基于矩估計(jì)/最小二乘法的雜波模型參數(shù)估計(jì)方法

吳元偉，經(jīng)富貴，2,王李波

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009； 2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471009)

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【信息科學(xué)與控制工程】

基于矩估計(jì)/最小二乘法的雜波模型參數(shù)估計(jì)方法

吳元偉1，經(jīng)富貴1，2,王李波1

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009； 2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471009)

針對(duì)傳統(tǒng)雜波模型的參數(shù)估計(jì)方法無(wú)法兼顧計(jì)算效率和精度的問(wèn)題，提出了一種基于矩估計(jì)和最小二乘法的雜波統(tǒng)計(jì)模型混合參數(shù)估計(jì)方法，以矩估計(jì)法得到模型參數(shù)的初始值，使用最小二乘法迭代優(yōu)化得到參數(shù)估計(jì)的最終值，數(shù)字仿真的結(jié)果證明了此方法的有效性和準(zhǔn)確性；該混合模型參數(shù)估計(jì)方法可以在計(jì)算量不大、原理簡(jiǎn)單的情況下實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的精確估計(jì)，且不局限于單一雜波模型的參數(shù)估計(jì)，具有很好的通用性和工程應(yīng)用價(jià)值。

雜波分布模型；參數(shù)估計(jì)；矩估計(jì)；最小二乘法；混合估計(jì)

雜波統(tǒng)計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)是雜波仿真、雷達(dá)信號(hào)處理與性能評(píng)估、目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別的基礎(chǔ)[1-2]。根據(jù)雷達(dá)分辨率及地海面狀況，地海雜波的統(tǒng)計(jì)分析可分別用瑞利(Rayleigh)分布模型、萊斯(Rice)分布模型、對(duì)數(shù)正態(tài)(Log-normal)分布模型、威布爾(Weibull)分布模型和K分布模型等來(lái)表示[3]。對(duì)不同的模型來(lái)說(shuō)，雜波分布描述的準(zhǔn)確性取決于對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的正確性。

目前，常用的雜波統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)估計(jì)方法包括矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法、混合估計(jì)法等[4-11]。其中矩估計(jì)法利用各階矩的計(jì)算量與雜波幅度統(tǒng)計(jì)量的對(duì)比得到統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)值，計(jì)算方便，但精度較差；而最大似然估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)，精度高，但該方法對(duì)參數(shù)初始值敏感，且需要解高維非線(xiàn)性方程，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。常見(jiàn)的混合估計(jì)方法包括最大似然估計(jì)/矩估計(jì)法、矩估計(jì)/神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法。相對(duì)于單一估計(jì)法，混合估計(jì)方法可在某些方面簡(jiǎn)化估計(jì)過(guò)程，提高計(jì)算精度，但仍然存在未解決：如最大似然估計(jì)/矩估計(jì)法無(wú)法避免求解非線(xiàn)性函數(shù)的問(wèn)題；矩估計(jì)/神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法雖然能很好的處理噪聲問(wèn)題、精度高且對(duì)初始值不敏感，但是需要較長(zhǎng)的訓(xùn)練時(shí)間，實(shí)現(xiàn)難度較大。

針對(duì)傳統(tǒng)估計(jì)方法無(wú)法兼顧計(jì)算效率和精度的問(wèn)題，本文提出了一種基于矩估計(jì)/最小二乘法的雜波統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)混合估計(jì)方法，即通過(guò)矩估計(jì)方法得到參數(shù)初始估值，再由最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化得到精確的估計(jì)參數(shù)。數(shù)字仿真結(jié)果分析表明：該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，精度較高，具有通用性，是一種實(shí)用的雜波統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)估計(jì)方法，并且不限于特定雜波模型的參數(shù)估計(jì)。

1 算法原理

對(duì)于試驗(yàn)采集或仿真手段產(chǎn)生的雷達(dá)雜波數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分析過(guò)程基于其概率密度分布的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，設(shè)為p(x)。以下說(shuō)明參數(shù)估計(jì)的算法流程，假設(shè)用以描述和分析數(shù)據(jù)的雜波統(tǒng)計(jì)模型分布的概率密度函數(shù)為f(x;a,b)，其中(a,b)為模型的兩個(gè)待估計(jì)參數(shù)。則有：

p(x) =f(x;a,b)

(1)

根據(jù)矩估計(jì)方法的原理，假設(shè)總體x的概率密度函數(shù)為x～f(x;θ1,θ2,…,θl)，θ1,θ2,…,θl為l個(gè)待估參數(shù)。若總體x的k階矩均存在，記為μk，則有：

(2)

將待分析數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)總體x的樣本，設(shè)其k階矩為

(3)

由Ak=μk，在k≥l時(shí)可得到待估參數(shù)θ1,θ2,…,θl的矩估計(jì)量。矩估計(jì)方法計(jì)算簡(jiǎn)單方便，在模型參數(shù)估計(jì)中廣泛應(yīng)用。本文首先通過(guò)以上矩估計(jì)方法由式(1)得到各階矩μk與參量a,b的關(guān)系式，并與式(2)聯(lián)立形成包含k個(gè)方程的關(guān)于a,b變量的方程組，該方程的解作為雜波模型參數(shù)的值(a0,b0)。但此時(shí)計(jì)算的參數(shù)精度較差，需要進(jìn)一步的優(yōu)化。

將以上估計(jì)得到的參數(shù)(a0,b0)作為雜波模型參數(shù)的初始值，利用最小二乘法，控制參數(shù)的估計(jì)誤差。根據(jù)最小二乘法的原理，設(shè)

[p(x)-f(x;a0,b0)]2=min

(4)

對(duì)f(x;a,b)進(jìn)行泰勒展開(kāi)至一階，并由式(1)，可以得到：

(5)

對(duì)式(4)變形得到：

(6)

以差分代替上式中的微分，即

(7)

最小二乘法是通過(guò)最小化誤差的平方和找到實(shí)際數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，可以簡(jiǎn)便地優(yōu)化估計(jì)參數(shù)。使用多元回歸的最小二乘算法，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解使式(7)中誤差函數(shù)最小的參數(shù)(a,b)，采用基于梯度搜索的LMS算法求解參數(shù)，即可得到(Δa,Δb)，進(jìn)而得到雜波模型參數(shù)的修正值：

a1=a0+Δa;b1=b0+Δb

(8)

當(dāng)誤差(Δa,Δb)不滿(mǎn)足閾值判斷條件時(shí)，將修正值(a1,b1)返回，繼續(xù)上述迭代優(yōu)化過(guò)程，直到參數(shù)的修正值滿(mǎn)足設(shè)置的誤差閾值。

算法的流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程

1) 根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量或者數(shù)字仿真的雜波數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)得到雜波概率密度函數(shù)p(x)；

2) 使用矩估計(jì)的方法計(jì)算數(shù)據(jù)序列的各階矩Ak，利用Ak與雜波模型的各階矩μk的關(guān)系，計(jì)算參數(shù)的初始值(a0,b0)；

3) 根據(jù)雜波模型參數(shù)現(xiàn)有估計(jì)值f(x;a0,b0)，得到其余實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布密度函數(shù)的差值p(x)-f(x;a0,b0)以及f(x;a0,b0)對(duì)應(yīng)偏微分的近似值(差分)；

4) 由最小二乘估計(jì)法的原理，結(jié)合式(7)，計(jì)算雜波模型參數(shù)的修正量(Δa,Δb)；

5) 判斷修正量是否小于閾值ξ，如果大于閾值，重復(fù)3)～5)步驟；若修正量小于閾值，即得到雜波模型參數(shù)的最終估計(jì)值(a,b)。

對(duì)于待分析的雜波數(shù)據(jù)，在事先無(wú)法確定描述其概率密度分布的最佳模型的情況下，可利用上述方法對(duì)可能的雜波模型進(jìn)行擬合。最后根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，評(píng)估各種模型與數(shù)據(jù)的匹配度，選擇出最佳的模型來(lái)描述相關(guān)數(shù)據(jù)，再進(jìn)行后續(xù)的分析。

2 仿真驗(yàn)證

本文以K分布雜波為例，通過(guò)數(shù)字仿真說(shuō)明上述雜波參數(shù)估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程，驗(yàn)證其有效性。K 分布可以準(zhǔn)確地描述高分辨雷達(dá)在低擦地角下回波幅度統(tǒng)計(jì)分布的拖尾現(xiàn)象，在雷達(dá)數(shù)據(jù)分析、地海雜波建模以及雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)與識(shí)別中具有廣泛的應(yīng)用，精確而快速的K分布模型參數(shù)估計(jì)方法一直是研究的熱點(diǎn)。

2.1 K分布雜波模型

K 分布可以看作散斑分量(快變化分量)和基本幅度調(diào)制分量(慢變化分量)兩個(gè)因子的乘積：前者表示大量散射體反射的相參疊加(服從Rayleigh分布)，后者表示與地海大面積結(jié)構(gòu)相關(guān)的散射束平均功率(服從Gamma分布)，其概率密度函數(shù)為

(9)

其中， Γ(ν)為伽馬函數(shù)，Kν-1為ν階第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，α為尺度參數(shù)，與雜波的強(qiáng)度相關(guān)，ν為形狀參數(shù)。典型條件下K分布的概率密度函數(shù)如圖2所示，由圖2中可以發(fā)現(xiàn)由于概率密度積分的固定為1，因此ν越大，K分布的峰位越偏大，相同α條件下導(dǎo)致K分布越平緩，拖尾現(xiàn)象更明顯；而α越大，幅度大雜波變多，相同ν條件下K分布越平緩。

使用矩估計(jì)方法，可以得到參數(shù)估計(jì)值為

=(E(x4)/2E2(x2)-1)-1

(10)

(11)

其中E(x4)與E(x2)分別為K分布的四階矩/二階矩樣本的數(shù)量影響估值的精度。

2.2 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證矩估計(jì)/最小二乘法混合估計(jì)算法，通過(guò)球不變隨機(jī)過(guò)程法仿真得到了一組K分布雜波數(shù)據(jù)，其實(shí)部與虛部的數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 典型的K分布概率密度函數(shù)

圖3 K分布雜波數(shù)據(jù)

圖4 雜波數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)與功率譜密度

根據(jù)算法流程，統(tǒng)計(jì)得到雜波概率密度函數(shù)p(x)如圖4所示，并計(jì)算雜波數(shù)據(jù)的四階矩/二階矩。用矩估計(jì)方法根據(jù)式(10)、式(11)得到K分布參數(shù)估計(jì)初始值(v0,α0)，按照本文混合估計(jì)方法的算法流程計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值。設(shè)最小二乘法中誤差的判斷閾值為0.02，仿真過(guò)程中χ2隨迭代次數(shù)變化情況如圖5所示，從結(jié)果上看，本文提出的方法經(jīng)過(guò)8次迭代就實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)收斂，計(jì)算的效率較高。

圖5 χ2隨迭代次數(shù)的變化

圖6中虛線(xiàn)為矩估計(jì)方法得到的概率密度分布函數(shù)，與雜波數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果偏差較大；雙劃線(xiàn)為混合估計(jì)方法得到的概率密度分布函數(shù)，從中可以發(fā)現(xiàn)混合估計(jì)方法對(duì)雜波模型的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，使其能夠準(zhǔn)確地描述原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

圖6 不同估計(jì)方法得到的概率密度函數(shù)

3 結(jié)論

雜波統(tǒng)計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)方法對(duì)雜波研究非常重要，本文提出了一種基于矩估計(jì)和最小二乘法的雜波統(tǒng)計(jì)模型混合參數(shù)估計(jì)方法，以矩估計(jì)法得到模型參數(shù)估計(jì)初始值，使用最小二乘法得到參數(shù)估計(jì)的修正量，通過(guò)迭代方法得到參數(shù)估計(jì)的最終值，在計(jì)算量不大、原理簡(jiǎn)單的情況下實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的精確估計(jì)。數(shù)字仿真數(shù)據(jù)的分析證明了本文提出的混合估計(jì)方法的有效性和準(zhǔn)確性，本方法不局限于單一雜波模型的參數(shù)估計(jì)，具有很好的通用性。

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

A Hybrid-Estimation Method of Clutter Distribution Models Based on MOM and Least Square Method

WU Yuan-wei1， JING Fu-gui1,2， WANG Li-bo1

(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China;2.Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons, Luoyang 471009, China)

The traditional parameter estimation methods of clutter distribution models can’t balance the calculation efficiency and accuracy. To solve this problem, a generalized hybrid-estimation method based on MOM(method of moments)and least square method is presented. MOM is utilized to obtain the initial values of model parameters, which are iteratively optimized with least square method. The simulation results confirm the validity and accuracy of the method. The hybrid method realizes the accurate estimation of clutter parameters with little computational cost, and is not confined to the parameter estimation of any particular clutter model. It can be generally used in engineering application.

clutter distribution models; parameter estimation; MOM; least square method; hybrid-estimation

2017-02-11；

2017-03-10

交叉眼干擾與抗干擾技術(shù)研究基金資助項(xiàng)目(2014C01407R)

吳元偉(1989—),男,碩士研究生,助理工程師,主要從事雷達(dá)目標(biāo)與環(huán)境特性研究。

10.11809/scbgxb2017.06.021

format:WU Yuan-wei，JING Fu-gui，WANG Li-bo.A Hybrid-Estimation Method of Clutter Distribution Models Based on MOM and Least Square Method[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(6):95-98.

TN957；TJ765

A

2096-2304(2017)06-0095-04

本文引用格式：吳元偉，經(jīng)富貴,王李波.基于矩估計(jì)/最小二乘法的雜波模型參數(shù)估計(jì)方法[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(6):95-98.