中值定理的行列式法證明及推廣

王文華，陳崢立，李 瑋

(1.陜西師范大學(xué) a.民族教育學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062;2.武警工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710078)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

中值定理的行列式法證明及推廣

王文華1a，陳崢立1b，李 瑋2

(1.陜西師范大學(xué) a.民族教育學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062;2.武警工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710078)

首先根據(jù)羅爾中值定理，構(gòu)造行列式證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理；其次，分別建立了3個(gè)函數(shù)和4個(gè)函數(shù)的中值定理以及二階可導(dǎo)函數(shù)的廣義中值定理；最后,列舉了通過(guò)構(gòu)造行列式解決具體問(wèn)題的實(shí)例。

行列式；導(dǎo)數(shù)；中值定理

0 引言

微分中值定理是微積分學(xué)中的一組重要定理，包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，在微積分教學(xué)與研究中具有承前啟后的作用。然而，在證明了羅爾中值定理之后，如何再去證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一個(gè)比較困難的問(wèn)題。通常采用的方法是構(gòu)造輔助函數(shù)法，并且與微分中值定理相關(guān)的證明題，大多數(shù)也需要作輔助函數(shù)才能完成，因而構(gòu)造輔助函數(shù)是證明此類問(wèn)題的關(guān)鍵。目前的參考書上介紹了多種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法[1-3]，但對(duì)于學(xué)生來(lái)講，要構(gòu)造合適的輔助函數(shù)仍是比較困難的。目前已有不少關(guān)于如何構(gòu)造輔助函數(shù)的討論與研究，例如：文獻(xiàn)[4]給出了用原函數(shù)法和系數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)；文獻(xiàn)[5]用構(gòu)造行列式法給出證明；文獻(xiàn)[6]根據(jù)Darboux定理構(gòu)造另類函數(shù)；文獻(xiàn)[7]在通常的輔助函數(shù)上，采用區(qū)間套方法給出證明；文獻(xiàn)[8]總結(jié)了4種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法；文獻(xiàn)[9]通過(guò)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算構(gòu)造出一系列拉格朗日中值定理證明中滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，并明確指出了柯西中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法；文獻(xiàn)[10]通過(guò)構(gòu)造含參數(shù)的輔助函數(shù)證明中值定理。這些證明方法中，行列式法將線性代數(shù)用于微積分，其證明方法簡(jiǎn)捷明了，不僅讓初學(xué)者認(rèn)識(shí)并理解微分中值定理，而且為其以后的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

本文應(yīng)用行列式理論以及求導(dǎo)方法，在羅爾中值定理的基礎(chǔ)上，對(duì)拉格朗日中值定理和柯西中值定理進(jìn)行了再一次證明，并得到了一些廣義中值定理。

1 預(yù)備知識(shí)

首先我們給出行列式的求導(dǎo)法則和羅爾中值定理的內(nèi)容。

定理1[1]設(shè)fij(x)(i,j=1,2,…,n)為可導(dǎo)函數(shù)，則

定理2 (羅爾中值定理)[1]如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得f′(ξ)=0。

2 中值定理的行列式法證明

證明 構(gòu)造行列式

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且

進(jìn)一步計(jì)算得φ(a)=φ(b)=0。 根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即(b-a)f′(ξ)+f(a)-f(b)=0。 故

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

[f(b)-f(a)]g′(ξ)=[g(b)-g(a)]f′(ξ)。

故

3 中值定理的推廣

定理5[5]如果函數(shù)f(x),g(x)及h(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(b)=0,并有

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

[g(a)h(b)-g(b)h(a)]f′(ξ)+[f(a)g(b)-f(b)g(a)]h′(ξ)

=[g(a)h(b)-g(b)h(a)]g′(ξ)。

定理6[5]如果函數(shù)f(x),g(x)及h(x),p(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(b)=0。

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(c)=φ(b)=0，并有

根據(jù)羅爾中值定理知，至少存在點(diǎn)α∈(a,c)，β∈(c,b), 使得φ′(α)=φ′(β)=0。

又因?yàn)棣铡?x)在閉區(qū)間[α,β]上連續(xù), 在開區(qū)間(α,β)內(nèi)可導(dǎo)，且

f″(x)(cb2+ac2+ba2-ca2-bc2-ab2)。

再次利用羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(α,β)?(a,b)，使得φ″(ξ)=0。 故

定理8 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)三階可導(dǎo), 那么對(duì)?c,d∈(a,b),(c

顯然φ(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(c)=φ(d)=φ(b)=0。

根據(jù)羅爾中值定理知，至少存在點(diǎn)α∈(a,c)，β∈(c,d)，γ∈(d,b), 使得

φ′(α)=φ′(β)=φ′(γ)=0。

又因?yàn)棣铡?x)在[α,β]及[β,γ]上分別連續(xù), 在(α,β)及(β,γ)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在點(diǎn)μ∈(α,β)，ν∈(β,γ)，使得φ″(μ)=φ″(ν)=0。

再次利用羅爾中值定理，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(μ,ν)，使得φ?(ξ)=0。 由于

4 應(yīng)用

例1 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)=f(b), 那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使等式f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ)成立。

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(a)=φ(b)=0，并有

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

f(a)-ξf′(ξ)-f(ξ)=0。

從而，f(a)=ξf′(ξ)+f(ξ)。

特別地，當(dāng)f(a)=f(b)=0時(shí)，有ξf′(ξ)+f(ξ)=0。

例2 如果函數(shù)f(x)及g(x)在閉區(qū)間[a,b](ab>0)上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且g′(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為0, 那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

故

顯然φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且φ(a)=φ(b)=0，并有

根據(jù)羅爾中值定理知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得φ′(ξ)=0，即

由羅爾中值定理知，在區(qū)間[a,1]上，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,1)?(0,1), 使得φ′(ξ)=0，即

f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M]．第6版．北京：高等教育出版社，2007．

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M]．第6版．北京：高等教育出版社，2007．

[3] 朱永忠，鄭蘇娟．高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M]．北京：科學(xué)出版社，2008．

[4] 劉文武．兩個(gè)微分中值定理證明中輔助函數(shù)作法探討[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35(8)：242-247．

[5] 楊耕文．用行列式法證明微分中值定理[J]．洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(4)：49-52．

[6] 王秀玲．微分中值定理的另類證明與應(yīng)用[J]．安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，16(4)：93-95．

[7] 王家軍．微分中值定理的另類證明與推廣[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24(4)：169-171．

[8] 余麗．微分中值定理的證明及應(yīng)用中的輔助函數(shù)構(gòu)造[J]．重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，30(3)：21-24．

[9] 宋振云，陳少元，涂瓊霞．微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J]．高師理科學(xué)刊，2009，29(2)：10-13．

[10] 程建玲．微分中值定理的證明及推廣[J]．棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，31(5)：63-66．

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

TheProofsofMeanValueTheoremsbyUsingDeterminantMethodandExtension

WANGWen-hua1a，CHENZheng-li1b，LIWei2

(1a.SchoolofEthnicNationalitiesEducation；1b.SchoolofMathematicsandInformationScience，ShaanxiNormalUniversity，Xi’an710062，China；2.CollegeofScience,EngineeringUniversityofCAPE,Xi’an710078,China)

Firstly，according to Rolle mean value theorem，the determinants to reprove the Lagrange mean value theorem and the Cauchy theorem are constructed.Secondly，the mean value theorems of three functions and four functions are established，respectively，as well as the generalized mean value theorems of high order differential function are obtained.Finally，several examples are showed to illustrate the application of the determinant method to solve the problem.

determinant; derivative; mean-value theorem

O151.22

A

1009-5128(2017)08-0026-07

2017-01-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：量子絕熱計(jì)算的理論與應(yīng)用(11601300)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：PT-對(duì)稱量子系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論研究(11571213)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：線性算子的譜結(jié)構(gòu)及其擾動(dòng)分析(11471200)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目:多體量子關(guān)聯(lián)的動(dòng)力學(xué)與時(shí)間演化(11401359)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：量子態(tài)分類與量子絕熱逼近中的算子論方法(11371012);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目：無(wú)限維絕熱量子計(jì)算模型(GK201703093)

王文華(1987—)，女，陜西渭南人，陜西師范大學(xué)民族教育學(xué)院講師，理學(xué)博士，主要從事算子理論與量子信息研究;陳崢立(1973—)，男，陜西西安人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，理學(xué)博士，主要從事算子代數(shù)與量子信息研究。