談新課標(biāo)下的立體幾何教學(xué)

欒鳳龍

摘要：第一，統(tǒng)一理念，反思立體幾何教學(xué)的意義和培養(yǎng)方向。重要的不只是學(xué)了多少，而是學(xué)到了什么，是否學(xué)到了學(xué)習(xí)的方法和對(duì)知識(shí)的感悟。第二，化難為易，探究立體幾何學(xué)習(xí)和轉(zhuǎn)化的切入點(diǎn)。第三，挖掘教材中實(shí)踐性題材，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的情趣及合作意識(shí)與創(chuàng)新能力。激發(fā)學(xué)生接受知識(shí)情感的需要和真情感悟，體會(huì)合作的快樂(lè)，鼓動(dòng)研究、探索和創(chuàng)造的激情。第四，變換角色，激情、激趣，走下講臺(tái)，共同參與。學(xué)習(xí)是充滿探究、合作、體驗(yàn)和充滿樂(lè)趣的活動(dòng)，教師不只是當(dāng)“導(dǎo)演”，有時(shí)也需要當(dāng)演員。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；立體幾何教學(xué)；教師；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）10-0103

立體幾何教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)很基礎(chǔ)、很重要的組成部分，它是在學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展基礎(chǔ)上的觀察能力、空間想象能力、分析能力、邏輯思維能力的進(jìn)一步拓展。就其現(xiàn)實(shí)意義而言，比平面幾何更進(jìn)一步接近生活，更生動(dòng)、實(shí)用，如“不過(guò)河用皮尺、測(cè)角儀來(lái)測(cè)量河對(duì)岸某建筑物的高度”，“一人沿一定坡度的河堤斜面上與堤腳的水平線成某一角度的夾角的直道上行走，求行走某一距離后上升的高度?！钡榷际桥c立體幾何知識(shí)生動(dòng)相關(guān)的實(shí)例，不勝枚舉。

就其理論而言，它是建立在三維空間或多維空間基礎(chǔ)上，將實(shí)體（立體圖形）以平面圖形形式展示，為學(xué)生認(rèn)知。這其中涵蓋了觀察、分析、推理、計(jì)算、演示、空間想象、邏輯思維等一系列復(fù)雜的認(rèn)知活動(dòng)，是在數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)上的數(shù)、形、體在多維空間的演變和發(fā)展，這其中蘊(yùn)涵了思維的收斂性、發(fā)散性等思維活動(dòng)的形成和培養(yǎng)，因此立體幾何是平面幾何知識(shí)的升華和再創(chuàng)造。

就高一學(xué)生的認(rèn)知水平而言，絕大部分學(xué)生對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)是基于平面圖形上，對(duì)空間的線、面、體的認(rèn)識(shí)往往是抽象的，它需要在平面圖形直觀性基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)知、整合和再造，這樣就形成了部分學(xué)生的認(rèn)知障礙，因而如何使立體幾何學(xué)習(xí)化難為易，學(xué)之有法是教學(xué)值得研究和探討的問(wèn)題。

一、統(tǒng)一理念，反思立體幾何教學(xué)的意義和培養(yǎng)方向

首先，要明確我們的教育教學(xué)是一切從學(xué)生的發(fā)展和需要出發(fā)，以學(xué)生學(xué)習(xí)的潛在性、主動(dòng)性、差異性為基點(diǎn)，以社會(huì)責(zé)任感和道德、身心健康及創(chuàng)新精神是學(xué)生終身發(fā)展最重要的基本素質(zhì)為宗旨的培養(yǎng)目標(biāo)。然而，在高考升學(xué)壓力之下，難免有急功近利現(xiàn)象，而把教學(xué)變成了培養(yǎng)尖子生、重點(diǎn)生的教學(xué)，從而忽視了大部分學(xué)生的培養(yǎng)，使一些學(xué)生成了“弱勢(shì)群體”。教學(xué)的成功與得失并不在于培養(yǎng)了多少重點(diǎn)大學(xué)生，其真正意義在于有多少學(xué)生受益，是否在于最大范圍地使更多的學(xué)生得到他們有益于今后學(xué)習(xí)發(fā)展所需要的知識(shí)以及他們的能力得到最大程度的培養(yǎng)與提高。重要的不只是學(xué)到了多少，而是學(xué)到了什么，是否學(xué)到了學(xué)習(xí)的方法和對(duì)知識(shí)的感悟。如果只從升學(xué)角度考慮，把它當(dāng)成一種負(fù)擔(dān)，甚至為升學(xué)不得不完成的任務(wù)去完成，就將失去了立體幾何旨在培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、空間想象、邏輯思維、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力等，作為今后學(xué)習(xí)發(fā)展以至終身學(xué)習(xí)的知識(shí)儲(chǔ)備的深遠(yuǎn)意義。相反，如果把它當(dāng)成一種終身學(xué)習(xí)的知識(shí)儲(chǔ)備去積累，今后發(fā)展與能力的需要去培養(yǎng)，就會(huì)為學(xué)生今后學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展奠定基礎(chǔ)，就會(huì)使學(xué)生在情感上樂(lè)于接受、鉆研，“樂(lè)之者不如好之者”。

二、化難為易，探究立體幾何學(xué)習(xí)和轉(zhuǎn)化的切入點(diǎn)

立體幾何的最大特點(diǎn)是把空間的立體圖形靠想象、加工，在平面中來(lái)展示，這就使它缺少了平面圖形的直觀性，識(shí)圖的方便與簡(jiǎn)捷性的特點(diǎn)，計(jì)算、推理難而不便。然而，通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)，其問(wèn)題的解決實(shí)際上很多都是以平面幾何知識(shí)為母板加以轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。如長(zhǎng)度的計(jì)算，線線、線面、面面的平行與垂直等，因此研究立體幾何問(wèn)題與平面幾何問(wèn)題的銜接和轉(zhuǎn)化是認(rèn)識(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵，筆者暫且把自己在教學(xué)中悟得的這種方法叫做“體——面——線——點(diǎn)”法，即尋求將立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，再在平面圖形中尋求或構(gòu)造特殊的線，最后分析解決問(wèn)題運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)。

1. 解決問(wèn)題常用的圖形與知識(shí)點(diǎn)

（1）兩直線平行。如證明線、面平行，面、面平行最終都轉(zhuǎn)化為證明兩直線平行，兩條異面直線的夾角往往通過(guò)將其中的一條或兩條平移成，其中常用的知識(shí)點(diǎn)是與中點(diǎn)相關(guān)的三角形的中位線、平行四邊形和平行線分線段成比例定理的逆定理等。

例1. “如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，DB=2，將△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至A1CD，使A1與點(diǎn)B之間的距離A1B=■，求異面直線A1C與BD所成角的余弦值?！?/p>

就解題思想而言，首先要將兩異面直線A1C、BD進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形的兩條邊。其方法有幾種，如，①如圖（2）甲，作CE∥DB且CE=BD，連結(jié)BE，A1E，則∠A1CE即為A1C與BD所成角；②如圖（2）乙，作A1E∥DB且A1E=BD，連結(jié)DE，CE，則∠CA1E即為A1C與BD所成角；③如圖（2）丙，作邊BC、CD、A1B的中點(diǎn)E、M、N，連結(jié)ME，NE，MN，DN，則∠MEN即為A1C與BD所成角；④如圖（2）丁，作DE∥A1C且DE=A1C，連結(jié)BE，A1E，則∠BDE即為A1C與BD所成角……

（2）等腰三角形的三線合一

例2. “如圖（3），已知在正三棱錐S-ABC中，高SO=3，底面邊長(zhǎng)■■為過(guò)棱AB作截面ABD交側(cè)棱SC于點(diǎn)D，截面與底面所成二面角為θ，當(dāng)θ為何值時(shí)，SC與平面ADB垂直？”

解決此題的關(guān)鍵是作出∠DEC=θ，而做法：（上接第103頁(yè)）作CE⊥AB，SO⊥CE，或連結(jié)SE，ED，SO⊥CE是因?yàn)椤鰽SB，△ABC，△ASC，△SBC都是等腰三角形，依據(jù)是等腰三角形的三線合一。

（3）直角三角形及其相關(guān)的勾股定理和逆定理

聯(lián)系比較多的圖形是矩形及正方形，利用矩形鄰邊的垂直關(guān)系及正方形（或菱形）對(duì)角線互相垂直平分的關(guān)系。如下例圖（4）。

2. 在解題過(guò)程中，能夠恰到好處地將相關(guān)的立體圖形進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”是簡(jiǎn)單易行的、最直觀的好辦法

（1）化立體圖形為相關(guān)的平面圖形的平面轉(zhuǎn)化法

例3.“如圖（4），S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，SA面ABCD，E是SC上一點(diǎn)，SA=4，AB=2，求A到平面SBD的距離”。

此題解題過(guò)程中，常規(guī)作輔助線的方法是：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)SO，作AH⊥SO，用到的幾個(gè)量是：計(jì)算OA，SO，AH這三條線段的長(zhǎng)度，而它們的計(jì)算都要在具體的圖形矩形ABCD和Rt△SAO中完成，但這些圖形畢竟是空間的，其位置關(guān)系（如垂直）等并不直觀，計(jì)算易錯(cuò)，如果將其轉(zhuǎn)化為圖（4）甲、（4）乙則“海闊天空”。

（2）求點(diǎn)到平面距離的等體積轉(zhuǎn)化法

在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，用從這點(diǎn)向已知平面作高的常規(guī)方法去解往往麻煩的多（如例4），有時(shí)也很困難，特別是其中的輔助線及其相關(guān)線段的量的關(guān)系很不直觀，分析、計(jì)算、證明等都有一定的難度，如果用等體積轉(zhuǎn)化法解，往往化難為易，問(wèn)題變得簡(jiǎn)單多了。

（3）利用三角形的中位線或平行四邊形等的平移轉(zhuǎn)化法

如前面例1（略）；

3. 抓住轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵點(diǎn)是理解、記憶、認(rèn)知的最高境界

如在棱柱知識(shí)教學(xué)中，抓住了“底面圖形的形狀”及“側(cè)棱是否與底面垂直”這兩點(diǎn)就能快速而準(zhǔn)確地區(qū)別識(shí)記各種棱柱。

三、挖掘教材中實(shí)踐性題材，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的情趣及合作意識(shí)與創(chuàng)新能力

能夠讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，即動(dòng)手、動(dòng)腦，與教師同學(xué)互動(dòng)等，以較高的熱情積極地參與的最好方法就是走進(jìn)生活，挖掘教材中實(shí)踐性題材，這樣就能更好地做到理論聯(lián)系實(shí)際，將抽象、枯燥而單調(diào)的知識(shí)變得生動(dòng)有趣，增強(qiáng)了學(xué)生接受知識(shí)的親和力。

四、變換角色，激情、激趣，走下講臺(tái)，共同參與

培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，探索精神和解題責(zé)任感，是激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知情趣的內(nèi)在動(dòng)力，教師應(yīng)該從“傳道、授業(yè)、解惑”者的角色及時(shí)地轉(zhuǎn)變成為學(xué)習(xí)活動(dòng)中的引導(dǎo)者、參與者，從“點(diǎn)菜者”到“菜單的提供者”，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的伙伴。走下講臺(tái)，參與到學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，并且虛心地向?qū)W生學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)是一個(gè)活動(dòng)、一個(gè)過(guò)程、一種體驗(yàn)、一個(gè)與人合作的平臺(tái)。同時(shí)，通過(guò)共同參與，讓學(xué)生體會(huì)到人人都是受益者，時(shí)刻都有人在與自己同行，都有人在幫助自己，也都有人在需要自己去幫助，讓他們體會(huì)到自己的主人地位，體會(huì)到自己是這個(gè)活動(dòng)中不可缺少的“演員”，從中感悟成功、收獲快樂(lè)。

總之，學(xué)習(xí)是充滿探究、合作、體驗(yàn)和充滿樂(lè)趣的活動(dòng)，學(xué)習(xí)需要獨(dú)立思考，有時(shí)更需要共同參與，這樣才有利于相互促進(jìn)，共同進(jìn)步，共同提高。其中，教師在這個(gè)過(guò)程中不只是當(dāng)“導(dǎo)演”，有時(shí)也需要當(dāng)演員，學(xué)習(xí)的方法就如同一部劇本情節(jié)發(fā)展的構(gòu)思，它起著非常關(guān)鍵的作用。因此，教師不僅要有“導(dǎo)演”的激情，合作意識(shí)，更重要的是要有高超的傳授學(xué)習(xí)方法的技巧。

（作者單位：內(nèi)蒙古呼倫貝爾市牙克石市第五中學(xué) 022150）