基于μ-σ積分變換的概率問題研究

馬醒花，岳鳳桐

(1.華北理工大學 理學院，河北 唐山 063210；2.唐山學院，河北 唐山 063000)

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基于μ-σ積分變換的概率問題研究

馬醒花1，岳鳳桐2

(1.華北理工大學 理學院，河北 唐山 063210；2.唐山學院，河北 唐山 063000)

正態(tài)分布；概率密度；積分變換

在概率統(tǒng)計中一般正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布的重要性不言而喻，而標準化的實質其實就是積分變換。本文重點闡述μ-σ積分變換在一維、二維正態(tài)分布問題研究中所起的作用，一方面揭示概率統(tǒng)計與高等數(shù)學聯(lián)系密切，另一方面對正態(tài)分布這一重要的概念從積分變換的角度進行更加全面而深入的研究。

1 一維正態(tài)分布中的μ-σ積分變換

μ-σ積分變換在一維正態(tài)分布問題的研究中比較常見，通過變換可將一般正態(tài)分布標準化，從而使分布函數(shù)、概率密度簡單化，一方面既便于理論上的研究，另一方面又可利用標準正態(tài)分布表求任一事件的概率值，且簡單易行。

證明：

(1)

這是一般正態(tài)分布概率密度歸一化性質的證明，利用μ-σ積分變換，可迎刃而解。

(2)已知X～N(μ,σ2)，證明E(X)=μ

證明：

(2)

這是一般正態(tài)分布求數(shù)學期望，利用μ-σ積分變換及概率密度的性質即可證出。

(3)已知X～N(μ,σ2)，證明D(X)=σ2

=σ2

(3)

此即一般正態(tài)分布求方差，利用μ-σ積分變換及分部積分法求得。

(4)已知X～N(μ,σ2)，求E(X-μ)n

當n為偶數(shù)時

(4)

一般正態(tài)分布求n階中心矩，求解時首先使用μ-σ積分變換，然后利用積分性質及伽瑪函數(shù)的性質等推出結論。

(5)已知隨機變量X～N(160,σ2)，且P{120

解：因為P{120

已知P{120

這就是典型的正態(tài)分布經(jīng)過μ-σ積分變換后，通過查表求事件的概率值的題目，此題如果不經(jīng)過標準化，直接用概率密度去計算σ的值是不可能的或只能通過計算機算出近似值。

2 二維正態(tài)分布中的 積分變換

μ-σ積分變換在一維正態(tài)分布問題研究中引人注目，在二維正態(tài)分布問題研究中其作用更加突出，所做變換常常是雙μ-σ積分變換，典型問題如下。

證明：

得

再做變量替換，令

得

(5)

本題使用了雙μ-σ積分變換，其實質就是二重積分換元法。

解：

(6)

(7)

(3)已知(X,Y)～N(μ1,σ12μ2,σ22ρ)，求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)和相關系數(shù)ρXY

于是

即若X與Y不相關，則X與Y必獨立，所以在正態(tài)分布的場合，獨立與不相關是等價的。

3 結論

基于μ-σ積分變換的概率問題系統(tǒng)介紹了μ-σ積分變換在一維及二維正態(tài)分布問題研究中的作用，說明高等數(shù)學與概率統(tǒng)計聯(lián)系密切，同時也強化了一般正態(tài)分布標準化的重要性，即非標準化的隨機變量只有通過標準化才能脫穎而出。

[1] 萬星火.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:科學出版社,2007.

[2] 盛驟,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3] 都超.正態(tài)分布k階原點矩與方差的計算[J].考試周刊-數(shù)學教學與研究,2011,(27):65-66.

[4] 馬醒花.二重積分在單積分計算中的應用[J].高等數(shù)學研究,2017,(2):63-65.

Research on Probability Problem Based on μ-σ Integral Transformation

MA Xing-hua1,YUE Feng-tong2

(1.College of Science,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063210,China;2.Tangshan College,Tangshan Hebei 063000,China)

normal distribution; probability density; integral transformation

In probability statistics,it is self-evident that the importance of transformation from the general normal distribution into the standard normal distribution,and in fact the essence of standardization is integral transformation.The role of integral transformation in the study of one-dimensional and two-dimensional normal distribution was emphasized and discussed.On the one hand,the substantial connection between probability statistics and higher mathematics is revealed,and on the other hand,the important concept of normal distribution is comprehensively studied in-depth from the perspective of integral transformation.

2095-2716(2017)03-0105-04

2017-03-18

2017-05-10

華北理工大學教改項目(Z1613-13)。

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