首先用于應(yīng)變軟化行為的模擬.它的基本假設(shè)是，材料某一點(diǎn)的屈服應(yīng)力不僅與這一點(diǎn)的內(nèi)變量有關(guān)，而且與材料其他點(diǎn)的內(nèi)變量有關(guān).根據(jù)這個(gè)假設(shè)，在最早由Ba?zant和Lin[20]提出的非局部模型(稱之為一般非局部塑性模型)中，材料一點(diǎn)的屈服應(yīng)力表示為該點(diǎn)非局部?jī)?nèi)變量的函數(shù)，而該點(diǎn)的非局部?jī)?nèi)變量是材料各點(diǎn)局部?jī)?nèi)變量的加權(quán)平均值.一般非局部塑性模型雖然在表達(dá)形式上簡(jiǎn)潔，但是在應(yīng)用中仍然導(dǎo)致了與網(wǎng)格相關(guān)的數(shù)值模擬結(jié)果[21].為了改進(jìn)這一模型，Vermeer和Brinkgreve[15]以及Str¨omberg和Ristinmaa[16]先后提出了混合非局部塑性模型.在這一模型中，屈服函數(shù)中的非局部?jī)?nèi)變量被代之以局部?jī)?nèi)變量和非局部?jī)?nèi)變量的線性組合.當(dāng)混合非局部參數(shù)大于1時(shí)，根據(jù)這一模型求解出的塑性應(yīng)變分布以及局部化區(qū)域的尺寸與網(wǎng)格無關(guān).Luzio和Ba?zant[21]通過譜分析證明了混合非局部模型的確能夠?qū)е屡c網(wǎng)格無關(guān)的解，而采用一般非局部塑性模型仍然不能克服網(wǎng)格相關(guān)性.L¨u等[1718]采用譜分析的方法對(duì)這一模型做了進(jìn)一步的改進(jìn).Jir′asek和Rolshoven[22]詳細(xì)比較了各種不同形式的非局部塑性模型以及混合非局部塑性模型在模擬應(yīng)變軟化行為時(shí)對(duì)于網(wǎng)格相關(guān)性的矯正效果.

然而，對(duì)于一般非局部塑性模型未能導(dǎo)致網(wǎng)格無關(guān)的結(jié)果的根本原因仍然沒有得到很好的理解.一般非局部塑性模型源于Eringen[19]的非局部連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，其物理基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)框架是堅(jiān)實(shí)的.Nilsson[23],Borino等[24],de Sciarra[25],以及Nguyen[26]還從熱動(dòng)力學(xué)和最大塑性耗散功方面論證了非局部塑性模型與熱力學(xué)第一和第二定律是一致的.理論上，一般非局部塑性模型應(yīng)該能夠?qū)е戮W(wǎng)格無關(guān)的結(jié)果，而實(shí)際應(yīng)用上并沒有實(shí)現(xiàn)最初提出這一模型的目的.因此，關(guān)于一般非局部塑性模型對(duì)于網(wǎng)格相關(guān)性的矯正機(jī)理仍需進(jìn)一步研究.

本工作從一個(gè)新的角度提出一種應(yīng)用一般非局部塑性模型矯正網(wǎng)格相關(guān)性的方法.這一方法應(yīng)用狀態(tài)空間理論，定義局部和非局部狀態(tài)空間，通過2個(gè)狀態(tài)空間的能量等效原理求解塑性應(yīng)變的分布以及局部化區(qū)域，從而得到客觀的、具有物理意義的解.由于這一方法在一維問題中可以得到解析解，而對(duì)于二維問題則只能采用有限元方法得到數(shù)值解，因此分成兩部分介紹這一方法,本文為第1部分.本文組織如下：第1節(jié)定義局部和非局部?jī)蓚€(gè)不同的狀態(tài)空間;第2節(jié)處理兩個(gè)狀態(tài)空間之間的能量等效關(guān)系；第3節(jié)導(dǎo)出局部和非局部狀態(tài)空間中內(nèi)變量的非局部變換公式，并討論軟化規(guī)律、流動(dòng)法則，以及非局部?jī)?nèi)變量的求解方法；第4節(jié)導(dǎo)出一維問題的解析解；第5節(jié)給出結(jié)論.本文的工作基于小變形假設(shè).

1 局部和非局部狀態(tài)空間

狀態(tài)空間的概念已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代控制理論，也用于彈性和熱彈性問題的求解[2728].本文應(yīng)用這個(gè)概念建立非局部塑性模型.

對(duì)于所占空間區(qū)域?yàn)棣傅膹椝苄圆牧?，在區(qū)域邊界?gΩ上作用有指定的力，在邊界?uΩ上作用有指定的位移(?gΩ∩?uΩ =?，? 為空集).假設(shè) x0代表時(shí)間t=0時(shí)某材料點(diǎn)初始構(gòu)形的坐標(biāo)，此材料點(diǎn)的局部狀態(tài)空間由下列狀態(tài)向量確定

其中,u為位移矢量；σ為應(yīng)力矢量；εe和εp分別表示彈性和塑性應(yīng)變矢量；η為內(nèi)變量矢量；上標(biāo)“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置.在局部狀態(tài)空間中沒有引入材料內(nèi)尺度.對(duì)于相同的材料點(diǎn)x0，它的非局部狀態(tài)空間定義為

其中“～”表示對(duì)應(yīng)于局部狀態(tài)量的非局部狀態(tài)量.

在非局部狀態(tài)空間中，在材料本構(gòu)關(guān)系中引入了材料內(nèi)尺度.但其他材料參數(shù)，如幾何形狀和邊界條件，則與非局部狀態(tài)空間相應(yīng)的參數(shù)相同.因此，當(dāng)材料內(nèi)尺度趨近于零時(shí)，非局部狀態(tài)空間就與局部狀態(tài)空間重合.

2 局部和非局部狀態(tài)空間之間的能量等效關(guān)系

對(duì)于在域Ω中定義的彈塑性率無關(guān)材料，如果假定絕對(duì)溫度θ和質(zhì)量密度ρ為常數(shù)，并且沒有熱輻射和對(duì)流發(fā)生，那么，在局部狀態(tài)空間中，熱力學(xué)第一定律可以表達(dá)為[29-30]

其中，e為每單位質(zhì)量的內(nèi)能.符號(hào)上面的圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過程，如果忽略體積力，那么整個(gè)材料的能量守恒定律可以表達(dá)為

式(4)的右端項(xiàng)可以寫為

則式(6)可以寫為

能量方程(4)可以表示為

如第1節(jié)所述，對(duì)于相同的材料點(diǎn)，存在一個(gè)非局部狀態(tài)空間，在此空間中的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)變量考慮了材料內(nèi)尺度的影響.考慮到對(duì)于兩個(gè)狀態(tài)空間，輸入材料的外力功相等，如果以表示輸入非局部狀態(tài)空間的外力功，則有

類似地，在非局部狀態(tài)空間中，能量方程(4)可以表示為

式 (12)的右邊代表非局部狀態(tài)空間總內(nèi)能的變化率，可以記為，即

根據(jù)局部狀態(tài)空間應(yīng)變張量的分解，也可以類似地在非局部狀態(tài)空間中將總應(yīng)變張量分解為彈性部分和塑性部分

同樣的處理過程，可以得到如下的關(guān)系式

比較式(10)和式(16)，則有

本文假定材料在局部和非局部狀態(tài)空間的總的塑性耗散功率相等，即

則由式(17)可得出

式(18a)和式(18b)分別表示在非局部狀態(tài)空間中內(nèi)能的塑性部分和彈性部分與局部狀態(tài)空間中的對(duì)應(yīng)部分相等.這兩個(gè)等式在本文的非局部方法中具有重要的作用.

3 非局部變換和內(nèi)變量的求解

3.1 內(nèi)變量的非局部變換

為了將非局部狀態(tài)空間與局部狀態(tài)空間聯(lián)系起來，定義材料點(diǎn)x在非局部狀態(tài)空間的非局部?jī)?nèi)變量(x)與局部狀態(tài)空間的內(nèi)變量η(x)之間的變換如下

其中，w(x,ξ;l)為核，也稱為域Ω內(nèi)的非局部權(quán)函數(shù)；x和ξ代表域Ω中材料點(diǎn)的坐標(biāo)；參數(shù)l為材料內(nèi)尺度.式(19)的積分區(qū)域是整個(gè)區(qū)域Ω.這個(gè)表達(dá)式跟Eringen[19]所采用的非局部量的表達(dá)式相似.關(guān)于函數(shù)w(x,ξ;l)的特性，Eringen[19]，Ba?zant及其合作者[2021]，Stromberg和 Ristinmaa[16]，Jirasek和 Rolshoven[22]以及其他很多學(xué)者都討論過.其主要性質(zhì)如下：(1)w(x,ξ;l)是一個(gè)遞減函數(shù)，當(dāng)‖ξ-x‖=0時(shí)取最大值 (‖?‖代表向量的長(zhǎng)度)，并且隨著 ‖ξ-x‖的增長(zhǎng)，w(x,ξ;l)平滑而迅速地衰減；(2)當(dāng)l→0時(shí)，w(x,ξ;l)接近為一個(gè)δ函數(shù)，即

(3)權(quán)函數(shù)w(x,ξ;l)應(yīng)該使一個(gè)均勻場(chǎng)在非局部變換后仍然是一個(gè)均勻場(chǎng)，這意味著w(x,ξ;l)必須滿足正則化條件

這一特性可以通過下式實(shí)現(xiàn)[15]

式中，下腳標(biāo)“∞”表示當(dāng)‖ξ-x‖→ ∞時(shí)，w∞(x,ξ;l)趨近于零.例如，高斯分布函數(shù)

就具備權(quán)函數(shù)的所有上述特性.其中nd代表域Ω的維數(shù).高斯分布函數(shù)具有無限支撐集，意味著不論材料點(diǎn)與點(diǎn)之間距離多大，它們之間都會(huì)發(fā)生相互作用，但是這種作用會(huì)隨著‖x-ξ‖/l的增大而迅速減小.一些其他類型的具有有限支撐集的函數(shù)也可以作為權(quán)函數(shù)[22].

3.2 一維問題的屈服函數(shù)和流動(dòng)法則

本文只討論一維問題的屈服函數(shù)和流動(dòng)法則.在局部狀態(tài)空間中，如果域Ω中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)滿足屈服準(zhǔn)則

則材料在x點(diǎn)開始屈服,即x∈Ωp，其中Ωp代表包括所有屈服的材料點(diǎn)的區(qū)域.式(22)中，σY0表示初始屈服應(yīng)力.塑性變形將從這一時(shí)刻開始產(chǎn)生并隨著進(jìn)一步的加載而增大.如果初始屈服后緊跟著應(yīng)變軟化，則假定在局部狀態(tài)空間中，塑性變形服從關(guān)聯(lián)的正交流動(dòng)法則其中為局部狀態(tài)空間的塑性乘子.在局部狀態(tài)空間并沒有引入軟化律，而是將在后面的非局部空間引入軟化律.根據(jù)大量的試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)巖石、混凝土和土體的軟化行為作如下假設(shè).

(1)應(yīng)變軟化是一種滿足下列條件的全局行為：

(2)屈服應(yīng)力σY為非局部?jī)?nèi)變量在非局部狀態(tài)空間的特征塑性區(qū)域Ωcp上的積分的函數(shù).這里的Ωcp不同于局部狀態(tài)空間中的Ωp.

第1個(gè)假設(shè)意味著整個(gè)材料的能量耗散隨著邊界位移的增大和彈性能的減小總是非負(fù)的.這符合大多數(shù)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和熱力學(xué)分析[1,24,31].第2個(gè)假設(shè)是基于一個(gè)更加基本的假設(shè)，即應(yīng)變軟化過程的動(dòng)量平衡是局部滿足的而且局部彈性卸載和全局塑性能量耗散是同時(shí)發(fā)生的[47].

一維問題的非局部狀態(tài)空間的屈服條件和軟化規(guī)律通過下式引入

其中,Lcp為特征塑性區(qū)域Ωcp的長(zhǎng)度.

應(yīng)該指出，Ωcp是與非局部狀態(tài)空間相關(guān)的特征塑性區(qū)域，它是一非零的客觀區(qū)域，在此區(qū)域中材料發(fā)生軟化塑性變形，它的大小取決于材料內(nèi)尺度和權(quán)函數(shù)的具體形式.

對(duì)于線性應(yīng)變軟化，定義

由于非局部狀態(tài)空間的應(yīng)力狀態(tài)?σ與局部狀態(tài)空間相應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)σ相同，方程(25)還可以寫為

塑性加載和卸載遵循Kuhn-Tucker互補(bǔ)條件[7]

以及一致性要求

將式(26)、式(29)和式(30)代入式(33)可以得到

其中

由于卸載過程中應(yīng)力是減小的，因此假設(shè)在某一時(shí)刻有一彈性試應(yīng)力σtr(參看文獻(xiàn)[29])，則˙σ可以表示為

其中,re是一個(gè)待確定的系數(shù).將式(36)代入式(34)得到

相應(yīng)的彈性應(yīng)變率如下

在非局部狀態(tài)空間中，進(jìn)一步假設(shè)關(guān)聯(lián)正交流動(dòng)法則仍然適用，因此有

在應(yīng)變硬化或軟化律中，常采用等效塑性應(yīng)變作為內(nèi)變量，即

相應(yīng)地，在非局部狀態(tài)空間，也存在下列關(guān)系式

由式(7a)可知，在局部狀態(tài)空間中域Ωp內(nèi)的塑性能變化率可以表達(dá)為

其中，A代表一維桿件的截面積.式(43)代入了關(guān)聯(lián)的正交流動(dòng)法則式(23).由于σ和sign(σ)在區(qū)域Ωp內(nèi)是連續(xù)的，對(duì)等式(43)右端項(xiàng)應(yīng)用積分中值定理得到

其中，xm為Ωp中的某點(diǎn)；(xm)代表(x)在Ωp中的均值；Lp為Ωp的長(zhǎng)度.合并式(44)和式(43)可得

其中δ(x)為Dirac-δ函數(shù)，定義如下

因此，式(45)可以寫為

一般地，非局部權(quán)函數(shù)w(x,ξ;l)與時(shí)間無關(guān)，因此根據(jù)式(41)和式(42)，將式(48)代入非局部轉(zhuǎn)換關(guān)系式(19)中可得

其中，xp代表局部狀態(tài)空間中塑性應(yīng)變不為零的點(diǎn)，這是因?yàn)樵诰植繝顟B(tài)空間中的應(yīng)變軟化會(huì)導(dǎo)致塑性應(yīng)變集中于一點(diǎn)，所以Ωp→0.但在非局部狀態(tài)空間，塑性區(qū)域由式(50)確定.將式(42)和式(50)代入式(27)，得到

從式(49)、式(51)、式(52)可以看出，盡管局部狀態(tài)空間的塑性乘子為Dirac-δ函數(shù)的倍數(shù)，非局部狀態(tài)空間的非局部塑性乘子及其在特征塑性區(qū)域中的平均值具有明確定義.

3.3 一維問題的解析解

將式(15a)、式(38)和式(39)代入式(15b)，并考慮到式(51)，可得到非局部狀態(tài)空間總能量率的表達(dá)式

將式(49)代入式(53)并且注意到式(11)和式(16)，則有

圖1 一維模型問題Fig.1 One-dimensional model problem

將式(11)和式(7a)以及式(55)代入式(54)可得到如下的應(yīng)力率、非局部狀態(tài)空間的塑性應(yīng)變率、彈性應(yīng)變率以及總應(yīng)變率的表達(dá)式如下

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的分析，99.7%的塑性變形發(fā)生在區(qū)域|x-ξ|＜ 3l中.當(dāng)|x-ξ|＞ 3l，塑性變形很小，可以忽略不計(jì).從物理意義上，式(58)中的內(nèi)尺度反映了變形的集中程度，與局部化區(qū)域的尺寸密切相關(guān).如果把包含99.7%的塑性變形的區(qū)域作為局部化區(qū)域，則對(duì)于高斯型權(quán)函數(shù)，特征塑性區(qū)域?yàn)?/p>

文獻(xiàn)[14]根據(jù)高階梯度塑性理論給出的應(yīng)變局部化區(qū)域的長(zhǎng)度是

比較式(59)和式(60)可知，由本文理論得到的應(yīng)變局部化區(qū)域的長(zhǎng)度和由高階梯度塑性理論的預(yù)測(cè)值大體相近.

式(59)和式(60)表明，如果非局部權(quán)函數(shù)為高斯分布形式，則塑性應(yīng)變局部化區(qū)域的長(zhǎng)度Lcp至少是材料內(nèi)尺度l的6倍.如果材料的弱區(qū)域位于拉桿的中間部位，即xp=L/2，則式(55)滿足的條件是L/l＞6.由此可知，式(56)和式(57)有效范圍為L(zhǎng)/l＞6.如果通過試驗(yàn)測(cè)量Lcp，試件的長(zhǎng)度至少要大于材料內(nèi)尺度的6倍才可以得到具有物理意義的非局部軟化模量ˉEps.對(duì)于其他形式的權(quán)函數(shù)，內(nèi)尺度的定義可能不同，但它與局部化區(qū)域長(zhǎng)度的關(guān)系可以通過類似的方式得到.需要指出的是，本文的內(nèi)尺度是通過非局部權(quán)函數(shù)引入到材料本構(gòu)關(guān)系模型的.在物理意義上，材料內(nèi)尺度與材料的物質(zhì)結(jié)構(gòu)以及顆粒的尺寸有關(guān).不同的本構(gòu)模型對(duì)于材料內(nèi)尺度的定義不同，導(dǎo)致內(nèi)尺度與材料顆粒尺寸的關(guān)系也不同.在Ba?zant和Pijaudier-Cabot[32]提出的一種非局部連續(xù)介質(zhì)模型中，局部化區(qū)域的長(zhǎng)度與材料內(nèi)尺度近似相同，他們通過試驗(yàn)得到的材料內(nèi)尺度是骨料最大尺寸的2.7倍.M¨uhlhaus和Vardoulakis[33]通過X射線測(cè)量沙土雙軸試驗(yàn)中形成的剪切帶，所得到的剪切帶厚度是顆粒平均直徑的16倍.因此，從材料試驗(yàn)的角度來看，應(yīng)變局部化區(qū)域的長(zhǎng)度Lcp(一維情況)或剪切帶厚度(二維情況)應(yīng)被視為一種可以直接測(cè)量的、與材料顆粒尺寸密切相關(guān)的材料特性參數(shù)，而材料內(nèi)尺度則應(yīng)被視為一種與具體的非局部模型有關(guān)的間接參數(shù).對(duì)于經(jīng)歷局部化變形的材料，Lcp的測(cè)定顯然直接影響到ˉEps的取值，進(jìn)而影響到計(jì)算結(jié)果.

4 算例和討論

假定拉桿的尺寸和材料特性如下：L=100mm,E=20000MPa,線性軟化模量ps=-2000MPa,σY0=2MPa.桿件中心弱區(qū)域的屈服強(qiáng)度σ=1.8MPa.將這些數(shù)據(jù)代入式(56)和式(57)，并采用一維高斯權(quán)函數(shù)式(58)，可得到塑性應(yīng)變的分布和應(yīng)力位移曲線分別如圖2和圖3所示.為了比較不同材料內(nèi)尺度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，圖2和圖3給出了材料內(nèi)尺度l分別取3mm，4mm，5mm，8mm，10mm時(shí)的計(jì)算結(jié)果以進(jìn)行比較.圖2表明，變形局部化區(qū)域的尺寸隨著材料內(nèi)尺度的減小而減小，同時(shí)塑性應(yīng)變也隨著材料內(nèi)尺度的減小變得更加集中.圖3表明，峰值后的載荷--位移曲線下降段隨著材料內(nèi)尺度的減小而更加陡峭.這種趨勢(shì)表明，隨著l→0,當(dāng)Lcp=L?-ps/E?時(shí)，峰值后的載荷--位移曲線就會(huì)出現(xiàn)最陡的下降路徑，當(dāng)Lcp＜L?-ps/E?時(shí)，載荷--位移曲線會(huì)出現(xiàn)“回彈”(snap-back)現(xiàn)象，這正是局部連續(xù)介質(zhì)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，當(dāng)采用數(shù)值方法求解時(shí)，會(huì)得到與網(wǎng)格相關(guān)的結(jié)果.這說明，當(dāng)l→0時(shí)，非局部效應(yīng)消失，非局部塑性模型退化成局部塑性模型.

圖2 不同材料內(nèi)尺度下拉桿內(nèi)的塑性應(yīng)變分布Fig.2 Plastic strain distributions along the axis of the bar for di ff erent internal length scales

圖3 不同材料內(nèi)尺度下拉桿的載荷--位移曲線Fig.3 Load-displacement curves of the bar with di ff erent internal length scales

在一般非局部塑性模型中，屈服應(yīng)力表達(dá)為非局部?jī)?nèi)變量的函數(shù)，在塑性流動(dòng)階段，由非局部?jī)?nèi)變量求解局部?jī)?nèi)變量時(shí)需要求解第一類Fredholm積分方程，而第一類Fredholm積分方程本身是不適定的(ill-posed).當(dāng)非局部?jī)?nèi)變量具有微小的擾動(dòng)時(shí)，局部?jī)?nèi)變量具有無窮大的變化.由此導(dǎo)致當(dāng)材料體某一點(diǎn)首先屈服時(shí)，盡管非局部?jī)?nèi)變量具有有限的大小，但局部?jī)?nèi)變量在初始屈服點(diǎn)無窮大，最終使塑性應(yīng)變集中于尺寸為零的區(qū)域而不能擴(kuò)展至有明確定義的區(qū)域.當(dāng)采用數(shù)值方法求解時(shí)，計(jì)算結(jié)果依賴于網(wǎng)格尺寸的大小和劃分方式.

在混合非局部塑性模型中，通過引入一個(gè)非局部參數(shù)m＞1對(duì)局部和非局部?jī)?nèi)變量進(jìn)行加權(quán)平均，從而得到一個(gè)過非局部?jī)?nèi)變量(over nonlocal internalvariable)，并將屈服應(yīng)力表達(dá)為過非局部?jī)?nèi)變量的函數(shù).由此，局部和非局部?jī)?nèi)變量的關(guān)系變?yōu)榈诙怓redholm積分方程.第二類Fredholm積分方程本身是適定的，具有穩(wěn)定且唯一的解,對(duì)有些核，甚至有解析解.L¨u等[34]采用自然指數(shù)函數(shù)作為核，獲得了一維混合非局部塑性模型的解析解.但是，采用混合非局部模型除了需要材料內(nèi)尺度外，還要引入另一個(gè)非局部參數(shù)m.Luzio和Ba?zzant[21]證明了變形局部化區(qū)域的尺寸隨著混合非局部參數(shù)m的增加而增大.然而，在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)m具體值的選取具有任意性(只要大于1即可)，導(dǎo)致變形局部化區(qū)域的尺寸會(huì)由于m的不同而不同.而且非局部參數(shù)m的物理意義仍然不清楚.

本文所提方法的優(yōu)點(diǎn)在于通過局部和非局部狀態(tài)空間塑性能量變化率的等效，將局部塑性模型中集中于離散點(diǎn)的內(nèi)變量按照非局部權(quán)函數(shù)的分布形式平滑分布于非局部狀態(tài)空間，從而得到塑性應(yīng)變分布的客觀解，使得變形局部化區(qū)域的長(zhǎng)度只與材料內(nèi)尺度有關(guān),既避免了直接求解第一類Fredholm積分方程，也回避了在本構(gòu)模型中引入另外的參數(shù).

5 結(jié)論

本工作根據(jù)第一熱力學(xué)定律，應(yīng)用非局部塑性理論，提出了一種求解應(yīng)變局部化問題的新方法.該方法可以克服傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型的缺陷，得到應(yīng)變局部化問題的客觀解.通過定義兩個(gè)狀態(tài)空間，即局部和非局部狀態(tài)空間，使兩個(gè)狀態(tài)空間的塑性應(yīng)變能耗散率相等，從而得到明確定義的局部化區(qū)域和其中的塑性應(yīng)變分布.本方法保證了材料的總能量耗散是非負(fù)的，同時(shí)動(dòng)量平衡和塑性一致性條件都局部得到滿足.

應(yīng)用本文方法對(duì)一維問題獲得了解析解.針對(duì)高斯權(quán)函數(shù)得到了局部化區(qū)域尺寸和材料內(nèi)尺度的近似關(guān)系.算例表明，局部化區(qū)域的尺寸和塑性應(yīng)變的分布都僅與材料特性有關(guān).隨著材料內(nèi)尺度的減小，局部化區(qū)域的尺寸減小，但是塑性應(yīng)變的集中程度增大.當(dāng)內(nèi)尺度趨近于零時(shí)，用本文方法得到的結(jié)果接近于傳統(tǒng)的局部塑性理論所得到的解.

與混合非局部塑性模型相比，本文提出的模型并不需要引入另外的非局部參數(shù)，并且對(duì)一般的非局部權(quán)函數(shù)在一維情況下都可以獲得解析解.在本研究的下一篇論文“基于能量等效的應(yīng)變局部化分析II：有限元解法”中將會(huì)看到，本文所提出的方法在有限元分析中容易實(shí)現(xiàn)，且只需要單元之間的位移插值函數(shù)具有C0連續(xù)性.

1 Read HE,Hegemier GA.Strain softening of rock,soil and concrete—a review article.Mechanics and Materials,1984,3(3)：271-294

2 Vardoulakis I.Shear band inclination and shear modulus of sand in biaxial test.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1980,4(2)：103-119

3 Jir′asek M,Ba?zant ZP.Inelastic Analysis of Structures.Chichester,England：John Wiley&Sons,2002

4邵龍?zhí)?劉港,郭曉霞.三軸試樣破壞后應(yīng)變局部化影響的實(shí)驗(yàn)研究.巖土工程學(xué)報(bào)，2016，38(3)：385-394(Shao Longtan,Liu Gang,Guo Xiaoxia.E ff ects of strain localization of triaxial samples in post-failure state.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2016,38(3)：385-394(in Chinese))

5李學(xué)豐,黃茂松,錢建固.基于非共軸理論的各向異性砂土應(yīng)變局部化分析.工程力學(xué),2014,31(3)：205-246(Li Xuefeng，Huang Maosong,Qian Jiangu.Strain localization analysis of anisotropic sands based on non-coaxial theory.Engineering Mechanics,2014,31(3)：205-246(in Chinese))

6王水林,鄭宏,劉泉聲等.應(yīng)變軟化巖體分析原理及其應(yīng)用.巖土力學(xué),2014,35(3)：609-630(Wang Shuilin,Zheng Hong,Liu Quansheng,et al.Principle of analysis of strain-softening rock mass and its application.Rock and Soil Mechanics,2014,35(3)：609-630(in Chinese))

7錢建固,呂璽琳,黃茂松.平面應(yīng)變狀態(tài)下土體的軟化特性與本構(gòu)模擬.巖土力學(xué),2009,30(3)：617-622(Qian Jiangu，L¨u Xilin，Huang Maosong.Softening characteristics of soils and constitutive modeling under plane strain condition.Rock and Soil Mechanics,2009,30(3)：617-622(in Chinese))

8王杰,李世海,張青波.基于單元破裂的巖石裂紋擴(kuò)展模擬方法.力學(xué)學(xué)報(bào),2015,47(1)：105-118(Wang Jie,Li Shihai,Zhang Qingbo.Simulation of crack propagation of rock based on splitting elements.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(1)：105-118(in Chinese))

9 Pietruszczak ST,Mr′oz Z.Finite element analysis of deformation of strain-softening materials.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1981,17(3)：327-334

10 Ortiz M,Leroy Y,Needleman A.A finit element method for localized failure analysis.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1987,61(2)：189-214

11 de Borst R,Sluys LJ,M¨uhlhaus HB,et al.Fundamental issues in finit element analyses of localization of deformation.Engineering Computations,1993,10(2)：99-121

12 Simo JC.Strain softening and dissipation：a unificatio of approaches//Mazars J,Ba?zant ZP,eds.Cracking and Damage：Strain Localization and Size E ff ect.London and New York：Elsevier Applied Science,1988：440-461

13 Schae ff er DG.Instability and ill-posedness in the deformation of granular materials.International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1990,14(4)：253-278

14 de Borst R,M¨uhlhaus HB.Gradient-dependent plasticity：formulation and algorithm aspects.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1992,35(3)：521-539

15 Vermeer PA，Brinkgreve RBJ.A new e ff ective non-local strain measure for softening plasticity//Chambon V,Desrues J,Vardoulakis I,eds.Localisation and Bifurcation Theory for Soils and Rocks,Rotterdam,Netherland：A.A.Balkema,1994

16 Stromberg L,Ristinmaa M.FE-formulation of a nonlocal plasticity theory.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,136(1-2)：127-144

17 L¨u XL，Bardet JP，Huang MS.Numerical solutions of strain localization with nonlocal softening plasticity.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2009,198(47)：3702-3711(in Chinese)

18 L¨u XL，Bardet JP，Huang MS.Spectral analysis of nonlocal regularization in two-dimensional finit element models.International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,2012,36(2)：219-235

19 Eringen AC.Nonlocal Continuum Field Theories. New York：Springer-Verlag,2002

20 Ba?zant ZP,Lin FB.Nonlocal smeared cracking model for concrete fracture.Journal of structural Engineering,1988,114(11)：2493-2510

21 Luzio GD,Ba?zant ZP.Spectral analysis of localization in nonlocal and over-nonlocal materials with softening plasticity or damage.International Journal of Solids and Structures,2005,42(23)：6071-6100

22 Jir′asek M,Rolshoven S.Comparison of integral-type nonlocal plasticity models for strain-softening materials.International Journal of Engineering Science,2003,41(13-14)：1553-1602

23 Nilsson C.Nonlocal strain softening bar revisited.International Journal of Solids and Structures,1997,34(34)：4399-4419

24 Borino G,Fuschi P,Polizzotto C.A thermodynamic approach to nonlocal plasticity and related variational principles.Journal of Applied Mechanics,1999,66(4)：952-963

25 de Sciarra FM.A general theory for nonlocal softening plasticity of integral-type.International Journal of Plasticity,2008,24(8)：1411-1439

26 Nguyen GD.A thermodynamic approach to non-local damage modeling of concrete.International Journal of Solids and Structures,2008,45(7-8)：1918-1934

27 Ogata K.Modern Control Engineering.5th Edition.New Jersey：Prentice Hall,2010

28 Tarn JQ.A state space formalism for anisotropic elasticity.Part I：Rectilinear anisotropy.International Journal of Solids and Structures,2002,39(20)：5157-5172

29 Simo JC,Hughes TJR.Computational Inelasticity.New York：Springer-Verlag,1998

30 Reddy JN.An Introduction to Continuum Mechanics.New York：Cambridge University Press,2008

31陳昀,金衍,陳勉.基于能量耗散的巖石脆性評(píng)價(jià)方法.力學(xué)學(xué)報(bào),2015,47(6)：984-993(Chen Yun,Jin Yan,Chen Mian.A rock brittleness evaluation method based on energy dissipation.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(6)：984-993(in Chinese)

32 B?zant Z,Pijaudier-Cabot G.Measurement of characteristic length of nonlocal continuum.Journal of Engineering Mechanics,1989,115(4)：755-767

33 Mühlhaus H-B,Vardoulakis I.The thickness of shear bands in granular materials.G′eotechnique,1987,37(3)：271-283

34 LüXL,Bardet JP，Huang MS.Length scales interaction in nonlocal plastic strain localization of bars of varying section.Journal of Engineering Mechanics,2010,136(8)：1036-1042

ANALYSIS OF STRAIN LOCALIZATION BY ENERGY EQUIVALENCE:I.ONE-DIMENSIONAL ANALYTICAL SOLUTION1)

Wu Shouxin?,?,2)Wei Jirui?,?Yang Shuwei?,??(Department of Bridge Engineering，School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)?(Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering of Ministry of Education，Chengdu 610031，China)

Based on the firs law of thermodynamics and the nonlocal plasticity theories,a new approach is proposed to solve the strain localization problems induced by strain softening.For each material point,two state spaces,local and nonlocal state spaces,are define such that the local internal variable can be mapped,from the local state space by integraltransformationwiththenonlocalweightingfunction,intothenonlocalinternalvariableinthenonlocalstatespace.During strain softening,the plastic deformation follows the normal fl w rule in the local state space and the softening law is introduced in the nonlocal state space.It is assumed that the strain softening is a global material behavior and the plastic energy dissipation within the entire material body is always positive.However,the balance of momentum is still satisfie locally.By equating the rates of the plastic energy dissipation in the two state spaces during strain softening,the localization zone and the plastic strain distribution become well-defined Analytical solution for the one-dimensional strain localization is developed,and it is well shown that the plastic strain distribution and load-displacement curves are well-define by the material properties,such as the softening modulus and internal length scale,as well as the geometry of the material body.For the Gaussian-type weighting functions the width of the localization zone is approximately six times the internal length scale.Numerical example demonstrates that the size of the localization zone decreases as the internal length scale is reduced,and the distribution of the plastic strain in the localization zone becomes more concentrated when the internal length scale becomes smaller.As the internal length scale approaches to zero,the solution reduces to the one predicted by the conventional local plasticity theory.

strain localization,nonlocal plasticity,internal length scale,mesh-dependence,finit element

O344.3,TU501

：A

10.6052/0459-1879-16-328

2016–11–11 收稿，2017–03–20 錄用,2017–03–21 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金(201250300)和西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院基礎(chǔ)研究創(chuàng)新計(jì)劃基金資助項(xiàng)目.

2)武守信，副教授，博士，主要研究方向：橋梁和巖土結(jié)構(gòu)的有限元分析和本構(gòu)關(guān)系.E-mail：swu@home.swjtu.edu.cn

武守信,魏吉瑞,楊舒蔚.基于能量等效原理的應(yīng)變局部化分析：I.一維解析解.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(3)：667-676

Wu Shouxin,Wei Jirui,Yang Shuwei.Analysis of strain localization by energy equivalence：I.One-dimensional analytical solution.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：667-676