淺談初中幾何兩線段相等的證明方法

羅美甜

摘 要 幾何證明一直都是數(shù)學(xué)教師的聚焦所在，如何開展幾何課堂教學(xué)是一線教師一直探究的問題。本文主要從證明兩段線段相等這一方面入手，從新授課的引導(dǎo)，到習(xí)題課的總結(jié)，再到例題講解的思路，介紹幾何證明的常規(guī)思路，發(fā)展學(xué)生的分析推理能力及邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。希望本文能起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞 基礎(chǔ)知識(shí) 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 因勢(shì)利導(dǎo) 雙向推理

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)

俗語說得好：“萬丈高樓平地起”，“知識(shí)是累積下來的”……這些都充分說明學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)的重要性。如果學(xué)生連概念、定理、推理等程序性知識(shí)都不熟悉，那又怎么能要求他們利用這些來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題呢？因此，在學(xué)習(xí)這些陳述性知識(shí)時(shí)，教師要注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，而不是用傳授型的教學(xué)來替代學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)。事實(shí)證明，自主學(xué)習(xí)能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，有效地發(fā)展學(xué)生的學(xué)生的潛力。如等腰三角形“三線合一”的內(nèi)容。教師們都明白，這一知識(shí)點(diǎn)是重點(diǎn)，更是難點(diǎn)。如何讓學(xué)生突破這一學(xué)習(xí)的難點(diǎn)呢？教師可以這樣設(shè)計(jì)：

（1）準(zhǔn)備全班數(shù)量的白紙：部分白紙上畫著全等的等腰三角形，部分白紙上畫著全等的一般三角形。

畫圖：豍畫出△ABC的BC上的高。豎畫出△ABC的BC上的中線。豏畫出△ABC的∠BAC的角平分線。請(qǐng)你任選一題完成。小組內(nèi)展示結(jié)果，并向同學(xué)介紹你的畫法。豐小組合作討論：若將這三線都放在同一個(gè)三角形中，會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況呢？

【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生回憶三角形三線的畫法，抓住三線形成的關(guān)鍵，即抓住了三線的意義，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

（2）幾何畫板展示：等腰△ABC“三線合一”的過程。動(dòng)態(tài)展示由一般三角形的三線到等腰三角形的三線合一。

【設(shè)計(jì)意圖】：從一般到特殊，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律；直觀感受三線合一的魅力所在，強(qiáng)調(diào)三線合一發(fā)生的背景—等腰三角形。

（3）總結(jié)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)：等腰三角形底邊上一致的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”。分析“三線合一”的核心內(nèi)容：已知兩腰和一線，即有另兩線。即有三種情況：

學(xué)生以小組為單位，選擇其中一種情況證明。教師巡回輔導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)正確的證明過程，則請(qǐng)小組代表展示。

【設(shè)計(jì)意圖】：從視覺感受到理論論證，從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生對(duì)三線合一的理解，從而達(dá)到強(qiáng)化三線合一的目的。分開選項(xiàng)來論證，既能節(jié)省時(shí)間，又能達(dá)到學(xué)習(xí)目的，一舉兩得。

2注重知識(shí)的分類、總結(jié)，構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

數(shù)學(xué)幾何證明，不會(huì)只關(guān)注在某一知識(shí)點(diǎn)上，更多的是將幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過某些隱藏的橋梁溝通連接起來，可惜的是復(fù)合起來的數(shù)學(xué)題很多學(xué)生都難以入手解決。所以構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，找到題目?jī)?nèi)在的聯(lián)系對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)而言，是很有必要的。數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，不但可以是知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，也可以是方法導(dǎo)向的網(wǎng)絡(luò)。以證明兩線段相等的為例子：

常用于證明兩線段相等的方法：

（1）利用全等三角形的性質(zhì)；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)（等角對(duì)等邊）；

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)；

（4）利用等量代換；

（5）利用中位線定理；

（6）利用垂直平分線的性質(zhì)；

（7）利用角平分線的性質(zhì)；

（8）利用圓的半徑、等弦等。

課堂中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，用醒目的結(jié)構(gòu)圖表示，以簡(jiǎn)煉的語言表述畫成網(wǎng)絡(luò)圖表示出來， 幫助學(xué)生總結(jié)、記憶。教師也可以指導(dǎo)學(xué)生通過自己的探索和學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，從而找出規(guī)律，形成概念，充分展現(xiàn)了“提綱挈領(lǐng)、簡(jiǎn)明扼要、信息集中、思維對(duì)號(hào)”的教學(xué)特色，更是能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。

3巧用方法，因勢(shì)利導(dǎo)，尋找最佳的解題方法

哈爾莫斯曾經(jīng)說過，“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟?！蓖ㄟ^解題，能夠檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，掌握核心內(nèi)容，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維。

而數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)差異很大，大部分的原因落在學(xué)生的解題能力。很多學(xué)生都是課堂上聽懂了，但自己完成題目卻做不好。這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難處，難在知識(shí)的運(yùn)動(dòng)上。特別是針對(duì)幾何證明題，部分學(xué)生更是無從下手。這就需要教師做好引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生從條件和結(jié)論入手，順向逆向思維兼顧，將知識(shí)轉(zhuǎn)化成橋梁，溝通條件和結(jié)論。以常用的證明兩線段相等的方法為例：

【說明】利用全等三角形證明線段相等是學(xué)生最熟悉、也是最熟練的方法之一。什么情況下運(yùn)用全等、怎么找齊全等的條件，這些在剛開始的時(shí)候?qū)W生是需要教師來引導(dǎo)總結(jié)的：要證的AE=CE，分別在兩個(gè)三角形中，故考慮全等。全等需要的邊相等或角相等，與題目的條件相呼應(yīng)。

這道題很簡(jiǎn)單，可能會(huì)有教師質(zhì)疑是否需要逆向推理。請(qǐng)教師們清楚一點(diǎn)：學(xué)生面對(duì)的題目不是一層不變的，強(qiáng)化學(xué)生順向或逆向推理，不是一朝一夕的事情，因此要將這些方法貫穿在教師的課堂上。

當(dāng)然，有些題目不能直接利用全等三角形的性質(zhì)來證明兩線段相等，這就需要根據(jù)條件利用輔助線構(gòu)造全等三角形，從而達(dá)到證明的結(jié)果。

幾何題目變化多端，那么幾何教學(xué)不應(yīng)該只是教知識(shí)，更多的應(yīng)該是教會(huì)學(xué)生如何去進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，努力把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值。教師在課堂教學(xué)中，要重視理念和方法的引領(lǐng)，了解常見的解題方法，總結(jié)類型，把這些融入到平時(shí)的課堂上，引導(dǎo)學(xué)生的解題思考，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)

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