學(xué)不等式組，悟數(shù)學(xué)思想

米風(fēng)

摘要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的金鑰匙，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，而不等式組中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)舉例說(shuō)明，望能對(duì)大家有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；不等式組；教師；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）10-0123

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1. 不等式組2x<02-x≥1的解集在數(shù)軸上表示為（ ）

分析：根據(jù)不等式組寫出其兩個(gè)不等式的解集，再由數(shù)軸上所表示的范圍確定不等式組的解集。

解：顯然不等式2x<0的解集是x<0，不等式2-x≥1的解集是x≤1，故不等式組的解集為x<0，所以不等式組2x<02-x≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是B。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解不等式組的過(guò)程中經(jīng)常體會(huì)到它的應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)軸能方便我們找出不等式組的解集。

二、整體思想

例2. 已知x+2y=4k2x+y=2k+3，且1

。

分析：要求k的取值范圍，就要根據(jù)條件構(gòu)造出關(guān)于k的不等式組，將方程組中兩個(gè)方程相加后再除以3就得到x+y=2k+1，然后將x+y看成一個(gè)整體，整體代入到不等式組1

解：將方程組中兩個(gè)方程相加得3x+3y=6k+3，即x+y=2k+1，將其整體代入不等式組1

點(diǎn)評(píng)：本題兩次運(yùn)用了整體思想，一是將方程組中兩個(gè)方程相加，二是將2k+1整體代入，這樣比解方程組再代入更簡(jiǎn)捷。

三、分類討論思想

例3. 如果不等式組x<3m+2x<4m+1的解集為x<-1，那么m= 。

分析：根據(jù)不等式組的解集“小小取小”的確定方法可知不等式組x<3m+2x<4m+1的解集不是x<3m+2就是x<4m+1，因?yàn)閙 的值不確定，所以3m+2與4m+1的大小無(wú)法比較，所以需從不等式組的解集為x<-1入手進(jìn)行分類討論。

解：若3m+2=-1，則m=-1，4m+1=-3，這時(shí)不等式組的解集是x<-3與題設(shè)矛盾，故m≠-1；若4m+1=-1，則m=-■，3m+2=■，這時(shí)不等式組的解集是x<-1與題設(shè)相符，故m=-■。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)多種情況時(shí)，應(yīng)注意進(jìn)行分類討論，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤或漏解。

四、轉(zhuǎn)化思想

例4. 若關(guān)于x的不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無(wú)解，求a的取值范圍。

分析：先將關(guān)于x的不等式組進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無(wú)解的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，從而再解關(guān)于a的不等式，得出a的取值范圍。

解：原不等式組可化為x>a-2x<2a+3，∵不等式組x-a+2>0x-2a-3<0無(wú)解，∴a-2≥2a+3，解得a≤-5，即a的取值范圍是a≤-5。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)不等式組的解集“大大小小，矛盾無(wú)解” 的確定方法將不等式組轉(zhuǎn)化為不等式，然后再解不等式，從而確定a的取值范圍，將不等式組轉(zhuǎn)化為不等式或方程組是常常出現(xiàn)的，當(dāng)然本題也可從反面考慮，先得出不等式組有解時(shí)a的取值范圍，然后再加以否定得出不等式組無(wú)解時(shí)a的取值范圍，體現(xiàn)逆向思維的思想。

五、方程思想

例5. 若關(guān)于x的不等式組2x-m<33x+2m≥n的解集是1≤x<2，求（m、n）2。

分析：先解關(guān)于x的不等式組，然后對(duì)照條件1≤x<2列出關(guān)于m、n的方程組求出m、n后再代入求值。

解：原不等式組可化為x<■x≥■，∵關(guān)于x的不等式組2x-m<33x+2m≥n的解集是1≤x<2，∴不等式組的解集是■≤x<■。從而有■=2■=1，∴m=1n=5，（m、n）2=16。

點(diǎn)評(píng)：方程思想和轉(zhuǎn)化思想常常同時(shí)運(yùn)用。

六、建模思想

例6. 某中學(xué)開(kāi)學(xué)初到商場(chǎng)購(gòu)買A、B兩種品牌的足球，購(gòu)買A種品牌的足球50個(gè)，購(gòu)買B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)4500元，已知購(gòu)買一個(gè)B種品牌的足球比購(gòu)買一個(gè)A種品牌的足球多花30元。

（1）求購(gòu)買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？

（2）學(xué)校為了響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個(gè)，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高4元，B品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的九折出售，如果學(xué)校此次購(gòu)買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)第一次花費(fèi)的70%，且保證這次購(gòu)買的B種品牌足球不少于23個(gè)，則這次學(xué)校有哪幾種購(gòu)買方案？

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（3）請(qǐng)你求出學(xué)校在第二次購(gòu)買活動(dòng)中最多需要多少資金？

分析：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌足球需要x元，購(gòu)買一個(gè)B品牌足球需要y元，根據(jù)題意得到關(guān)于x、y的方程組，從而求解。

（2）設(shè)第二次購(gòu)買A種足球m個(gè)，則購(gòu)買B種足球（50-m）個(gè)，根據(jù)題意列出不等式組，從而求解。

（3）計(jì)算（2）中各種購(gòu)買方案需要的資金，從而確定最多需要多少資金。

解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A種品牌足球的單價(jià)為x元，購(gòu)買一個(gè)B種品牌足球的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得方程組50x+25y=4500y=x+3，解得x=50y=80，即A種品牌足球的單價(jià)為50元，B種品牌足球的單價(jià)為80元。

（2）設(shè)第二次購(gòu)買A種足球m個(gè)，則購(gòu)買B種足球（50-m）個(gè)，根據(jù)題意得不等式組（50+4）m+80×90%（50-m）≤4500×70%50-m≥23，解得25≤m≤27，∵m表示A種品牌足球的個(gè)數(shù)，∴m為整數(shù)，m=25或26或27.故這次學(xué)校購(gòu)買足球有三種方案，方案1：購(gòu)買A種足球25個(gè)，購(gòu)買B種足球25個(gè)；方案2：購(gòu)買A種足球26個(gè)，購(gòu)買B種足球24個(gè)；方案3：購(gòu)買A種足球27個(gè)，購(gòu)買B種足球23個(gè)。

（3）∵第二次購(gòu)買A種足球的單價(jià)為50+4=54元，B種品牌足球的單價(jià)為80×90%=72元，∴當(dāng)購(gòu)買方案中B種品牌足球最多時(shí)，費(fèi)用最高，即方案1花錢最多，54×25+72×25=3150（元），即：學(xué)校在第二次購(gòu)買活動(dòng)中最多需要資金3150元。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二一元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立一元一次不等式組模型是解決本題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省姜堰區(qū)婁莊中學(xué) 225506）