高中生物學(xué)中的數(shù)學(xué)模型：函數(shù)模型

袁媛++王威

摘要：本文界定了數(shù)學(xué)模型的概念，并將高中生物學(xué)中的函數(shù)模型進(jìn)行分類。

關(guān)鍵詞：高中生物 數(shù)學(xué)模型 函數(shù)模型

中圖分類號(hào)：G63391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-5349（2017）12-0149-01

一、 數(shù)學(xué)模型的概念和內(nèi)涵

（一）概念

廣義的理解：一切的數(shù)學(xué)公式、圖表、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)工具等都可以稱為數(shù)學(xué)模型。狹義的理解：一些研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是某一情景中，在數(shù)學(xué)方法原理的指導(dǎo)下，根據(jù)特定事物的內(nèi)在規(guī)律，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，得到特定的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)的求解從而達(dá)到解決實(shí)際問題的思想和方法。

（二）數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵

（1） 具有原型。數(shù)學(xué)模型是摒棄了與原型無本質(zhì)關(guān)系的結(jié)構(gòu)而形成的，是對(duì)原型的簡(jiǎn)化和抽象，所以一個(gè)數(shù)學(xué)模型有與之相對(duì)應(yīng)的原型，一個(gè)原型根據(jù)需要可以建立很多模型，而一個(gè)模型是根據(jù)在某一問題情境下對(duì)原型的一些不必要的性質(zhì)刪減然后抽象形成的，所以大多數(shù)情況下一個(gè)模型只能對(duì)應(yīng)一個(gè)原型。

（2） 用一定的數(shù)學(xué)工具表示。數(shù)學(xué)思維的外顯需要數(shù)學(xué)工具來呈現(xiàn)，所以數(shù)學(xué)工具是數(shù)學(xué)模型中不可或缺的元素。包括：表格、方程式、數(shù)學(xué)符號(hào)、幾何圖等。

（3）具有數(shù)學(xué)規(guī)律。數(shù)學(xué)模型是在實(shí)際問題中將研究對(duì)象的本質(zhì)屬性、規(guī)律、現(xiàn)象等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)規(guī)律的結(jié)果，因此構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的前提是原型具有一定的數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、數(shù)學(xué)模型的分類

生物中的數(shù)學(xué)模型目前沒有統(tǒng)一的分類方法，根據(jù)模型應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具不同，一些學(xué)者將數(shù)學(xué)模型分為：數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)字模型、比例模型、方程式模型、公式模型、線段模型、幾何圖模型、冪函數(shù)模型、概率計(jì)算模型、等式模型、排列組合模型、曲線模型和表格模型。

三、函數(shù)模型

如果有兩個(gè)變量x，y，隨著x的改變y也隨之改變，并且對(duì)于每一個(gè)x的值，y都有與之對(duì)應(yīng)的唯一的值，那么就說y是x的函數(shù)。x叫做因變量，y叫做自變量，函數(shù)式記作y=f（x）。高中教材中一些描述生理變化或規(guī)律的曲線圖，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)的圖像。

（1）二次函數(shù)。圖像是一條對(duì)稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。拋物線有最值，開口向下有最大值，開口向上有最小值，對(duì)稱軸的兩側(cè)出現(xiàn)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。圖1酶活性受溫度影響示意圖，以x軸表示溫度，y軸表示酶的活性的坐標(biāo)軸中，酶活性受溫度影響的曲線可以看作二次函數(shù)。隨著因變量溫度低于或者高于最適溫度都會(huì)影響自變量酶的活性，而且在一定范圍內(nèi)，隨著溫度越來越低（或越來越高），酶的活性也會(huì)越來越低。值得注意的是，在教學(xué)中應(yīng)該注意隨著溫度升高到一定程度，酶會(huì)失去活性，即活性為0，而溫度降低卻不會(huì)使酶活性降為0。

圖1酶活性受溫度影響示意圖（2）指數(shù)函數(shù)。以指數(shù)為自變量，底數(shù)為大于0且不等于1的常量的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。在生物學(xué)中，指數(shù)函數(shù)大多用于種群繁殖的數(shù)量變化，因此應(yīng)表達(dá)為y=ax（a>1）。以“在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min繁殖一代”為例：細(xì)菌繁殖 n代的數(shù)量為Nn=2n。由這個(gè)表達(dá)式可以將該細(xì)菌的數(shù)量增長(zhǎng)看做是指數(shù)函數(shù)。除此之外“J”型曲線Nt=N0λt也是指數(shù)函數(shù)。

（3）正比例函數(shù)。兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系式可以表示成如y=kx的函數(shù)（k為常數(shù)，x的次數(shù)為1，且k≠0）。在生物學(xué)中的k值一般都是取大于0，圖像才有意義。物質(zhì)的運(yùn)輸方式：自由擴(kuò)散 表示隨著自變量物質(zhì)濃度的增加，因變量運(yùn)輸?shù)乃俾室搽S之增加，他們之間的關(guān)系是正相關(guān)的。

（4）其他函數(shù)。高中生物學(xué)中所用到的一些曲線雖然不屬于普通數(shù)學(xué)里面的某一類函數(shù)，但是也具有和函數(shù)相似的性質(zhì)：因變量隨著自變量的改變而改變。圖2 光照強(qiáng)度與光合作用的關(guān)系圖表示了在一定范圍內(nèi)，隨著光照強(qiáng)度的不斷增強(qiáng)，光合作用強(qiáng)度也不斷增加，但是一定范圍以后，隨著光照強(qiáng)度的增加，光合作用強(qiáng)度依然保持不變，這時(shí)限制光合作用強(qiáng)度的因素是CO2的濃度。

圖2光照強(qiáng)度與光合作用的關(guān)系人教版高中必修教材中有很多涉及曲線的模型都是函數(shù)模型，這些函數(shù)在生物學(xué)中往往由于生物因素或非生物因素影響其走向和趨勢(shì)，不能和數(shù)學(xué)中的函數(shù)完全一樣，也許沒有函數(shù)表達(dá)式，但這也恰巧符合模型的定義：對(duì)原型信息簡(jiǎn)化和提取，得到一個(gè)可用來分析研究問題且結(jié)構(gòu)特性相類似的替代物，用來反映原型的特征和屬性。在講某一現(xiàn)象時(shí)，將其與函數(shù)結(jié)合，可以使學(xué)生根據(jù)不同函數(shù)的性質(zhì)和圖像來記憶相應(yīng)的生物現(xiàn)象。例如：在物質(zhì)的自由擴(kuò)散和細(xì)菌在營(yíng)養(yǎng)條件、生存空間不限的條件下的圖像都是隨著因變量的增加而增大，所以學(xué)生容易搞混兩個(gè)圖像。這時(shí)給學(xué)生提出指數(shù)函數(shù)和正比例函數(shù)的圖像性質(zhì)后，學(xué)生更容易分清。

責(zé)任編輯：孫瑤