巖土的一種強(qiáng)度準(zhǔn)則及其變換應(yīng)力法1)

萬 征 秋仁東 郭金雪

(中國建筑科學(xué)研究院地基基礎(chǔ)研究所，北京100013)

巖土的一種強(qiáng)度準(zhǔn)則及其變換應(yīng)力法1)

萬 征2)秋仁東 郭金雪

(中國建筑科學(xué)研究院地基基礎(chǔ)研究所，北京100013)

基于巖土摩擦性，假設(shè)巖土破壞是由其物理空間內(nèi)特征面上的應(yīng)力比決定，提出了等效應(yīng)力比的概念，即物理空間特征面上的剪應(yīng)力合力與正應(yīng)力合力的比值.在二維條件下，等效應(yīng)力比可表示為σ-τ坐標(biāo)系下與摩爾圓相切的直線扣除截距正切值；在三維條件下，假設(shè)在XYZ空間內(nèi)存在一三維物理空間平面，此三維空間特征平面的等效應(yīng)力比為影響材料強(qiáng)度特性的決定性因素，基于上述三維空間特征面建立了強(qiáng)度準(zhǔn)則并稱之為a準(zhǔn)則.SMP準(zhǔn)則以及廣義Mises準(zhǔn)則都是a準(zhǔn)則的特例，當(dāng)二維坐標(biāo)中的截距為零時(shí)，則強(qiáng)度準(zhǔn)則退化為SMP(spatially mobilized plane)強(qiáng)度準(zhǔn)則，而當(dāng)正切角為零時(shí)，則強(qiáng)度準(zhǔn)則退化為廣義Mises準(zhǔn)則.而當(dāng)截距與外切角均不為零時(shí)，則強(qiáng)度準(zhǔn)則為介于上述兩者之間的一種強(qiáng)度準(zhǔn)則,在偏平面上為介于SMP曲邊三角形與廣義Mises圓形之間的曲邊三角形.在子午面上，采用考慮巖土壓剪耦合的屈服準(zhǔn)則，破壞準(zhǔn)則采用冪函數(shù)表達(dá)式.在偏平面上提出了基于a準(zhǔn)則的形狀函數(shù)，并采用真三維應(yīng)力狀態(tài)表示的破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則表示在三軸壓縮路徑下以p,q二維應(yīng)力變量表達(dá)的準(zhǔn)則公式，推導(dǎo)得到了基于a準(zhǔn)則的變換應(yīng)力公式，可簡單地將一般以p,q為基本變量的二維模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿S應(yīng)力模型.通過強(qiáng)度以及多種應(yīng)力路徑的測(cè)試對(duì)比，驗(yàn)證了a準(zhǔn)則及基于該準(zhǔn)則的變換應(yīng)力公式的合理性.

巖土材料，破壞，強(qiáng)度準(zhǔn)則，屈服準(zhǔn)則，應(yīng)力路徑

引言

區(qū)別于混凝土以及金屬等人造材料，巖土材料等天然材料具有更為明顯的弱凝聚力現(xiàn)象.這來源于土的三個(gè)基本特性，即摩擦性、壓硬性和剪脹性.摩擦性實(shí)際上表明了巖土材料的破壞性質(zhì)，說明其破壞主要是由應(yīng)力比來控制;而壓硬性則描述巖土材料模量的變化特點(diǎn);剪脹性則說明其實(shí)質(zhì)是壓剪耦合材料，表述的是硬化屈服階段下的變形特點(diǎn).對(duì)于土的力學(xué)特性認(rèn)識(shí)也始于其強(qiáng)度理論的建立.庫倫創(chuàng)立了庫倫定律，用剪切面法向應(yīng)力的函數(shù),描述了二維應(yīng)力條件下砂土剪切強(qiáng)度.此后，隨著金屬材料等其他材料的廣泛運(yùn)用，涌現(xiàn)出了眾多的強(qiáng)度理論.按照所建立的模型是否具有物理涵義來區(qū)分，可分為物理模型與數(shù)學(xué)模型，前者包括摩爾--庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則[1]、SMP強(qiáng)度準(zhǔn)則[23]、雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則[4]，后者包括Lade-Duncan準(zhǔn)則[5]、Hoek-Brown準(zhǔn)則[68].按照數(shù)學(xué)表達(dá)形式來區(qū)分，可分為線性強(qiáng)度準(zhǔn)則與非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，前者有摩爾--庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則、雙剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，而后者有SMP強(qiáng)度準(zhǔn)則、Lade-Duncan強(qiáng)度準(zhǔn)則、Willam-Warnke準(zhǔn)則[9]以及新近發(fā)展的S準(zhǔn)則[10]和廣義非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則[1112]等.

目前大多數(shù)的強(qiáng)度準(zhǔn)則一般從幾何空間中的破壞面入手來構(gòu)建強(qiáng)度理論，如摩爾--庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則認(rèn)為在二維應(yīng)力空間τ-σ中存在破壞面，且破壞面上剪應(yīng)力與法向應(yīng)力之比為常數(shù)，是土摩擦角的正切值.由于未能考慮中間主應(yīng)力的影響，當(dāng)其用于三維應(yīng)力狀態(tài)下的破壞時(shí)，往往低估了實(shí)際材料強(qiáng)度值.俞茂鋐等[13]提出了雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，認(rèn)為作用于某一單元面上的大主剪應(yīng)力與中間主剪應(yīng)力的函數(shù)達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開始發(fā)生屈服破壞，并利用強(qiáng)度面外凸性得到了強(qiáng)度理論的上限.由于未考慮靜水壓力的影響，材料在不同靜水壓力下偏平面上的破壞面形態(tài)始終不變，這不符合實(shí)際.事實(shí)上，Randolph[14]通過巖土試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在較小的靜水壓力下,偏平面上破壞面形狀為較尖銳的曲邊三角形；當(dāng)靜水壓力增大時(shí)，破壞面形狀逐漸趨向于圓形的曲邊多邊形.這種未考慮應(yīng)力誘導(dǎo)各向異性的強(qiáng)度準(zhǔn)則有很多，比如Zienkiewicz等[15]提出的用于描述偏平面上破壞面的形狀函數(shù)，其能描述巖土破壞時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，但無法準(zhǔn)確描述屈服狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài).Matsuoka[16]提出的SMP強(qiáng)度理論，基于在三維物理空間中存在一假想滑移面的思想(這一滑移面為控制巖土材料破壞的主導(dǎo)因素)，將摩爾--庫倫的主剪應(yīng)力與法向應(yīng)力之比用于該滑移面上，該滑移面為兩對(duì)相鄰單元面的滑移面組合形式，故也被稱為三維摩爾--庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則.根據(jù)SMP空間滑移面理論，其每兩個(gè)相鄰主應(yīng)力所確定的滑移面的外法向單位向量為與材料參數(shù)無關(guān)[17]，對(duì)于廣義Mises強(qiáng)度理論，其空間滑移面的外法向單位向量為 /3(i=1,2,3).對(duì)于廣義非線性強(qiáng)度理論，其偏平面上表達(dá)式為上述兩準(zhǔn)則的線性插值公式，因此其滑移面也對(duì)應(yīng)為上述兩個(gè)法向向量的線性插值形式，含有反映拉壓強(qiáng)度比的參數(shù)α，與材料物性有關(guān).由Mortara[18]提出的MNLD準(zhǔn)則在偏平面上的表達(dá)式為SMP準(zhǔn)則與Lade-Duncan準(zhǔn)則的冪函數(shù)插值公式，插值參數(shù)位于冪次上，造成其偏平面上的廣義偏應(yīng)力強(qiáng)度無法顯示表達(dá)，且由于其屈服準(zhǔn)則中的強(qiáng)度線為直線，而強(qiáng)度準(zhǔn)則中表達(dá)式為冪函數(shù)曲線，兩者表述不一致.近來,研究都著重于從滑移面出發(fā)，構(gòu)建反映滑移面為變量的函數(shù)來實(shí)現(xiàn)破壞狀態(tài)的描述.張連衛(wèi)等[19]基于SMP準(zhǔn)則的滑移面，將沉積面與滑移面之間夾角的線性函數(shù)表達(dá)為滑移面上摩擦角的正切值，以此反映各向異性對(duì)強(qiáng)度的影響.基于試驗(yàn)結(jié)論，當(dāng)滑移面與沉積面夾角越大，則強(qiáng)度值越大，當(dāng)兩者平行時(shí)最小.羅汀等[20]認(rèn)為,在三維物理空間中存在 8個(gè)滑移面，由其中一個(gè)與沉積面夾角最小的面發(fā)揮決定作用，建立了反映各向異性強(qiáng)度準(zhǔn)則,可以用來描述橫觀各向同性土壤材料破壞特性.Gao等[21]以廣義非線性準(zhǔn)則為各向同性準(zhǔn)則，將描述各向異性的組構(gòu)張量引入其中，建立了能描述各向異性特性的廣義強(qiáng)度準(zhǔn)則.上述強(qiáng)度準(zhǔn)則都是從破壞面出發(fā)，引入其他影響破壞面的因素，建立反映某一特性的強(qiáng)度準(zhǔn)則.

假設(shè)在平面坐標(biāo)系下，摩擦角為扣除截距之后的有效摩擦角.推廣至三維應(yīng)力情況，由3個(gè)有效滑移面可構(gòu)成空間有效滑移面.根據(jù)三維空間滑移面上主剪應(yīng)力比為一定值的思想，推導(dǎo)得到了a準(zhǔn)則.在偏平面上，其表達(dá)式為空間有效滑移面上的主剪應(yīng)力比為定值的形式，在子午面上，為考慮巖土材料的強(qiáng)度及屈服特性的函數(shù).提出了基于a準(zhǔn)則的形狀函數(shù)，并建立了基于a準(zhǔn)則的變換應(yīng)力公式，變換應(yīng)力法能夠反映應(yīng)力誘導(dǎo)各向異性以及避免屈服面的奇異性，相比g(θ)方法，存在明顯優(yōu)點(diǎn).基于a準(zhǔn)則的變換應(yīng)力法可有效地用于巖土類材料的本構(gòu)模型的應(yīng)力一般化模擬.

1 偏平面上a強(qiáng)度準(zhǔn)則公式

在平面坐標(biāo)系 σ--τ中，假設(shè)存在直線型強(qiáng)度線，為考慮凝聚力的摩爾--庫倫模型，其表達(dá)式為

當(dāng)b=0時(shí)，上式表示為過原點(diǎn)的直線，即

表示為無凝聚力的庫倫準(zhǔn)則.而當(dāng)k=0時(shí)，則

即退化為一水平直線.當(dāng)b＞0時(shí)，表示一般直線.對(duì)于大于零的任意值，假定當(dāng)此直線與莫爾圓相切時(shí)，切點(diǎn)表示破壞狀態(tài)，則可由圖1表示.

圖1 強(qiáng)度線與莫爾圓外切圖Fig.1 The circumscribed figur between strength line and Mohr’s circle

由圖1可見，當(dāng)此直線與莫爾圓相切時(shí)，切點(diǎn)為 p(σn0,τn0)，根據(jù)外切條件，則有共點(diǎn)的條件.令強(qiáng)度曲線為 τ1=kσ+b，而莫爾圓函數(shù)為 τ2=[R2-(σ-σ0)2]0.5.其中，R表示莫爾圓的半徑，而σ0則表示為莫爾圓的圓心橫坐標(biāo)值.由上述兩條件，可得如下方程

由式(5)可知為關(guān)于應(yīng)力σ的一元二次方程，根據(jù)兩函數(shù)相切的條件可知解是唯一的，因此可得到關(guān)于方程式(5)的根的判別式Δ=0，顯然上述判別方程是關(guān)于參數(shù)k的一元二次方程，再利用求根公式以及k＞0的條件，通過求解可得到

記此時(shí)的切線斜率為等效摩擦角的正切值

其中，φe表示有效內(nèi)摩擦角

任意一條切線可表示為剪應(yīng)力與正應(yīng)力之比的形式.由圖1可見，b的最大值為R，因此可令

其中，參數(shù)a介于0～1之間，是控制偏平面上強(qiáng)度線形狀的參數(shù).

圖2中φe13表示由第一、第三主應(yīng)力所構(gòu)成的有效摩擦角，余下表示同理.由圖2所示，對(duì)于三軸壓縮，在由σ1,σ3組成的一對(duì)應(yīng)力作用下，滑移面與σ1作用面所成的夾角為45?+φe13/2.其中，φe13為直線型強(qiáng)度線與莫爾圓的切點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的等效摩擦角.根據(jù)SMP空間滑移面的構(gòu)建思路，在三維物理空間中也相應(yīng)存在一個(gè)等效滑移面(圖3)，其上為等效剪應(yīng)力τen和等效正應(yīng)力σen.下面推導(dǎo)該等效剪應(yīng)力以及等效正應(yīng)力.

圖2 三軸試樣中的滑移面Fig.2 The slip plane in a sample for triaxial test

圖3 空間坐標(biāo)系中的滑移面Fig.3 The slip plane in three dimensional space coordinate

令EA=1，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，線段AB與BE形成的夾角為45?-φe13/2，在直角三角形AEB中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可得

對(duì)于四面體ABCE，可先確定其斜面的法向，由余弦確定.則該斜面上法向方向線與 3個(gè)坐標(biāo)軸之間夾角的余弦分別表示為 l,m,n. 令 r=

根據(jù)正四面體AEBC的力平衡關(guān)系，利用上述公式，可得到等效正應(yīng)力公式

其中，σen,τen分別為三維滑移面上的等效正應(yīng)力及等效剪應(yīng)力.推導(dǎo)可得到

其中，φmo為三維空間中有效滑移面的摩擦角.當(dāng)反映凝聚力的參數(shù)a變化時(shí)，可得到如下兩種強(qiáng)度準(zhǔn)則.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)退化為過原點(diǎn)的斜線，則此時(shí)根據(jù)莫爾圓上的幾何關(guān)系，可得

根據(jù)四面體ABCE的力平衡條件，可推導(dǎo)得到

其中，I1,I2,I3分別為主應(yīng)力的第一、第二、第三應(yīng)力不變量，因此，正應(yīng)力與剪應(yīng)力均退化為SMP面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力.

(2)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)退化為與橫坐標(biāo)軸平行的水平直線.四面體上斜面退化為八面體面，根據(jù)對(duì)稱性，該面上法線余弦相√等，且由其平方和為1的條件，可知l=m=n=/3，因此得到

其中，p為有效球應(yīng)力，q為有效廣義偏應(yīng)力.

當(dāng)處于三軸壓縮時(shí)，式(24)可表達(dá)為

此時(shí)，大小主應(yīng)力分別可表示為

其中，qc為三軸壓縮破壞時(shí)的有效廣義偏應(yīng)力.將式(30)代入式(24)中，可得到關(guān)于p,qc的函數(shù)

其中，采用破壞時(shí)應(yīng)力比的表示方法，M=qc/p,則過程變量可表示為

其中，M表示三軸壓縮時(shí)的破壞應(yīng)力比.設(shè)三軸拉伸破壞應(yīng)力比為Me，三軸拉伸破壞應(yīng)力比與三軸壓縮破壞應(yīng)力比之比值為β，則Me=βM.

由于在三軸壓縮路徑下，方程式(24)與式(31)完全相等，因此得到

式(37)為廣義偏應(yīng)力強(qiáng)度公式.

2 子午面上a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則公式

在子午面上，巖土具有典型的摩擦性和壓剪耦合特性，偏應(yīng)力增大不僅導(dǎo)致剪切屈服，也會(huì)產(chǎn)生一定程度的體積壓縮屈服.純靜水壓力的增減不僅直接導(dǎo)致體積屈服同時(shí)也會(huì)引發(fā)剪切屈服，屈服準(zhǔn)則表達(dá)式中暗含的剪切強(qiáng)度線與破壞準(zhǔn)則表達(dá)式中的剪切強(qiáng)度線一致.為能統(tǒng)一描述子午面上剪切強(qiáng)度以及壓剪耦合屈服特性，可采用開關(guān)函數(shù)來表達(dá)該準(zhǔn)則.

子午面上的廣義偏應(yīng)力qc可以表示為如下統(tǒng)一的表達(dá)式

其中，σ0表示三向拉伸強(qiáng)度,pr為參考球應(yīng)力.反映在此應(yīng)力值下子午面上破壞曲線的割線斜率,可保證式(38)括號(hào)中的比值量綱唯一，使等式左右量綱相同.對(duì)于散粒體材料，pr通常取標(biāo)準(zhǔn)大氣壓值.μ為反映壓剪耦合特性的材料參數(shù)，由巖土的不排水剪切強(qiáng)度來確定，參數(shù)n為子午面上強(qiáng)度曲線的冪次函數(shù),M表示巖土破壞時(shí)應(yīng)力比參數(shù).ˉpc表示屈服面在-面上與軸的右端交點(diǎn)，為狀態(tài)參數(shù)，表征加載過程中屈服面的硬化程度，稱為硬化應(yīng)力.

開關(guān)函數(shù)為

當(dāng)μ=1時(shí)，則式(38)退化為

當(dāng)0≤μ＜1時(shí)，則式(38)退化為

當(dāng)μ=1時(shí)，a準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間為開口曲面，描述的是巖土在剪切破壞模式下的特性，其破壞曲面如圖4所示.而當(dāng)0≤μ＜1時(shí)，則a準(zhǔn)則表述的是巖土剪切、等向壓縮耦合特性的屈服面.圖4所示為a準(zhǔn)則所描述的巖土在主應(yīng)力空間中的破壞面.

圖4 主應(yīng)力空間中的破壞面Fig.4 The failure surface in principal stress space

3 a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則參數(shù)

3.1 參數(shù)a的涵義及確定

由于參數(shù)a介于0與1之間，反映的是材料凝聚性與摩擦性對(duì)材料破壞貢獻(xiàn)的權(quán)重，具體反映在偏平面上破壞面的形狀變化，金屬屬于典型的凝聚型材料，砂土等散體屬于典型的摩擦性材料.這兩種材料的偏平面破壞形狀分別為圓形和曲邊三角形，三軸拉伸偏應(yīng)力剪切強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的是最小半徑，即三軸拉伸應(yīng)力路徑所對(duì)應(yīng)的剪切強(qiáng)度值是所有應(yīng)力路徑中最小的.因此可利用三軸拉伸強(qiáng)度與三軸壓縮強(qiáng)度之比β表示材料參數(shù)a，建立兩者的直接函數(shù)關(guān)系，即可簡單地利用三軸拉伸與三軸壓縮兩種應(yīng)力路徑下的試驗(yàn)結(jié)果來確定參數(shù)a.根據(jù)a強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)式(24)，可得到三軸拉伸應(yīng)力路徑下的方程.

在三軸拉伸路徑下，有如下關(guān)系

其中,qe為三軸拉伸破壞時(shí)的有效廣義偏應(yīng)力.將式(43)代入式(10)中，且Me=qe/p=βM，則可得到

采用三軸拉伸與壓縮應(yīng)力比β可進(jìn)一步化簡為

將式(43)～式(47)代入式(24)，由于式(24)與式(31)相等，可得

式(48)是隱函數(shù)，無法直接解出關(guān)于變量β的a函數(shù).如圖5所示，可采用較為簡單的函數(shù)來代替上述隱函數(shù)關(guān)系.形狀參數(shù)a與三軸拉伸壓縮強(qiáng)度比β之間的關(guān)系見圖5中的虛線，考慮到兩者之間為隱函數(shù)關(guān)系且形式較為復(fù)雜，采用簡單的拋物線函數(shù)來描述兩者的關(guān)系，其關(guān)系表達(dá)式為

圖5 采用拋物線代替形狀函數(shù)的比較圖Fig.5 Comparison between parabola with shape function

3.2 參數(shù)μ的涵義及確定

壓剪耦合參數(shù)μ是反映巖土剪切壓縮與體積壓縮相互耦合程度的土性參量.可由三軸壓縮不排水應(yīng)力路徑下固結(jié)不排水抗剪強(qiáng)度來確定.根據(jù)屈服面的解析式(42)，可由體變?yōu)榱銞l件導(dǎo)出如下公式來確定參數(shù)μ

其中，λ，κ分別為在e-lnp空間中整理得到的壓縮斜率與回彈斜率；e0為土體的初始孔隙比.在不排水條件下當(dāng)土體處于臨界狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力比達(dá)到破壞應(yīng)力比M，此時(shí)的剪應(yīng)力為不排水抗剪強(qiáng)度qu，pc0為初始固結(jié)應(yīng)力.

參數(shù)μ對(duì)子午面上屈服面形狀的影響如圖6所示.當(dāng)μ=1時(shí)，屈服曲線與 p軸相重合.當(dāng)μ=0時(shí)，屈服面為圖中最高偏應(yīng)力值最大的封閉曲線，與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力比強(qiáng)度線M為曲線，并通過屈服面最高點(diǎn).

圖6 參數(shù)μ對(duì)屈服曲線形狀的影響Fig.6 Influenc of parameterμon the shape of yield surface

3.3 參數(shù)n的涵義及確定

參數(shù)n為子午面上強(qiáng)度曲線的冪次，表示子午面上破壞曲線的彎曲程度.如圖7所示，當(dāng)n=0時(shí)，曲線退化為與靜水壓力無關(guān)的直線，與靜水壓力軸平行.當(dāng)n=1時(shí)，冪函數(shù)曲線退化為一條斜線.當(dāng)0＜n＜1時(shí)，冪函數(shù)曲線退化為介于上述兩條直線之間的開口曲線.通過式(41)變形可得到如下的關(guān)系式

圖7 子午面上冪參數(shù)n對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.7 Influenc of parameter n on meridian plane on the shape of failure surface

以等式左右兩端的對(duì)數(shù)分別為變量，式(51)是關(guān)于參數(shù)n的一次函數(shù)，利用三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果，可將不同靜水壓力下的剪切強(qiáng)度整理在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)，擬合出的直線，斜率為n，而截距為ln Mf.

3.4 參數(shù)σ0的涵義及確定

σ0為強(qiáng)度曲線與靜水壓力軸的左交點(diǎn)值，其物理意義為材料在拉伸條件下的強(qiáng)度，可反映材料的凝聚力.圖8所示為σ0對(duì)破壞曲線形狀的影響.事實(shí)上，材料在三向拉伸作用下的強(qiáng)度值，一般很難獲得，對(duì)于無黏性土，取為0.對(duì)于具有拉伸強(qiáng)度的材料，如混凝土等，可將其取為單軸拉伸強(qiáng)度值的0.9倍.

圖8 子午面上冪參數(shù)σ0對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.8 Influenc of parameter σ0on meridian plane on the shape of failure surface

3.5 參數(shù)pr的涵義及確定

參數(shù)pr反映在一定靜水壓力下，將剪切強(qiáng)度q歸一化的特征壓力，也起將靜水壓力無量綱化的作用.對(duì)于砂土等散粒體材料，通常取一個(gè)大氣壓.由圖9可見，當(dāng)pr逐漸增大時(shí)，剪切強(qiáng)度初始斜率增大，且整體剪切強(qiáng)度增大.參數(shù)pr可根據(jù)式(51)，將試驗(yàn)結(jié)果整理在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)擬合直線來確定.

4 a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則特性

考察a準(zhǔn)則中強(qiáng)度與參數(shù)a的影響，由圖10可見，當(dāng)固定強(qiáng)度應(yīng)力比參數(shù)β時(shí)，參數(shù)a與三軸壓縮應(yīng)力比強(qiáng)度值M之間呈拋物線關(guān)系，且隨著參數(shù)β的增大，曲線逐漸左移，向坐標(biāo)原點(diǎn)靠近，當(dāng)β=1時(shí)，曲線與縱坐標(biāo)軸重合，a是M的常數(shù)型函數(shù)，不隨M的變化而變化，值恒定為1.

圖9 子午面上冪參數(shù)pr對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.9 Influenc of parameter pron meridian plane on the shape of failure surface

圖10 拋物線中隨強(qiáng)度應(yīng)力比的變化a與M的關(guān)系Fig.10 Relationship between a and M in parabola with change of stress ratio

圖11顯示的是參數(shù)a的變化對(duì)偏平面上強(qiáng)度曲線的影響.從圖11可以看出：當(dāng)a=0時(shí)，強(qiáng)度準(zhǔn)則退化為SMP強(qiáng)度準(zhǔn)則；當(dāng)a=1時(shí)，強(qiáng)度準(zhǔn)則退化為Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，截面形狀介于兩者之間.說明所提a準(zhǔn)則能包含或者接近現(xiàn)有常見的準(zhǔn)則，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，接近于Lade-Duncan準(zhǔn)則.當(dāng)參數(shù)a逐漸增大時(shí)，曲線形態(tài)由曲邊三角形逐漸向圓形過渡，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力羅德角對(duì)強(qiáng)度的影響逐漸削弱，當(dāng)退化為Mises準(zhǔn)則時(shí)，應(yīng)力羅德角對(duì)最終強(qiáng)度值無影響.所提a準(zhǔn)則具有很強(qiáng)的物理意義，反映的是材料由摩擦性逐漸向凝聚性過渡，以應(yīng)力比為控制因素向偏應(yīng)力破壞因素轉(zhuǎn)移，而處于中間狀態(tài)的準(zhǔn)則則是介于兩者之間的情形.

當(dāng)固定其他參數(shù)時(shí)，考察應(yīng)力比強(qiáng)度對(duì)偏平面上強(qiáng)度曲線的影響如圖12所示.從圖12可以看出：當(dāng)Mf=0時(shí)，強(qiáng)度曲線退化為與偏平面的法線，即主應(yīng)力空間中的等傾線，與p軸相重合；當(dāng)應(yīng)力比強(qiáng)度增大，對(duì)應(yīng)的偏平面上廣義偏應(yīng)力強(qiáng)度逐漸增大；同時(shí)，應(yīng)力比強(qiáng)度對(duì)強(qiáng)度曲線偏平面形狀具有顯著影響；當(dāng)應(yīng)力比強(qiáng)度值較小時(shí)，偏平面上強(qiáng)度曲線接近于圓形；當(dāng)應(yīng)力比強(qiáng)度逐漸增大時(shí)，強(qiáng)度曲線趨近于曲邊三角形，各向異性顯著增強(qiáng).

圖11 參數(shù)a對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.11 Influenc of parameter a on the shape of failure surface

圖12 參數(shù)Mf對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.12 Influenc of parameter Mfon the shape of failure surface

考察靜水壓力p(p=3I1)對(duì)強(qiáng)度曲線的影響，圖13所示為當(dāng)I1=100，200，400，600，800，1000，1200kPa時(shí)的偏平面強(qiáng)度曲線，隨靜水壓力p增大，廣義偏應(yīng)力強(qiáng)度逐漸增大，強(qiáng)度曲線形狀也由曲邊三角形逐漸向圓形發(fā)展，材料趨于各向同性.所提的a準(zhǔn)則能反映靜水壓力對(duì)強(qiáng)度非線性影響，也能反映靜水壓力對(duì)材料各向異性的影響.

靜水壓力不僅對(duì)巖土的強(qiáng)度特性產(chǎn)生影響，對(duì)其屈服特性也會(huì)產(chǎn)生影響.圖14所示為不同靜水壓力下的偏平面上的屈服特性曲線.球應(yīng)力為100,200,400，600，800，1000，1200kPa時(shí)所對(duì)應(yīng)的屈服曲線包圍的面積由外向內(nèi)依次減小.隨著球應(yīng)力的增大，廣義偏應(yīng)力逐漸減小，并最終趨于p軸的一點(diǎn).此外，屈服曲線形狀也由比較尖銳的曲邊三角形趨向?yàn)榻茍A形，應(yīng)力羅德角與屈服面軌跡的差異性減弱，表明球應(yīng)力的增大減弱了各向異性.

圖13 靜水壓力對(duì)破壞曲線形狀的影響Fig.13 Influenc of hydrostatic pressure on the shape of failure surface

圖14 靜水壓力對(duì)屈服曲線形狀的影響Fig.14 Influenc of hydrostatic pressure on the shape of yield surface

5 基于a強(qiáng)度準(zhǔn)則的一般化應(yīng)力變換公式

材料參數(shù)a影響偏平面上強(qiáng)度曲線的形狀(圖11)，且都通過三軸壓縮路徑上一點(diǎn).根據(jù)變換應(yīng)力一般化的思路，可采用圖11中強(qiáng)度曲線上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)來表示三軸壓縮上的應(yīng)力狀態(tài).在三軸壓縮路徑下，材料達(dá)到強(qiáng)度線上的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，根據(jù)空間滑移面的物理意義，三軸壓縮路徑下與一般應(yīng)力路徑下的空間滑移面上的剪應(yīng)力與正應(yīng)力之比相等.

類比SMP的形狀函數(shù)[22]，a準(zhǔn)則表達(dá)式也具有更為一般的摩擦法則涵義，因此，其表達(dá)式的廣義偏應(yīng)力可表示為

其中，EB,EC是σ1,σ2,σ3的函數(shù)，具體見式(10)～式(13)

其中，θ為應(yīng)力羅德角，可表示為

對(duì)應(yīng)a準(zhǔn)則的偏平面上的形狀函數(shù)可表示為

由于已知有基于a準(zhǔn)則的形狀函數(shù)，因此，可得到在任意一個(gè)球應(yīng)力p下的三軸壓縮路徑下的廣義偏應(yīng)力qc

由于變換應(yīng)力是基于每個(gè)增量步進(jìn)行變換，對(duì)于當(dāng)前應(yīng)力，將其用偏應(yīng)力分量si來表示，由于在偏平面上偏應(yīng)力為主要考察因素，因此將每一應(yīng)力的偏應(yīng)力分量與三軸壓縮路徑下的偏應(yīng)力分量做對(duì)比，可對(duì)每個(gè)應(yīng)力的所有分量成比例放大成與qc相對(duì)應(yīng)的相同值，因此可參考Yao等[23]基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力方法，采用的基于a準(zhǔn)則的一般化變換應(yīng)力公式可表示為

式(55)～式(60)為將普通應(yīng)力轉(zhuǎn)換為變換應(yīng)力空間的變換應(yīng)力公式，而式(61)～式(90)為將變換應(yīng)力空間中變換應(yīng)力應(yīng)用到具體本構(gòu)模型中時(shí)微分的導(dǎo)函數(shù)公式.在將p,q變量轉(zhuǎn)換為三維應(yīng)力一般化方法中，g(θ)是應(yīng)用較為廣泛的一種，然而該方法僅僅是將強(qiáng)度線利用形狀函數(shù)法表示出來，而形狀函數(shù)法所表示的強(qiáng)度線在偏平面上不隨靜水壓力變化而發(fā)生改變，無法反映巖土的應(yīng)力誘導(dǎo)各向異性.而采用所提的變換應(yīng)力法由于實(shí)質(zhì)上在每一增量步都采用隨當(dāng)前應(yīng)力產(chǎn)生改變的屈服面，因而能夠避免上述缺陷.

6 強(qiáng)度及屈服準(zhǔn)則預(yù)測(cè)及變換應(yīng)力法驗(yàn)證

選用一系列巖土的測(cè)試結(jié)果對(duì)a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則以及變換應(yīng)力公式進(jìn)行檢驗(yàn)，以驗(yàn)證a準(zhǔn)則的正確性及適用性.巖土參數(shù)見表1.

表1 巖土參數(shù)Table 1 Geomaterial parameters

6.1 強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測(cè)

采用多種不同巖土對(duì)a強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)證.

主應(yīng)力空間中偏平面上豐浦砂真三軸試驗(yàn)[24]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖15所示，圖中圓圈點(diǎn)為196kPa時(shí)有效球應(yīng)力的試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)應(yīng)力羅德角分別為0?，15?，30?，45?，60?，預(yù)測(cè)曲線為圖 15中實(shí)線.從圖15可以看出，a準(zhǔn)則較好地描述了砂土在真三軸路徑下的強(qiáng)度特性.

主應(yīng)力空間中偏平面上混凝土真三軸試驗(yàn)[25]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖16所示，圖中的方格點(diǎn)為其破壞點(diǎn)，從內(nèi)到外依次對(duì)應(yīng)的是I1=1,2,3,4,5,6,7MPa時(shí)的破壞點(diǎn)軌跡.圖中實(shí)線為在上述靜水壓力下的預(yù)測(cè)結(jié)果.在較低靜水壓力(1MPa)下，過低地估計(jì)了三軸壓縮下的剪切強(qiáng)度，而在靜水壓力為7MPa時(shí)則過高地估計(jì)抗剪強(qiáng)度.而介于兩者之間的則吻合較好.

圖15 主應(yīng)力空間中偏平面上豐浦砂真三軸試驗(yàn)[24]與預(yù)測(cè)對(duì)比Fig.15 Comparison between test[24]and prediction results for Toyoura sand on deviatoric plane in principal stress space

圖16 主應(yīng)力空間中偏平面上混凝土真三軸試驗(yàn)[25]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.16 Comparison between true triaxial test[25]and prediction results for concrete on deviatoric plane in principal stress space

圖17所示為子午面上混凝土三軸壓縮及三軸拉伸路徑下試驗(yàn)與預(yù)測(cè)結(jié)果[2628]，其中 fc為混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度(4MPa).從圖17可以看出，在較低靜水壓力下，三軸壓縮以及三軸拉伸路徑所得到的測(cè)試點(diǎn)歸一性較好；當(dāng)靜水壓力較大時(shí)出現(xiàn)了較大的離散性.圖中實(shí)線和虛線分別表示對(duì)三軸壓縮以及三軸拉伸路徑下的強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果.對(duì)比可見，所提a強(qiáng)度準(zhǔn)則可對(duì)混凝土在這兩種應(yīng)力路徑下強(qiáng)度特性進(jìn)行合理的描述.

圖18中試驗(yàn)點(diǎn)為中科院武漢巖土所對(duì)花崗巖開展的真三軸試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果[29]，圖中實(shí)線由內(nèi)到外依次對(duì)應(yīng)的是靜水壓力p=80，110，130，155，195kPa時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果.由對(duì)比可見，在偏平面上，所提的a準(zhǔn)則在不同靜水壓力下可以有效地用于花崗巖的強(qiáng)度特性描述.

圖17 子午面上混凝土三軸壓縮及三軸拉伸路徑下試驗(yàn)[2628]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.17 Comparison between test[2628]and prediction results for concrete under triaxial compression and extension conditions on meridian plane

圖18 偏平面上花崗巖真三軸應(yīng)力路徑下試驗(yàn)[29]與預(yù)測(cè)對(duì)比Fig.18 Comparison between true triaxial test[29]and prediction results for grunite on deviatoric plane

由圖19可見，在子午面上顯示的是對(duì)應(yīng)不同應(yīng)力羅德角下的強(qiáng)度預(yù)測(cè)對(duì)比.在應(yīng)力羅德角較大(θ=60?)時(shí)，預(yù)測(cè)抗剪強(qiáng)度值偏低；而當(dāng)應(yīng)力羅德角逐漸減小到0?時(shí)，抗剪強(qiáng)度逐漸增大.這符合偏平面上的曲邊三角形特點(diǎn).而在試驗(yàn)結(jié)果中，當(dāng)靜水壓力較大時(shí)，對(duì)應(yīng)θ=13.9?時(shí)的強(qiáng)度值比三軸壓縮稍大，這可能源于花崗巖本身具有的原生各向異性，巖石內(nèi)部存在裂隙面，因而會(huì)對(duì)加載結(jié)果產(chǎn)生影響.

圖19 子午面上花崗巖真三軸應(yīng)力路徑下試驗(yàn)與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.19 Comparison between true triaxial test and prediction results for grunite on meridian plane

6.2 屈服特性準(zhǔn)則預(yù)測(cè)

黏土具有典型的壓剪耦合特性，研究其硬化過程的主要對(duì)象是其體積屈服規(guī)律.王靖濤等[30]曾針對(duì)黏土開展了等塑性體應(yīng)變的屈服軌跡試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖20所示，見圖中等向壓縮路徑下固結(jié)壓力為128～354kPa時(shí)對(duì)應(yīng)的等塑性體應(yīng)變的屈服點(diǎn).由圖20可見，采用考慮壓剪耦合特性的屈服準(zhǔn)則可有效地用于預(yù)測(cè)黏土的屈服軌跡.

圖20 子午面上黏土體積屈服特性試驗(yàn)[30]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.20 Comparison between test[30]and prediction results of volume yield behavior for clay on meridian plane

圖21中試驗(yàn)點(diǎn)為黃文熙等[31]針對(duì)承德砂土開展的等塑性體應(yīng)變的屈服軌跡試驗(yàn).由預(yù)測(cè)對(duì)比可見，所提的屈服準(zhǔn)則也可較好地描述砂土的體積屈服軌跡.

圖21 子午面上砂土體積屈服特性試驗(yàn)[31]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.21 Comparison between test[31]and prediction results of volume yield behavior for sand on meridian plane

6.3 變換應(yīng)力法驗(yàn)證

Lade等[32]針對(duì)grunnite黏土進(jìn)行了真三軸應(yīng)力路徑試驗(yàn)，試驗(yàn)約束條件是不排水，中主應(yīng)力系數(shù)b=0，0.21，0.4，0.7，0.95.初始固結(jié)壓力為147kPa.采用DUH模型[33]對(duì)上述應(yīng)力路徑進(jìn)行模擬，所得對(duì)比結(jié)果如圖22～圖25所示.其中，圖22為大小主應(yīng)力比與大主應(yīng)變的關(guān)系對(duì)比.從圖22可以看出，采用所提準(zhǔn)則進(jìn)行應(yīng)力一般化后的修正DUH模型可較好地描述真三軸應(yīng)力路徑下黏土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特性.圖23為相應(yīng)的孔壓固結(jié)壓力比與大主應(yīng)變的關(guān)系對(duì)比，當(dāng)b值較大時(shí)，預(yù)測(cè)的孔壓稍大.圖24和圖25分別為對(duì)應(yīng)的中間主應(yīng)變與小主應(yīng)變與大主應(yīng)變的關(guān)系，由圖可見，除了b=0.21時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力路徑偏差稍大外，其余預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

圖22 應(yīng)力比與大主應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)[32]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.22 Comparison between test[32]and prediction results of stress ratio and principal strain for grunnite clay

圖23 孔壓特性試驗(yàn)[32]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.23 Comparison between test[32]and prediction results of pore water pressure behavior for grunnite clay

圖24 大主應(yīng)變與中間主應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)[32]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.24 Comparison between test[32]and prediction results of principal strain and middle principal strain for grunnite clay

圖25 大主應(yīng)變與小主應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)[32]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.25 Comparison between test[32]and prediction results of principal strain and small principal strain for grunnite clay

圖26所示為Dakoulas等[34]關(guān)于Ottawa松砂的三種應(yīng)力路徑試驗(yàn)結(jié)果，分別對(duì)應(yīng)b=0，0.5，1.球應(yīng)力為300kPa時(shí)的真三軸應(yīng)力路徑.大小主應(yīng)力差半值與軸應(yīng)變以及八面體偏應(yīng)變的結(jié)果對(duì)比較好，八面體偏應(yīng)變對(duì)應(yīng)的是b=0.5應(yīng)力路徑.由對(duì)比可見，采用所提變換應(yīng)力法修正后的DUH模型也可用于砂土的真三軸的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系模擬.

圖26 應(yīng)力差與軸應(yīng)變關(guān)系試驗(yàn)[34]與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.26 Comparison between test and prediction results of relationship between di ff erential stress and axial strain for grunnite clay

7 結(jié)論

通過假定三維空間中存在一有效滑移面，且滑移面上的主剪應(yīng)力比為定值，建立了三維空間中的破壞準(zhǔn)則，在子午面上強(qiáng)度曲線族可由冪函數(shù)來表示，針對(duì)巖土的壓剪耦合特性引入了屈服準(zhǔn)則表達(dá)式.基于a強(qiáng)度準(zhǔn)則建立了從二維到三維模型的變換應(yīng)力公式.所提a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則及其變換應(yīng)力公式具有如下特點(diǎn).

(1)所建立的 a強(qiáng)度準(zhǔn)則，由于引入了可以考慮黏聚性以及摩擦性兩者對(duì)于破壞貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù)a，因而其強(qiáng)度上限為廣義Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則，其強(qiáng)度下限為SMP強(qiáng)度準(zhǔn)則.通過改變系數(shù)a，可得到介于上述兩者之間的任一強(qiáng)度線，該準(zhǔn)則可用于預(yù)測(cè)土壤、混凝土、巖石等工程材料的破壞行為.

(2)基于a強(qiáng)度準(zhǔn)則所提出的屈服準(zhǔn)則，由于考慮了巖土在剪切過程中偏應(yīng)力對(duì)于剪應(yīng)變、體應(yīng)變的影響，等向壓縮過程中球應(yīng)力對(duì)于剪應(yīng)變、體應(yīng)變的交叉耦合影響，因而能夠反映黏土以及砂土等材料的壓剪耦合屈服特性.

(3)基于a準(zhǔn)則所提的變換應(yīng)力公式可以方便地將傳統(tǒng)二維本構(gòu)模型方便地轉(zhuǎn)換為三維模型，且由于在轉(zhuǎn)換過程中完全采用了a屈服準(zhǔn)則，因而可以反映靜水壓力變化對(duì)于屈服面形狀變化的影響，完全避免了屈服面的應(yīng)力點(diǎn)奇異性以及屈服面非外凸等問題.

對(duì)比砂土、黏土、混凝土、花崗巖等材料的試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測(cè)值，證明所提a強(qiáng)度與屈服準(zhǔn)則以及變換應(yīng)力公式可簡單、明確地運(yùn)用到傳統(tǒng)模型中，具有較強(qiáng)的適用性.

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A KIND OF STRENGTH AND YIELD CRITERION FOR GEOMATERIALS AND ITS TRANSFORMATION STRESS METHOD1)

Wan Zheng2)Qiu Rendong Guo Jinxue
(Research Institute of Base and Foundation，China Academy of Building Research，Beijing 100013，China)

It is assumed that the failure of geomaterials is determined by stress ratio between shear stress and normal stress on the characteristic surface based on its friction behavior.The concept of e ff ective stress ratio is proposed and it is expressed by the ratio between shear stress and normal stress on characteristic surface.The stress ratio on characteristic surface can be expressed as the tangent value of straight line deducted by the intercept circumscribing the mohr’s circle in σ-τ coordinates in two-dimensional condition.It is assumed that there is a three-dimensional physical space plane in XYZ space considering every two adjacent physical coordinate plane under three-dimensional space.The shear stress ratio on characteristic surface in three-dimensional space is the determinant factor influencin the failure behavior of material and the proposed criterion can be signed as a criterion.SMP(spatially mobilized plane)criterion and generalized Misescriterion are two special cases of the a criterion.When the value of intercept in two-coordinates is zero,the proposed criterion is degenerated to SMP criterion.When the value of tangent is zero,the proposed criterion is degenerated to generalized Mises criterion.When the intercept and angle of circumscribing line are not zero,the proposed criterion in deviatoric plane is between the above those.The curved triangular form is exhibited between the curves of SMP criterion and generalized Mises criterion in deviatoric plane.A coupling of compression and shear behavior yield criterion is adopted and a power function is adopted as failure criterion.A shape function is proposed based on the proposed criterion in deviatoric plane.The criterion expressed by p and q is substituted by the proposed criterion expressed by three dimensional stresses and the transformation stress equations are deduced based on proposed criterion.In general a constitutive model expressed by p and q can be converted as a three-dimensional model simply.Through yield and strength behaviors and a variety of stress paths test contrast,the rationality of the proposed criterion and transformation method are verified

geomaterials，failure，strength criterion，yield criterion，stress path

TU43

：A

10.6052/0459-1879-16-297

2016–10–26 收稿，2017–03–16 錄用,2017–03–16 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)青年基金(11402260)、中國建筑科學(xué)研究院應(yīng)用技術(shù)研究基金(20141602330730038)、住建部科技計(jì)劃研究基金(20161602420730011)資助項(xiàng)目.

2)萬征，副研究員，主要研究方向：地下結(jié)構(gòu)與土相互作用，混凝土及土的本構(gòu)關(guān)系.E-mail：zhengw111@126.com

萬征,秋仁東,郭金雪.巖土的一種強(qiáng)度準(zhǔn)則及其變換應(yīng)力法.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(3)：726-740

Wan Zheng,Qiu Rendong,Guo Jinxue.A kind of strength and yield criterion for geomaterials and its transformation stress method.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：726-740