關于數(shù)學“章頭圖”教育屬性的若干思考

朱桂鳳+孫朝仁

【摘要】在教學法范疇，數(shù)學“章頭圖”集中反映章容含的本體屬性.通過研究章頭圖與審美直覺屬性、課程目標屬性、問題解決屬性以及學科素養(yǎng)屬性的內(nèi)部關系，能為教師有素養(yǎng)的教提供形而上的“參照”，能為學生有素養(yǎng)的學提供形而下的“器識”，落實數(shù)學教育素養(yǎng)屬性目標.

【關鍵詞】數(shù)學章頭圖；教育屬性；核心素養(yǎng)

任何變化的事物背后，總有不變的物質(zhì)支配著，這是科學與哲學的認識信念.生物學關心遺傳因子，化學關心元素，物理學關心基本粒子，哲學關心普遍的規(guī)律[1]，“章頭圖”聚焦教與學事物的總體屬性.《義務教育課程標準教科書數(shù)學（蘇科版）》從結構觀出發(fā)，認證本套教材每章的開頭部分設置：章頭圖，章頭語，章頭問題，本章內(nèi)容的概述.這些結構性元素投射了章節(jié)、單元、學段內(nèi)容的主題線索及其內(nèi)部關系的邏輯焦點，而“章頭圖”居于思想統(tǒng)領地位，因此研究章頭圖更具現(xiàn)實意義和前瞻影響，突出素養(yǎng)教育的邏輯目標.

仔細說來，從結構主義學派[2]的數(shù)學流變性出發(fā)，可以把教科書的“章節(jié)內(nèi)容”近似地看作是一座城市，城市中心的巨大建筑物，就好比是章頭圖；城市的郊區(qū)正在不斷地向外伸展，這就好像是尚待開發(fā)的章頭問題；同時，市中心又在時時重建，每次都是構思清晰的計劃和合理的布局，在拆毀掉舊的斷街小巷的同時，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，這就是章頭語以及章內(nèi)容概述的價值指向.

章頭圖的認知地位支配著章序言立意的維度特征，關乎知識技能、關乎數(shù)學思考、關乎問題解決、關乎情感態(tài)度、更關乎審美選擇與素養(yǎng)建模.在這里，著力研究章頭圖與審美直覺屬性、課程目標屬性、問題解決屬性以及學科素養(yǎng)屬性的內(nèi)部關系，為有素養(yǎng)的教與學提供形而上的“思想”和形而下的“器識”，進一步落實數(shù)學素養(yǎng)教育的可能目標.

1章頭圖與審美直覺屬性

審美直覺是數(shù)學創(chuàng)造的心理基礎，而章頭圖是誘發(fā)直覺的客體對象，是創(chuàng)造行為發(fā)生的依附載體.為此，章頭圖與審美直覺屬性發(fā)生了不可忽視的關聯(lián).Hadamard在《數(shù)學領域的發(fā)明心理學》[3]一書中，從無意識直覺的選擇作用出發(fā)，詳盡論述了數(shù)學直覺的心理要素，指出數(shù)學直覺的本質(zhì)就是“美感”或“美的意識”.數(shù)學教科書章頭圖是直覺審美的有效載體（運動變化的摩天輪等），是學生視覺思維活動的媒介，一直發(fā)揮著無意識渲染美的實體作用.就這個意義上說，章頭圖所蘊含的美的規(guī)律，疊合成美的本質(zhì)與審美直覺的自由度具有內(nèi)部關系一致性.

于此說來，出于直覺思維的整體性特點[4]，數(shù)學美常蘊藏在數(shù)學學科的基本結構之中，蘊藏在數(shù)學對象的相互聯(lián)系之中，蘊藏在數(shù)學方法的共通之中.章頭圖作為學科結構的基本成分（測重天平等），起到聚焦主題的導航作用；作為研究對象的一種具體性抽象（梯子靠墻問題等），承擔教學目標的領航作用；作為數(shù)學方法的概念運演形態(tài)（拼圖·公式等），突出美的直覺的選擇性特征.按照康德的審美經(jīng)驗論來說[5]，審美經(jīng)驗不是由單純的感覺喚起的，也不是由簡單的判斷所喚起的，而是由二者共同作用，以及足以激發(fā)二者發(fā)生共同作用的事物喚起的，而且只能由其結構適合于審美本性的事物所成就.在研究者看來，這里的“事物”可以看作是章頭圖的替代概念，至少具有三層含義：一是圖形事物本身的結構應具有相稱、和諧、有序等可感知美的特征；二是圖形事物的容含能集中反映章節(jié)教學主線，投射了一種選擇美；三是圖形事物的內(nèi)部關系能表征、解釋章節(jié)核心概念的本質(zhì)，流動一種理性思維的自由美.

基于實證研究的需要，在這里，不妨從章頭圖“摩天輪”的審美作用說起，揭示章頭圖與審美直覺屬性的內(nèi)部關系，并以此示范章頭圖教學的審美力量.

蘇科版九年級《數(shù)學》上冊封面以“摩天輪”為主題圖，突出了“圓”這一章在教材中的重要地位（圓是初等數(shù)學學習的重要內(nèi)容，能為后繼高中段學習提供思維地氣）；“第2章對稱圖形——圓”的章頭圖也是以“摩天輪”為主圖，形象地突出圓的概念特征（一中同長以及旋轉不變性），也能為后續(xù)抽象出“垂徑定理”（垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條?。┞裣滤季S的伏筆.蘇科版九年級《數(shù)學》下冊“76節(jié)用銳角三角函數(shù)解決問題”“問題2”的幾何背景也是以“摩天輪”為認知載體，突出引導學生經(jīng)歷從生活到數(shù)學抽象的特征，利用學生學過的銳角三角函數(shù)的相關知識解決實際問題的全過程.鑒于章頭圖（摩天輪）的承前啟后和承上啟下作用以及審美體驗功能，平常教學中要重視章頭圖的使用，并盡力用好，使其發(fā)揮應有的審美教育功能.

從審美的角度來說，用好“摩天輪”這一章頭圖，需要在圓概念起始課前設置“微型數(shù)學活動課”，一般20分鐘左右.具體表現(xiàn)出三個結構層次：首先是讓學生觀察摩天輪的結構圖，研討交流各自的發(fā)現(xiàn)，指出其屬性特征，并說明自己覺知到哪些美感；其次是讓學生在觀察研究摩天輪概念圖的基礎上，提出可能研究的問題以及可能獲得的結論；最后是讓學生借助課本，經(jīng)歷水平抽象（生活→數(shù)學）和垂直抽象（數(shù)學→數(shù)學）的思維過程，形成垂徑定理的產(chǎn)生式系統(tǒng)（在⊙O中，若直徑AB垂直弦CD于P，則有PC=PD，弧AC與弧AD、弧BC與弧BD分別相等）以及形成靜態(tài)圓和動態(tài)圓的概念集合觀.如果說“發(fā)現(xiàn)屬性”的過程就是審美直覺作用的過程，那么提出問題的過程就是直覺選擇美的過程，則概念產(chǎn)生式形成的過程是審美理想實現(xiàn)的過程，終于章頭圖的思想統(tǒng)領地位的確立和審美水平的線性上升.事實上，章頭圖的“教學現(xiàn)實”不容樂觀.日常研究章頭圖教學作用的不多見，間或研究是源于展示課、賽課以及示范課的驅(qū)動.因此章頭圖的美學價值一慣流失.建議教研部門要在評價政策上進行傾斜，切實使得“用好教材”“用好章頭圖”成為審美行動.正如“科學結論的合理性要在它的審美價值中去尋找，并用它來判斷科學方法的合理性”[6]一樣可靠.

2章頭圖與課程目標屬性

課程目標是教學目的的替代概念，是現(xiàn)代教育評價學[7]研究的對象.即“以教育為對象，對其效用給予價值上的判斷”.課程目標始終支配著數(shù)學教育實施方向和具體教學目標的走向，“章頭圖”作為數(shù)學教育研究的一種形象載體，是完成課程目標的一種客觀對象，又被課程目標的容含框架制約著，因此研究章頭圖教學有助于課程目標的定向落實，進而有利于數(shù)學素養(yǎng)的沉淀和科學精神的養(yǎng)成，突出“人學”教育發(fā)展觀.

美國中小學數(shù)學教育的目的在于培養(yǎng)學生的數(shù)學價值觀、自信力、思想交流力、思維力和問題力，并用動詞理解（understand）、解釋（interpret）、發(fā)展（develop）來描述；英國2008（QCA）最新頒布的數(shù)學課程標準最終目標[8]：成功的學習者（successful learners）、自信的個人（confident individuals）和具有責任心的公民（responsible citizens），并用解決（solve）、發(fā)現(xiàn)（find）和探究（explore）來刻畫；我國的數(shù)學課程教育目標在于培養(yǎng)學生的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）和“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題），用經(jīng)歷、體驗、探索來表征過程性目標.不難發(fā)現(xiàn)這些素養(yǎng)性目標屬性都帶有強烈的實踐性特征，反映課程教育對公民的“社會參與維度” [9]這一培養(yǎng)方向（實踐意識→實踐行為→實踐意識），數(shù)學章頭圖是學生開展實踐學習的重要載體，有助于在地性數(shù)學觀的正向形成.

就目標屬性得以實現(xiàn)的本身來說，無論是數(shù)學價值觀、成功的學習者抑或是“四能”的發(fā)展都需要學生擁有自覺研究的意識.作為實踐的數(shù)學課程（旗桿高度的測量等），“章頭圖”是研究性學習的最好載體.因此，章頭圖是課程目標的具體化，研究章頭圖教育屬性的過程，就是課程目標素養(yǎng)得以層級的過程.

就目標動詞的行為功能來說，“發(fā)展”“探究”“體驗”都帶有“數(shù)學自我概念” [10]（學生在學校情境中形成的，對自己在數(shù)學學業(yè)方面的特長、能力和知識形成的比較穩(wěn)定的認知、體驗和評價）的領導意識，支配著人人都能獲得良好數(shù)學教育，不同人在數(shù)學上獲得不同發(fā)展的課程理念.教學目標是課程目標的下位概念，可分為學科總目標、單元教學目標、課時教學目標.而章頭圖恰好能夠匹配的反映這些層次性目標的支配屬性，為此，研究實施章頭圖的課時目標對課程目標的總體發(fā)展，無疑具有“第一哲學”的教育意義.

不妨舉例說明章頭圖與課程目標屬性的實證關系.蘇科版九年級《數(shù)學》上冊“第1章一元二次方程”是以“梯子靠墻”為章頭主圖，反映一元二次方程與現(xiàn)實生活的密切關系，突出一元二次方程是刻畫現(xiàn)實問題變化關系的一種心理模型.“梯子靠墻”問題是本章認知的思維導圖，用好的前提是定位載體承載的目標體系，以及確立目標問題的問題反應塊.具體分解過程如下：課時目標，一是在探索實際問題關系的經(jīng)歷中感受用方程的意義；二是在問題解決中體驗方程建模的過程；單元目標，感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，體會一元二次方程解法所蘊含的“轉化”思想；課程目標，從已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、討論結果意義的過程.

基于“梯子靠墻”目標體系的實施，研究者對該章頭圖的可用性進行組織拓展：首先是讓學生思考長為5米的梯子斜靠在墻上，你能提出哪些問題以及這樣思考的依據(jù)；其次是讓學生探討“梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離多1米”，可獲得怎樣的數(shù)量關系，并尋求結論的合理性；再次是讓學生交流“梯子的頂端下滑x米，則梯子的底端移動的水平距離的可能值？”為什么？最后是讓學生通過嘗試運算，演化出上述應用問題的解答方案，并指出獲得答案的途徑以及推理的方法根據(jù).在這里，可以把“探討和交流”的認知行為，看作是課時目標得以實現(xiàn)的具體表現(xiàn)，則單元目標還應包括嘗試運演和自覺探尋依據(jù)的科學認知精神要素，那么課程目標還要涵蓋提出問題力的監(jiān)控與測量，方能落實人學教育課程素養(yǎng)觀.

事實上，“梯子靠墻”問題不是“一元二次方程”建模的專利，還可以作為“數(shù)學實驗：折紙與銳角三角函數(shù)”的前概念（長度為2米的梯子斜靠在墻上，其傾角α為60°，則梯子底端到墻面的距離是多少？）和后概念（要使上述梯子靠墻的傾角變?yōu)?5°，則梯子底端前方1米遠的地方有柵欄，是否需要拆除？為什么？）反映了章頭圖的多元認知功能.

3章頭圖與問題解決屬性

問題解決（problem solving）屬于心理學習論范疇，是學習者將原有的概念和規(guī)則加以綜合，在新情境中施加應用并獲得新的認知結論的過程.信息加工心理學認證“問題”是信息和目標之間有某些障礙需要被克服的刺激反應情境.章頭圖蘊含豐富的概念信息，為問題解決提供階段性體驗，有助于創(chuàng)造性學習行為的發(fā)生.根據(jù)章頭問題的起點、目標和允許操作的不同，可以將其劃分為界定不明確問題（ill-defined problem）和界定明確問題（well-defined problem），前者屬于常規(guī)性問題（routine problem）（投幣實驗等離散型章頭問題），后者屬于非常規(guī)性問題（海騰戲水條件型章頭問題）.

數(shù)學算理學中的整式運算、因式分解、方程解法等問題都可以通過模仿獲得技能途徑，屬于常規(guī)性問題；而那些不可以通過模仿獲得作答路徑的逆概念、逆思維、反證法等問題行為，屬于反常規(guī)性問題，中高考壓軸題往往突出這一特征，能很好的考查考生的思維精準度.

鮑爾和希爾加德《學習論—學習活動規(guī)律的探索》（1981）[11]一書，論述了碰到新的陌生問題時，學習者是怎樣解決的呢？刺激反應學從新舊經(jīng)驗的內(nèi)部關系出發(fā)，認證學習者將其過去經(jīng)驗中與新問題有關的行為集中起來，抑或是按照新情境與以前遇到的情境的相似方面做出反應.假如這些反應不能使問題獲得解決，學習者便會嘗試錯誤，從眾多的行為中發(fā)出連續(xù)的反應，直至問題得以解決.上述“梯子靠墻”章頭問題，如果梯子的傾角是75°，在沒給定該銳角函數(shù)值的背景下，求出梯子頂端到地面的距離具有不可求解性.為此，研究者讓學生通過“折紙”方式，在觀察折痕的前提下，獲得該角的正切值，最終實現(xiàn)創(chuàng)造性問題解決的目標.當然，“折紙→觀察→推演”都是新舊經(jīng)驗得以組合和改造的過程，終于形成非常規(guī)問題解決產(chǎn)生式系統(tǒng).

奧蘇泊爾從意義學習論出發(fā)，認定問題解決分為五個階段：符號表征學習→概念學習→命題學習→概念和命題的應用→創(chuàng)造性解決問題.章頭問題一般要經(jīng)歷這五個階段，方能使得問題解決目標得以通透實現(xiàn).“投幣實驗”章頭圖是古典概型的代表，通過“認識概率”的學習，學生已經(jīng)積累了只要硬幣質(zhì)地均勻，出現(xiàn)“正面朝上”和出現(xiàn)“反面朝上”的機會均等，試驗結果具有等可能性.鑒于此，要強化知識間的內(nèi)在關系教學，為“等可能條件下的概率”學習做好思維鋪墊.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，出現(xiàn)哪些等可能的結果（正、反），直接寫出正面朝上的概率；拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，出現(xiàn)哪些等可能的結果（正、正；反、反；正、反；反、正），求出2次都正面朝上的概率；拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，出現(xiàn)哪些等可能的結果，猜想3次都正面朝上的概率，并通過列表或畫樹狀圖進行驗證；請設計一個摸球試驗方案，反映用頻率估計概率的統(tǒng)計思想.

綜上可知，投幣實驗章頭活動，旨在引導學生體驗“通過大量重復試驗，用事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值估計概率”與“等可能條件下的概率”的內(nèi)在關系與區(qū)別，感悟某一類隨機事件，可以根據(jù)試驗結果的客觀對稱性或均衡性來確定其發(fā)生的概率，不必多次重復試驗.在這里，從問題解決的心理秩序來說，如果把拋擲硬幣1次活動看作是符號表征學習的發(fā)生，那么拋擲硬幣2次活動是概念和命題學習的重要階段，拋擲硬幣3次活動是應用意識的范式表現(xiàn)，則設計概率實施方案是創(chuàng)造性問題解決的結果狀態(tài).其中，前3個活動是常規(guī)問題解決的具體化表現(xiàn)，后面的設計方案行為涵蓋非常規(guī)問題的諸多要素，需要逆向思維的復合參與，方能實現(xiàn)章頭圖的立體功能與課程教育導向.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》從問題解決目標出發(fā)，強調(diào)讓學生在解決簡單的實際問題中增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力傾向；重視多角度分析和解決問題，掌控問題解決的基本方法；關注在合作、交流與反思中形成可靠的評價意識.投幣章頭圖恰好落實了問題解決的四個層面的問題力，投幣問題包含分析解決問題能力簇以及評價意識培養(yǎng)傾向，編制摸球方案涵蓋發(fā)現(xiàn)提出問題能力導向以及逆向評價體系的產(chǎn)生式.就這一意義上來說，章頭圖為問題解決提供了“好問題”“好念頭”“好教育”的客觀載體，問題解決的問題具有反哺章頭圖教育屬性作用.

4章頭圖與學科素養(yǎng)屬性

學科素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng).素養(yǎng)（literacy）是指一個人的穩(wěn)定的心理品質(zhì)，集中反映人的學科能力.數(shù)學素養(yǎng)決定學習者的數(shù)學能力和數(shù)學觀.使用數(shù)學章頭圖的能力是提高數(shù)學能力的有用途徑，關乎經(jīng)驗質(zhì)量，關乎方法水平，更關乎數(shù)學修養(yǎng).教育部定了一個學生的核心素養(yǎng)，涵蓋三個維度：社會參與的維度，自主發(fā)展的維度和文化修養(yǎng)的維度.學科素養(yǎng)屬于文化修養(yǎng)維度范疇，這里特指數(shù)學素養(yǎng).張奠宙先生把數(shù)學素養(yǎng)劃分為四個層面：數(shù)學意識、問題解決、邏輯推理和信息交流.章頭圖本身帶有強烈的問題意識特征，是引發(fā)目標問題的好素材，能為邏輯推理和信息交流提供有質(zhì)量的思維經(jīng)驗成分.因此，章頭圖活動是提升數(shù)學素養(yǎng)的可靠載體.

《上海市中小學數(shù)學課程標準（試行稿）》從數(shù)學教育理念出發(fā)，認定數(shù)學素養(yǎng)[12]是人們通過數(shù)學教育以及自身的實踐和認知活動，所獲得的數(shù)學基礎知識、基本技能、數(shù)學思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學思維品質(zhì)和解決問題能力的總和.在這里，可以把基礎知識和基本技能看作是文化修養(yǎng)的心理基礎，則數(shù)學思想和觀念是社會參與的能力基礎，思維品質(zhì)和解決問題能力是自主發(fā)展的素養(yǎng)資本.為此可以認證，好的數(shù)學教育應該用“數(shù)學活動”回應社會參與特征，用“研究性學習”呼應自主發(fā)展特征，用“課題學習”反射文化修養(yǎng)特征，而活動性、研究性、課題性都是章頭圖教育屬性的外顯，就這一層面來說，研究章頭圖的過程就是學科素養(yǎng)得以聚合提升的過程.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》從課程內(nèi)容的質(zhì)量觀出發(fā)，認定發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識是時代教育對人才發(fā)展的需要.當然，就人類生活素養(yǎng)水平差來說，大致可以將數(shù)感、符號意識、幾何直觀納入到經(jīng)驗質(zhì)量范疇，運算力、推理力、空間觀和模型思想歸結到方法水平范疇，則數(shù)據(jù)分析觀、應用意識和創(chuàng)新意識屬于數(shù)學修養(yǎng)文化范疇.數(shù)學章頭圖恰好能承載課程認知“十大核心概念”的目標意義，就這一屬性理解來說，初中段數(shù)學教育的“新能源”“新材料”“新素養(yǎng)”的研發(fā)基地就是對章頭圖的開發(fā)與利用.

蘇科版八年級《數(shù)學》上冊“第1章全等三角形”是以“兩扇雕花的窗格”“兩個全等三角形”為章頭圖，研讀章頭圖的過程就是感受全等圖形和全等三角形特征的過程，投射了空間觀念和幾何直觀成分，揭示數(shù)學與生活的關系；“第3章勾股定理”是以2002年世界數(shù)學家大會會標“弦圖”“梯子靠墻性數(shù)組”為章頭圖，研究弦圖和特定數(shù)組的過程就是把握勾股定理本質(zhì)及其應用建模的過程，涵蓋數(shù)感、數(shù)據(jù)分析觀、應用和創(chuàng)新意識成分，標志我國古代驗證數(shù)學力的發(fā)展水平.蘇科版九年級《數(shù)學》下冊“第6章圖形的相似”是以“不同底板的長城照片”“非特殊相似三角形”為章頭圖，反映相似變換的整體特性.研讀章頭圖的過程就是體會相似形的性質(zhì)、探索圖形相似條件的過程，涵蓋符號意識、運算力、推理力以及建模意識的培養(yǎng)傾向，發(fā)展了學生的觀察學習和聯(lián)想學習等學科性素養(yǎng)，終于數(shù)學課程教育對人的發(fā)展質(zhì)量的要求.

于此可見，章頭學的教育作用超越了單純的“四基”“四能”目標范疇，給人的發(fā)展帶來了無限的變革空間，用好章頭圖是未來數(shù)學教育的新方向.就與時俱進的課程教育使命來說，章頭圖與審美直覺、課程目標、問題解決和學科素養(yǎng)的關系不止于人學修為觀，還包括辯證法、經(jīng)濟學、社會學和測量學等素養(yǎng)質(zhì)量觀意識.限于文本屬性，這里暫時不予研究.

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作者簡介朱桂鳳（1969-），女，中學高級教師，連云港市首批學術領軍人才，在省級以上主流刊物發(fā)表文章60余篇，有多篇文章被人大復印資料全文轉載.出版專著《初中數(shù)學慢教育的理論與實踐》一書，獲江蘇省教育成果評比一等獎，國家教學成果評比二等獎.主要從事初中數(shù)學慢教育的理論與實踐研究以及教學、教法和試題研究.