考慮異常值的基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的案均賠款法

閆春+張靜+蘇瑞

摘 要：在存在異常值的情況下，非壽險(xiǎn)公司應(yīng)用傳統(tǒng)案均賠款法估計(jì)準(zhǔn)備金常出現(xiàn)估計(jì)精度不高的問(wèn)題。在分析傳統(tǒng)案均賠款法中進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)方法的缺陷之后，引入數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)估計(jì)方法進(jìn)行改進(jìn)，建立進(jìn)展因子和結(jié)案率的二次規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃模型，并引入權(quán)重因子弱化異常數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)結(jié)果的影響，運(yùn)用一組流量三角形數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明：數(shù)學(xué)規(guī)劃法可以有效估計(jì)進(jìn)展因子和結(jié)案率，弱化異常數(shù)據(jù)對(duì)準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果的影響。

關(guān)鍵詞： 案均賠款法；異常數(shù)據(jù)；數(shù)學(xué)規(guī)劃法

中圖分類號(hào)：F840.65 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1003-7217（2017）03-0046-06

一、引 言

未決賠款準(zhǔn)備金是非壽險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金估計(jì)中最重要的部分，公司的經(jīng)營(yíng)業(yè)績(jī)和經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)受準(zhǔn)備金估計(jì)值的影響顯著。存在異常數(shù)據(jù)時(shí)，非壽險(xiǎn)公司應(yīng)用傳統(tǒng)準(zhǔn)備金估計(jì)方法估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金存在較大偏差。因此，為減弱異常數(shù)據(jù)對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的影響，保證最終估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確度，有必要對(duì)流量三角形中的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行診斷并弱化其影響。

在準(zhǔn)備金評(píng)估異常數(shù)據(jù)的診斷方面，國(guó)外學(xué)者最先進(jìn)行了一些開(kāi)創(chuàng)性研究。Carroll和Pederson（1993）在廣義線性模型（GLM）框架下對(duì)準(zhǔn)備金估計(jì)模型受原始數(shù)據(jù)中異常值的影響程度進(jìn)行了研究[1]。Preisser和Qaqish（1999）在廣義估計(jì)方程（GEE）的一般框架下，考慮了一類穩(wěn)健估計(jì)量[2]。Cantoni和Ronchetti（2001）在GLM框架下應(yīng)用擬似然估計(jì)方法提出一種穩(wěn)健推斷工具，最終得到有界的預(yù)測(cè)值的影響函數(shù)[3]。Verdonck等（2009）在多種準(zhǔn)備金估計(jì)方法中考慮了異常數(shù)據(jù)的影響，討論了鏈梯法中穩(wěn)健性問(wèn)題，并提出了穩(wěn)健鏈梯模型[4]。Verdonck和Debruyne（2011）對(duì)廣義線性模型下準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感程度進(jìn)行了定量分析，構(gòu)造診斷方程，并有效識(shí)別了流量三角形中異常值的位置[5]。之后，Anderson Paulo等（2014）也對(duì)穩(wěn)健估計(jì)量進(jìn)行深入探討，對(duì)穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了廣泛研究[6]。

在國(guó)內(nèi)，雖然這方面的相關(guān)研究開(kāi)展得較晚，但也出現(xiàn)了很多成果。逯敏（2013）基于對(duì)鏈梯法的改進(jìn)，引入穩(wěn)健鏈梯模型和穩(wěn)健廣義線性模型，并提出了兩階段的穩(wěn)健廣義線性模型[7]。段白鴿、張連增（2014）考慮了一種穩(wěn)健鏈梯模型，擴(kuò)大了異常值的檢索范圍，減小了異常值對(duì)索賠準(zhǔn)備金估計(jì)的影響[8]。盧志義等（2015）在鏈梯法中建立二次規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃模型對(duì)進(jìn)展因子進(jìn)行估計(jì)，引入權(quán)重因子，并應(yīng)用一組模擬數(shù)據(jù)對(duì)所述方法進(jìn)行實(shí)證分析[9]。閆春等（2015）在案均賠款法中考慮離群值的影響，運(yùn)用殘差箱線圖法和兩點(diǎn)法對(duì)相關(guān)索賠數(shù)據(jù)進(jìn)行離群值檢驗(yàn)，然后針對(duì)離群值提出了一種穩(wěn)健的案均賠款法[10]。

綜上，對(duì)于考慮異常數(shù)據(jù)影響的非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金的研究方法，主要集中于廣義線性模型及穩(wěn)健鏈梯模型等，并且對(duì)于準(zhǔn)備金評(píng)估方法的改進(jìn)大多是針對(duì)鏈梯法的，而案均賠款法在鏈梯法的基礎(chǔ)上增加了案件數(shù)信息，使評(píng)估信息更加充分，但目前國(guó)內(nèi)外對(duì)案均賠款法的研究成果比較少。鑒于此，本文在傳統(tǒng)案均賠款法中考慮異常數(shù)據(jù)，首先，對(duì)其進(jìn)行敏感性分析，并對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)方法的不足進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明，提出數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率建立二次規(guī)劃模型和目標(biāo)規(guī)劃模型。然后，在此模型下同時(shí)引入權(quán)重因子，分別對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率進(jìn)行估計(jì)，區(qū)別不同數(shù)據(jù)信息對(duì)估計(jì)結(jié)果的作用，將此類方法與傳統(tǒng)案均賠款法結(jié)合，弱化異常數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)的影響，從而保證未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的準(zhǔn)確度。最后，應(yīng)用一組經(jīng)典數(shù)據(jù)對(duì)所述的方法進(jìn)行驗(yàn)證，比較分析最終的估計(jì)結(jié)果。

二、案均賠款法準(zhǔn)備金評(píng)估及敏感性分析

案均賠款是賠款與案件數(shù)的比值。基本假設(shè)：各事故年的案均賠款保持著相對(duì)穩(wěn)定的趨勢(shì)。案均賠款法根據(jù)是否已經(jīng)結(jié)案可以分為已報(bào)案案均賠款（PPCI）和已結(jié)案案均賠款（PPCF）。本文以PPCF法為例，進(jìn)行詳細(xì)介紹及模型構(gòu)建。

PPCF方法應(yīng)用累計(jì)已報(bào)案件數(shù)Ni，j流量三角形、累計(jì)已結(jié)案件數(shù)Di，j流量三角形和增量已結(jié)案賠款Yi，j流量三角形對(duì)準(zhǔn)備金進(jìn)行估計(jì)。具體步驟為：第一，預(yù)測(cè)最終已報(bào)案案件數(shù)。對(duì)累計(jì)已報(bào)案件數(shù)Ni，j流量三角形應(yīng)用鏈梯法預(yù)測(cè)各事故年的最終案件數(shù)。第二，計(jì)算已結(jié)案案件數(shù)。從累計(jì)已報(bào)案案件數(shù)中減去未結(jié)案的案件數(shù)即可得到最終已結(jié)案案件數(shù)。第三，預(yù)測(cè)未來(lái)的已結(jié)案案件數(shù)。首先，計(jì)算結(jié)案率及其平均值，結(jié)案率是指已結(jié)案的累計(jì)案件數(shù)在已報(bào)案的總案件數(shù)中所占的比重，其計(jì)算公式為：vi，j=Di，j/Ni，n。其中，Ni，n表示事故年i發(fā)生的保險(xiǎn)事故所導(dǎo)致的總索賠次數(shù)。計(jì)算出結(jié)案率以后，選定結(jié)案率的平均值作為各進(jìn)展年的結(jié)案率，且尾部結(jié)案率估計(jì)值假定為1。然后，預(yù)測(cè)未來(lái)已結(jié)案的案件數(shù)，根據(jù)結(jié)案率的選定值乘以總索賠次數(shù)，計(jì)算出年末累計(jì)已結(jié)案索賠次數(shù)的預(yù)測(cè)值，用后一個(gè)進(jìn)展年的結(jié)案次數(shù)減去前一個(gè)進(jìn)展年的結(jié)案次數(shù)，得到增量已結(jié)案件數(shù)流量三角形i，j。第四，計(jì)算案均賠款。將已結(jié)案賠款與已結(jié)案案件數(shù)相除，計(jì)算公式為：i，j=Yi，j/i，j。同樣，運(yùn)用鏈梯法預(yù)測(cè)已結(jié)案案均賠款流量三角形i，j的下三角部分。第五，估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金。將已結(jié)案均賠款與已結(jié)案件數(shù)一一對(duì)應(yīng)相乘可得到未決賠款的預(yù)測(cè)值，未決賠款預(yù)測(cè)值流量三角形下三角部分的數(shù)據(jù)加總可得到最終的未決賠款準(zhǔn)備金。

可以看出，案均賠款法是一種鏈梯模型，但其同時(shí)兼顧案件數(shù)（頻率）和賠款額（強(qiáng)度）兩種信息，核心問(wèn)題是計(jì)算案均賠款。

案均賠款法隱含的基本假設(shè)是不同事故年的案均賠款相對(duì)穩(wěn)定，但在實(shí)際的非壽險(xiǎn)數(shù)據(jù)中并不總能得到滿足。當(dāng)流量三角形中數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常值時(shí)，使用案均賠款法評(píng)估準(zhǔn)備金，將會(huì)對(duì)準(zhǔn)備金的估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生較大影響。因此，對(duì)流量三角形中的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測(cè)是否存在異常值至關(guān)重要。

下面選取張曉軍、孟生旺《保險(xiǎn)精算學(xué)》里的一組數(shù)據(jù)，來(lái)驗(yàn)證并分析案均賠款法對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感程度[11]，見(jiàn)表1～3。其中，表1為累計(jì)已報(bào)案案件數(shù)Ni，j，表2為累計(jì)已結(jié)案案件數(shù)流量表Di，j，表3為增量已結(jié)案賠款流量表Yi，j。

對(duì)表1數(shù)據(jù)應(yīng)用鏈梯法得到流量三角形的下三角部分，預(yù)測(cè)各事故年的最終案件數(shù)，再求得結(jié)案率。根據(jù)結(jié)案率數(shù)據(jù)，可以用各事故年最終的累計(jì)已報(bào)案件數(shù)分別乘以對(duì)應(yīng)進(jìn)展年的結(jié)案率的選定值，即可求得累計(jì)已結(jié)案索賠次數(shù)流量三角形的下三角部分；然后，將累計(jì)已結(jié)案案件數(shù)流量表轉(zhuǎn)化為增量已結(jié)案案件數(shù)流量表；最后，用表3的賠款數(shù)據(jù)除以增量已結(jié)案案件數(shù)上三角部分，即可得到已結(jié)案案均賠款流量。

對(duì)已結(jié)案均賠款流量表應(yīng)用鏈梯法得到未來(lái)各年已結(jié)案均賠款的預(yù)測(cè)值，用已結(jié)案均賠款預(yù)測(cè)值乘以已結(jié)案索賠次數(shù)預(yù)測(cè)值，即可得到未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值。

為了探究異常賠款數(shù)據(jù)對(duì)傳統(tǒng)案均賠款法準(zhǔn)備金估計(jì)值的影響程度，對(duì)表2中事故年為1999年、進(jìn)展年為3的已結(jié)案案件數(shù)縮小10倍進(jìn)行異?；幚?，得到新的結(jié)案率。然后，按照傳統(tǒng)的PPCF模型對(duì)準(zhǔn)備金進(jìn)行估計(jì)，得到?jīng)]有異常值情況下的估計(jì)結(jié)果為71 095千元，存在異常值情況下的結(jié)果為187 506千元。

比較數(shù)據(jù)可知，將表2中的已結(jié)案案件數(shù)流量表中的某一數(shù)值設(shè)為異常數(shù)據(jù)后，存在異常值情況準(zhǔn)備金估計(jì)值比不存在異常值情況下估計(jì)值增加了1倍多，而且這只是在存在單一異常數(shù)據(jù)的情況下比較結(jié)果得出的差異。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)的案均賠款法受異常值的影響程度較大，需要我們探索一種新的方法來(lái)降低其對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性。

三、數(shù)學(xué)規(guī)劃法估計(jì)進(jìn)展因子和結(jié)案率

由于傳統(tǒng)的案均賠款法對(duì)準(zhǔn)備金的估計(jì)結(jié)果容易受異常數(shù)據(jù)的影響，為此，對(duì)該方法的這一缺陷進(jìn)行改進(jìn)，弱化異常數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)案率及進(jìn)展因子的影響?？紤]到數(shù)學(xué)規(guī)劃法的研究對(duì)象是數(shù)值的最優(yōu)化問(wèn)題，解決的主要問(wèn)題是在給定條件下，按某一衡量指標(biāo)來(lái)尋找安排的最優(yōu)方案，可表示成求函數(shù)在滿足約束條件下的極大極小值問(wèn)題，其優(yōu)點(diǎn)是可將復(fù)雜過(guò)程通過(guò)映射直觀反映于目標(biāo)函數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型從而優(yōu)化最終的估計(jì)結(jié)果[12]。我們將進(jìn)展因子和結(jié)案率的偏差函數(shù)最小作為目標(biāo)函數(shù)，嘗試建立二次規(guī)劃模型和目標(biāo)規(guī)劃模型，并引入權(quán)重因子對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)，也可以在該數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的約束條件中加入有關(guān)進(jìn)展因子和結(jié)案率的其他相關(guān)信息，使進(jìn)展因子和結(jié)案率的估計(jì)值更穩(wěn)健，從而提高準(zhǔn)備金估計(jì)的精確度。

（一）傳統(tǒng)案均賠款法進(jìn)展因子和結(jié)案率的估計(jì)及不足

由式（1）可看出，用原始加權(quán)法得到的進(jìn)展因子是各事故年逐年進(jìn)展因子的加權(quán)和。這種方法估計(jì)的進(jìn)展因子受流量三角形中數(shù)據(jù)的影響程度較大，即對(duì)數(shù)據(jù)變化較為敏感，并且不能反映不同的數(shù)據(jù)信息對(duì)進(jìn)展因子估計(jì)的不同作用，也不能有效降低進(jìn)展因子估計(jì)值對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性。

在已結(jié)案均賠款法中，結(jié)案率vi，j的值受累計(jì)已結(jié)案流量三角形Di，j和累計(jì)已報(bào)案流量三角形Ni，j的影響，若兩個(gè)流量三角形中有一個(gè)出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)都會(huì)導(dǎo)致結(jié)案率出現(xiàn)異常。由此可知，結(jié)案率對(duì)觀察值的變化敏感性較高，結(jié)案率的異常也必然會(huì)影響最終的準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果。

針對(duì)案均賠款法中進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)不足的缺陷，下面運(yùn)用最優(yōu)化理論方法給出最優(yōu)進(jìn)展因子和最優(yōu)結(jié)案率的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，并將此標(biāo)準(zhǔn)作為目標(biāo)函數(shù)，建立二次規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃模型對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率進(jìn)行估計(jì)。

（二）二次規(guī)劃法①[13]優(yōu)化進(jìn)展因子和結(jié)案率

在案均賠款法假設(shè)條件下，數(shù)學(xué)規(guī)劃法確定進(jìn)展因子和結(jié)案率的思想是：在特定進(jìn)展模式下通過(guò)最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。

1.二次規(guī)劃法優(yōu)化進(jìn)展因子模型。

其中，v*i，j=Di，j+d+*i-d-*iNi，n是經(jīng)過(guò)校正后的結(jié)案率。從式（15）可以看出，偏差函數(shù)的絕對(duì)值可以很好地衡量結(jié)案率估計(jì)方法的優(yōu)劣性和可行性，并且目標(biāo)規(guī)劃法使得偏差函數(shù)絕對(duì)值總和達(dá)到最小。同二次規(guī)劃法一樣，結(jié)合了目標(biāo)規(guī)劃法的案均賠款法更具有靈活性和適用性。加權(quán)二次規(guī)劃法和加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃法在原有方法的基礎(chǔ)上引入了權(quán)重因子，可以反映不同日歷年數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)的影響程度，這使得進(jìn)展因子和結(jié)案率的估計(jì)值更加符合較近日歷年賠款模式，選擇對(duì)應(yīng)的權(quán)數(shù)也增強(qiáng)了估計(jì)的穩(wěn)健性，弱化了異常數(shù)據(jù)對(duì)準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果的影響。

四、實(shí)證分析③

已知表1和表2中的數(shù)據(jù)是不存在異常數(shù)據(jù)的，為了驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)異常數(shù)據(jù)的弱化作用，提高準(zhǔn)備金估計(jì)的準(zhǔn)確度，需要通過(guò)對(duì)比添加異常值后的改進(jìn)案均賠款法和傳統(tǒng)案均賠款法結(jié)案率估計(jì)值及最終賠款估計(jì)值的差異，來(lái)度量?jī)煞N方法對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性。將表2事故年1999年、進(jìn)展年4的數(shù)據(jù)縮小10倍，事故年2000年、進(jìn)展年4的數(shù)據(jù)擴(kuò)大10倍作為異常數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)可以解釋為人為輸入有誤所致，得到表4即存在異常值情況下的結(jié)案率。

權(quán)數(shù)的選取采用如下方法進(jìn)行：由方程∑n-j+1k=1wk=1解得w各事故年對(duì)應(yīng)相應(yīng)的權(quán)數(shù)，對(duì)于高階方程可以使用Matlab進(jìn)行求解。在實(shí)務(wù)中，權(quán)數(shù)的選取要有依據(jù)，例如表4中進(jìn)展年4的結(jié)案率，事故年1999年的數(shù)據(jù)明顯偏小，而事故年2000年的數(shù)據(jù)明顯偏大，可以看作異常數(shù)據(jù)，在選取權(quán)數(shù)時(shí)，為避免該異常數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)案率估計(jì)的影響，事故年1999年應(yīng)賦予較大權(quán)重，事故年2000年應(yīng)賦予較小權(quán)重。其次，考慮日歷年因素，較近日歷年賦予較大權(quán)重。解方程∑5k=1w5=1得w=0.5087，選取各事故年相應(yīng)的權(quán)數(shù)為0.0669、0.1316、0.5087、0.0341、0.2587。根據(jù)不同方法估計(jì)的結(jié)案率如表5所示。

由表5可以看出，用二次規(guī)劃法估計(jì)的各進(jìn)展年的結(jié)案率與原始加權(quán)法得到的結(jié)案率估計(jì)值相差不大，對(duì)進(jìn)展年4的異常結(jié)案率也沒(méi)有做出相應(yīng)的修正，而目標(biāo)規(guī)劃法的估計(jì)結(jié)果對(duì)異常結(jié)案率進(jìn)行了較好的修正。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，加權(quán)二次規(guī)劃法和加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃法對(duì)結(jié)案率的估計(jì)結(jié)果也相差不大，對(duì)于進(jìn)展年4的結(jié)案率估計(jì)時(shí)，對(duì)事故年1999年的結(jié)案率賦予較大權(quán)數(shù)，對(duì)事故年2000年的結(jié)案率賦予較小權(quán)數(shù)，從而加權(quán)二次規(guī)劃法和加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃法有效降低了結(jié)案率估計(jì)的敏感性，減弱了異常數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)案率估計(jì)的影響，同時(shí)，權(quán)數(shù)的選取也體現(xiàn)了較近日歷年準(zhǔn)備金的進(jìn)展模式。

分析表6可知，二次規(guī)劃法雖然為結(jié)案率的估計(jì)給出了明確的目標(biāo)函數(shù)，使得估計(jì)方法更加靈活，但當(dāng)數(shù)據(jù)中存在較大（?。┊惓?shù)據(jù)時(shí)，二次規(guī)劃法求得的最終賠款準(zhǔn)備金的準(zhǔn)確度與原始加權(quán)法相差不大，對(duì)異常數(shù)據(jù)較敏感，估計(jì)準(zhǔn)確度較低。而考慮了權(quán)數(shù)的二次規(guī)劃法，則可以對(duì)結(jié)案率的估計(jì)進(jìn)行“修勻”，使得到的估計(jì)值受異常數(shù)據(jù)的影響較小。目標(biāo)規(guī)劃法和加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃法較其它估計(jì)也可以弱化異常數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)案率估計(jì)的影響，從而提高準(zhǔn)備金估計(jì)的準(zhǔn)確度，使準(zhǔn)備金估計(jì)更加合理。并且加權(quán)二次規(guī)劃法和加權(quán)目標(biāo)規(guī)劃法在選取權(quán)數(shù)方面考慮日歷年因素，較近日歷年選取較大權(quán)數(shù)，區(qū)分不同信息對(duì)結(jié)案率和進(jìn)展因子估計(jì)的作用。

五、結(jié) 論

以上采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)傳統(tǒng)案均賠款法中的進(jìn)展因子和結(jié)案率進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果顯示：（1）設(shè)定明確的目標(biāo)函數(shù)對(duì)進(jìn)展因子和結(jié)案率進(jìn)行估計(jì)，并在此目標(biāo)函數(shù)下運(yùn)用二次規(guī)劃模型和目標(biāo)規(guī)劃模型可以估計(jì)出最優(yōu)的進(jìn)展因子和結(jié)案率。（2）簡(jiǎn)潔靈活的數(shù)學(xué)規(guī)劃法作為進(jìn)展因子和結(jié)案率估計(jì)的優(yōu)化方法，可充分利用歷史賠款數(shù)據(jù)，有效提高約束條件的可靠性，得到優(yōu)化的估計(jì)結(jié)果。（3）考慮到權(quán)重因素，在目標(biāo)函數(shù)中引入權(quán)重因子，反映出進(jìn)展因子和結(jié)案率的估計(jì)值受不同的數(shù)據(jù)信息的影響程度，從而可以體現(xiàn)其對(duì)不同日歷年數(shù)據(jù)的偏重程度，降低準(zhǔn)備金估計(jì)結(jié)果對(duì)異常數(shù)據(jù)的敏感性，從而為進(jìn)展因子和結(jié)案率的估計(jì)提供了更加靈活的方法。

注釋：

①二次規(guī)劃法是指目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)、約束條件為線性等式或不等式約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。二次規(guī)劃是線性規(guī)劃問(wèn)題向非線性規(guī)劃問(wèn)題的自然過(guò)渡，是最早研究的一類非線性規(guī)劃問(wèn)題，同時(shí)也是一類非常重要的約束優(yōu)化問(wèn)題，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛。

②目標(biāo)規(guī)劃是對(duì)一組目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，并且考慮目標(biāo)的優(yōu)先順序因素，尋找在多個(gè)預(yù)定目標(biāo)前提下的滿意解（通常稱為最優(yōu)解），使得計(jì)算得到的目標(biāo)值盡量達(dá)到預(yù)定目標(biāo)值，亦即使實(shí)際目標(biāo)值與預(yù)定目標(biāo)值之差的偏差變量的取值最小。目標(biāo)規(guī)劃法是在一般線性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其數(shù)學(xué)模型由求極小值的達(dá)成函數(shù)和約束條件構(gòu)成。

③這里仍采用張曉軍、孟生旺《保險(xiǎn)精算學(xué)》里的數(shù)據(jù)對(duì)本文所述的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進(jìn)行驗(yàn)證和對(duì)比。

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（責(zé)任編輯：寧曉青）

Abstract：In the presence of outlying values，the traditional payments per claim method of estimating reserving in non-life insurance companies lack accuracy.First，the drawbacks of traditional payments per claim method in progress factors and settlement rate are analyzed briefly.Then introduced mathematical programming into the estimation method，and quadratic programming and objective programming are established to estimate progress factors and settlement rate.Meanwhile，weight is proposed to abate the influence of the outlying values in the estimate of the progress factors and settlement rate，and using a set of run off triangle data to provided.The results has shown that the mathematical programming method can effectively estimate progress factor and settlement rate，weakening the influence of outlying values on the estimation of reserves.

Key words：Payments per claim method；Outlying values；Mathematical programming method