基于梁-梁接觸理論的管柱屈曲分析

王尊策, 曹夢雨, 徐德奎, 溫后珍, 徐 艷, 陳 明, 呂鳳霞

(1.東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318; 2.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院,北京 100124;3.常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇常州 213016)

基于梁-梁接觸理論的管柱屈曲分析

王尊策1, 曹夢雨1, 徐德奎2, 溫后珍1, 徐 艷1, 陳 明1, 呂鳳霞3

(1.東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318; 2.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院,北京 100124;3.常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇常州 213016)

為探究長直管柱在井下復(fù)雜工況下的屈曲形式,進(jìn)行基于梁-梁接觸理論的管柱屈曲分析研究。利用梁-梁接觸理論對考慮剪切彎曲變形的梁進(jìn)行離散化,使用管-管接觸單元建立管柱變截面摩擦接觸有限元模型,并用此方法針對分層采油井實際井況建立管柱有限元分析模型。結(jié)果表明,分層采油管柱在井下復(fù)雜的受力環(huán)境下會發(fā)生不等距復(fù)合屈曲,在考慮摩擦的情況下管柱的屈曲構(gòu)型不再是標(biāo)準(zhǔn)的正弦線或是螺旋線構(gòu)型,并利用磁定位數(shù)據(jù)驗證了計算結(jié)果的可靠性。

管柱; 管-管接觸單元; 梁-梁接觸理論; 摩擦接觸; 復(fù)合屈曲; 磁定位; 井下工具

油套環(huán)空間隙值極小,油管變形時與套管的接觸作用反過來又會影響油管的變形形式,導(dǎo)致管柱在井下的受力變形情況極為復(fù)雜。在嚴(yán)格意義上說,石油管柱力學(xué)問題是一個包含接觸非線性和幾何非線性在內(nèi)的三維二重非線性力學(xué)問題[1],受井眼約束的油管[2]承載的外載超過一定數(shù)值時,將會失去原有的直線穩(wěn)定狀態(tài)而發(fā)生屈曲。其屈曲行為將先后經(jīng)歷前屈曲和后屈曲兩個過程,其中前屈曲行為與屈曲臨界載荷、分叉點(diǎn)等參數(shù)有關(guān),而后屈曲過程則與管柱結(jié)構(gòu)的有限變形有關(guān)[3]。屈曲行為將造成油管上安裝的封隔器、配產(chǎn)器等工具發(fā)生軸向和徑向的移位,分別導(dǎo)致注采串層以及工具偏心后的偏磨現(xiàn)象,引起工具失效等問題,嚴(yán)重時將導(dǎo)致油田生產(chǎn)事故的發(fā)生,造成重大的經(jīng)濟(jì)損失。李子豐等[4]分析了熱采過程中套管柱在井內(nèi)的受力狀態(tài),給出了套管柱強(qiáng)度校核方法與應(yīng)用實例,在對套管進(jìn)行受力分析時未考慮油管與套管之間的接觸摩擦作用;Lubinski[5]、Mitchell等[6-9]分別基于不同方法先后得到了管柱在軸向載荷下的屈曲行為及接觸力方程,方程中未考慮摩擦力的影響;高德利等[2]系統(tǒng)分析了受井眼約束管柱的屈曲等問題以及摩擦對屈曲的影響,分析時未考慮管柱與井眼脫離對屈曲構(gòu)型的影響。涉及摩擦接觸的管柱變形問題極難處理,而非線性有限元是較為有效的處理方法。狄勤豐等[10-11]采用有限元迭代法研究了柔性短節(jié)位置對帶旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向工具底部鉆具動力學(xué)特性的影響,建立了鉆柱動力學(xué)系統(tǒng)平衡方程;劉巨保等[12]使用間隙元理論建立了基于梁單元的鉆柱力學(xué)分析模型,極大推進(jìn)了鉆柱接觸非線性分析進(jìn)程,但間隙元模型是一種平面單元,實際管柱的受力變形情況是一種三維情形。為建立分層采油管柱于各工況作用下的三維變形情況分析方法處理考慮摩擦與軸向位移在內(nèi)的梁-梁三維接觸問題,筆者應(yīng)用管-管接觸單元基于梁-梁接觸理論建立分層采油井的摩擦接觸有限元模型,針對中33-P250分層采油井的實際工況進(jìn)行數(shù)值分析,磁定位測井結(jié)果證明此方法在預(yù)測井下工具軸向位置串動的可行性。

1 平衡方程

由于采油管柱的長徑比極大,在分析整趟管柱的受力變形情況時,很難按1∶1建立實體模型進(jìn)行分析,故采用梁單元對采油管柱進(jìn)行簡化建模,常用的梁模型主要有鐵木辛柯梁模型和歐拉-伯努利梁模型兩種,其中歐拉伯努利梁理論未考慮梁的剪切變形,為鐵木辛柯梁理論[9]的簡化。

設(shè)梁的受力示意圖如圖1所示,其中,P(x)為橫向作用的均布載荷,M和Fs分別為彎矩和剪力,梁的軸向載荷對稱于x-z平面。令ψ(x)為橫截面的轉(zhuǎn)角,以順時針為正,依據(jù)廣義胡克定律[13]可推知:

(1)

式中,E、G分別為彈性模量和剪切模量,MPa;σxx、σxz分別為橫截面上沿x軸和z軸方向的正應(yīng)力;k2為剪切系數(shù),表示梁的橫截面上平均剪應(yīng)變與橫截面形心處的剪應(yīng)變之比,其數(shù)值與橫截面形狀有關(guān)。

應(yīng)用靜力平衡方程以及平面格林定理等進(jìn)行推導(dǎo),最終可得到用位移表示的包含了梁彎曲變形以及剪切變形的平衡方程為

(2)

式中，A為橫截面面積，mm2;I為軸橫截面對中心的慣性矩，mm4。

圖1 鐵木辛柯梁典型受力形式Fig.1 Typical stress form of Timoshenko beam

由于管柱在井下有可能產(chǎn)生剪切變形,故本文分析中建立的數(shù)值分析[14]模型基于鐵木辛柯梁平衡方程。管柱力學(xué)使用的分析方法有微分方程法、縱橫彎曲連續(xù)梁法、加權(quán)殘數(shù)法、有限單元法、有限體積法[15]、有限差分法等多種,其中有限差分法在管柱力學(xué)中應(yīng)用較多,而使用非線性有限元方法對整趟管柱的隨機(jī)多向變截面接觸問題的研究并不多見,但有限元法具有物理概念簡單清晰、管柱材料與幾何形狀任意、非線性作用容易考慮等優(yōu)點(diǎn),在處理此類問題方面具備極大潛力。

2 梁-梁接觸中的有限元法

2.1 接觸分析引入

采油管柱中存在著內(nèi)外管之間的摩擦接觸,故在建立有限元分析模型時須將接觸定義引入模型。接觸分析是一種純數(shù)學(xué)分析,考慮了幾何約束,使用建立穿透函數(shù)的方式判別接觸是否發(fā)生,穿透函數(shù)的函數(shù)值為兩物體上選定點(diǎn)之間的距離,當(dāng)穿透函數(shù)的函數(shù)值小于零時接觸發(fā)生。

2.2 接觸分析中的有限元法

使用有限元方法進(jìn)行接觸分析時,約束與從面與主面的每一組接觸點(diǎn)相對應(yīng)。對接觸體離散化時也須對約束進(jìn)行離散化[16]。接觸分析中使用的接觸單元大致如圖2所示。其中最簡單的單元為(a)中所示點(diǎn)對點(diǎn)單元,它既可以用于二維模型分析又可以用于三維模型分析,但是只能處理小位移以及小應(yīng)變情況;如果問題中接觸體之間發(fā)生很大的相對位移時,則須用點(diǎn)對段單元或點(diǎn)對面單元;梁-梁接觸時所用單元則屬于不同的種類,這類單元沒有主從區(qū)別,且接觸點(diǎn)與從屬節(jié)點(diǎn)不一致,而是處于兩個梁單元的節(jié)點(diǎn)之間。在有限元分析中,被簡化成梁單元的物體往往3個方向上的尺寸存在很大差別,其中一個方向上的尺寸遠(yuǎn)大于其余兩個方向的尺寸,故梁單元在建模時往往簡化為一條沿軸線的三維曲線,且認(rèn)為梁-梁接觸是逐點(diǎn)接觸。

圖2 四種接觸單元Fig.2 Four kinds of contact elements

2.3 梁-梁接觸的存在判定

在逐點(diǎn)接觸的前提下,欲定義兩根梁之間的穿透函數(shù)須首先尋找兩梁軸線上的最近點(diǎn)對Cmn和Csn。此時兩條曲線上的任意點(diǎn)位置由曲線的局部坐標(biāo)ξm和ξs分別定義,如圖3所示,其中下標(biāo)m和s不代表主從關(guān)系,僅為了區(qū)別不同梁。在梁-梁接觸中沒有主從之分,兩根梁的處理方式是一樣的。

梁單元的穿透函數(shù)必須基于梁的當(dāng)前構(gòu)型指定,故曲線上的每一個點(diǎn)都指定了一個位置矢量:xm或xs,位置矢量與相應(yīng)連接矢量xmn,m(或xsn,s)的數(shù)量積為零。在處理變形過程的每一個迭代時,這些矢量都對應(yīng)著當(dāng)前梁構(gòu)型,且為初始構(gòu)型矢量Xm和位移矢量um的矢量和。以梁m為例,有下列矢量關(guān)系:

(xmn-xsn)·xmn,m=0,

(3)

xm=Xm+um.

(4)

式中，xmn,m為位置矢量xmm對局部坐標(biāo)ξm求取偏導(dǎo)數(shù)。

通常情況下,梁的初始軸線(或初始邊線)在經(jīng)歷變形時,式(3)將會推導(dǎo)出一個非線性方程組,其解集可以按照局部坐標(biāo)ξm和ξs的形式寫出,這一結(jié)果描述了最近點(diǎn)對的位置,可以由牛頓迭代法求解,計算過程中須求解局部坐標(biāo)增量Δξm和Δξs,將結(jié)果線性化處理為

(5)

其中,D為矩陣簡寫,展開式為

圖3 梁軸線上的最近點(diǎn)Fig.3 The closest approach on beams axial line

基于上述數(shù)值關(guān)系求出最近點(diǎn)對的位置后,可以計算它們之間的距離dN:

(6)

當(dāng)梁的半徑分別為rm和rs時,則穿透函數(shù)gN與接觸之間的關(guān)系為

gN=dN-rm-rs.

(7)

若gN<0,則發(fā)生穿透,判定接觸存在。

3 摩擦接觸模型

3.1 管-管接觸單元

使用管-管接觸單元[17]處理梁與梁之間的內(nèi)外接觸[18]問題,它是一種滑移線接觸單元,可以在兩條管線之內(nèi)或之間建立起滑移線接觸。管-管接觸單元可用于梁、管、桁架模型的建立,每一個單元均使用一個節(jié)點(diǎn)定義,使用滑移線和接觸單元集分別定義接觸的主面與從面。

3.2 單元接觸方程

管-管接觸[19]假定存在有限的間隙,內(nèi)管處理為從面,外管處理為主面。單元的接觸方程可以表示為

-n(h+h0)=x1-x.

(8)

x為外管上一點(diǎn),而其可能接觸的點(diǎn)x1則在內(nèi)管上,如圖4所示,方程中h0是管間的徑向間隙。

接觸方程可以表示為

-n(h+h0)=-Ni(g)xi.

(9)

式(8)與式(9)的形式完全相反,這一特點(diǎn)與常規(guī)滑移線單元接觸時的內(nèi)外環(huán)境對比相關(guān),式(9)的線性化形式為

δn(h+h0)+nδh=-tδs-Niδxi.

(10)

假定接觸時h=0,接觸方向定義為

δh=-Ni·n·δxi.

(11)

在沿管方向上有δs=-h0t·δn-Ni·t·δxi,借助于n·t=0可以推得:

(12)

式中,ρn為曲線的曲率。

借助橫斷面的本地切線方向s可以導(dǎo)出方程為

δs2=-Ni·s·δxi=h0s·δn.

(13)

方程(13)中初始應(yīng)力剛度條件可以通過求解h0、s以及s2的二階導(dǎo)數(shù)求出。

圖4 管管接觸Fig.4 Tube-to-tube contact

(14)

式中,∏為勢能函數(shù);εN和εT均為罰參數(shù);λT為拉格朗日算子。

用有限元方法研究管柱力學(xué)問題雖然有諸多優(yōu)勢,但在處理油套隨機(jī)多向摩擦接觸方面顯得十分困難,這主要是由于有限單元法在處理這種隨機(jī)多向接觸問題時須反復(fù)進(jìn)行位移判斷、邊界條件修改等工作,這些處理工作均增加了迭代運(yùn)算的工作量;而且管柱往往長達(dá)數(shù)千米,管柱上各種工具的材料、尺寸、與套管的摩擦系數(shù)等參數(shù)均不盡相同,這些因素均會增加管柱屈曲分析的收斂難度。為解決這一難題,基于有限元方法針對實際井況優(yōu)化建立了油套管的多段變截面隨機(jī)摩擦接觸模型,此模型中對油套接觸區(qū)域進(jìn)行了分散處理,降低和減少了接觸搜索的難度與工作量,使模型收斂性提升。

4 算例分析

中33-P250井是分層產(chǎn)量控制工藝管柱,由丟手接頭、平衡式油井封隔器、可調(diào)配產(chǎn)器、連通器等26段結(jié)構(gòu)組成,是一種平衡式支井底丟手管柱,此類管柱結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 管柱結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of string structure

設(shè)計思路為封隔器將分層配產(chǎn)層段卡開,兩級封隔器之間接可調(diào)配產(chǎn)器,管柱上部接有丟手接頭,管柱下部接有連通器。管柱工作狀態(tài)共4種,分別為自由支井底狀態(tài)、坐封狀態(tài)、丟手狀態(tài)和采油狀態(tài),各狀態(tài)下管柱的受力形式不同,現(xiàn)針對其自由支井底狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值分析。

4.1 力學(xué)模型

采用梁結(jié)構(gòu)對中33-P250井的油套管結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化。根據(jù)管柱結(jié)構(gòu),油管上共安置有7個封隔器、6個可調(diào)配產(chǎn)器以及一個連通器等主要工具。渲染并放大截面形狀后油管的力學(xué)模型如圖6所示。

圖6 油管力學(xué)模型Fig.6 Mechanical model of pipe

建模時各零部件的幾何尺寸及材料選擇如表1所示。

表1 幾何及材料參數(shù)Table 1 Geometrical and material parameters

4.2 分段摩擦接觸模型

由于分析的重點(diǎn)在于油管在套管約束下的屈曲構(gòu)型,并非工具變形,故為了降低計算難度,忽略了不同工具的內(nèi)部結(jié)構(gòu),僅將各工具簡化處理為相應(yīng)截面尺寸的鋼結(jié)構(gòu),并在建立接觸時對油管結(jié)構(gòu)依據(jù)管徑與材料的不同分段建立接觸關(guān)系,減小同一接觸對的接觸單元集總長度,以降低接觸搜索時的難度。

由于采用梁單元建立同心的油套管柱時,油管與套管都是一條線,無法用常規(guī)方法建立接觸,故基于建立的分段摩擦接觸方法,在模型輸入文件中添加油管與套管之間的管管接觸定義,其中由于自由支井底工況下封隔器未坐封,橡膠材料的接觸非線性和材料非線性均未過多在計算中體現(xiàn),但若對其材料屬性詳細(xì)定義則增加了模型計算代價。故在定義材料時僅對其剛性部件的材料屬性進(jìn)行定義,并未定義會嚴(yán)重影響收斂性的膠筒部分,而在摩擦系數(shù)定義時則按照橡膠與套管的摩擦系數(shù)進(jìn)行定義,降低了計算代價。根據(jù)管柱結(jié)構(gòu)特點(diǎn),中33-P250井共建立26對不同屬性的接觸,根據(jù)相應(yīng)試驗結(jié)果,封隔器與套管之間的摩擦系數(shù)取0.3,而油管、配產(chǎn)器和連通器等工具與套管之間的摩擦系數(shù)則定義為0.05。

4.3 載荷與邊界條件

中33-P250井分五層采油,在自由支井底工況下,由于封隔器沒有坐封,管柱主要承受丟手上作用的壓力F1(78 kN)、管柱自重G、管柱下端面液壓力F2(11 kN)、井底的支反力F3、管柱與套管之間摩擦力f等的作用。套管約束全部自由度,油管下端約束豎直方向自由度,管柱的載荷與邊界條件設(shè)定如圖7所示。

圖7 載荷與邊界條件Fig.7 Load and boundary condition

4.4 分析步定義與網(wǎng)格劃分

完成對模型建立與載荷邊界的設(shè)定后,須對模型的分析過程進(jìn)行定義,由于本次分析中接觸對較多,并且均為摩擦接觸,故結(jié)合載荷特點(diǎn)選用結(jié)構(gòu)靜力分析(考慮幾何大變形),求解方式采用迭代計算,并適當(dāng)增大了不收斂時的迭代次數(shù)上限。定義完成后采用B31單元劃分油管與套管的網(wǎng)格,提交運(yùn)算。

4.5 數(shù)值分析結(jié)果

為了更好地觀察管柱的變形情況,云圖中將變形顯示比例適當(dāng)放大,圖中發(fā)生屈曲的為油管,即管-管接觸中的內(nèi)管。由于丟手上方的管柱變形情況并非重點(diǎn),且接觸對越多,數(shù)值分析收斂難度越大,故有限元模型只對丟手接頭及其以下的部分進(jìn)行了建模。其中丟手至絲堵為建模時的正方向,故計算結(jié)果中位移的正值實際代表管柱的縮短。

圖8為封隔器位移計算結(jié)果，圖9為管柱屈曲位移云圖。

圖8 封隔器位移計算結(jié)果Fig.8 Result of packers displacement

圖9 管柱屈曲位移云圖Fig.9 Tubes cloud chart about buckling

由圖8、9所示可知:在理想狀況下,分層采油管柱在支井底自由狀態(tài)下,靠近井底部位的管柱將產(chǎn)生屈曲,封隔器下移,管柱的屈曲構(gòu)型并非均勻螺旋線,而是正弦構(gòu)型與不等距螺旋構(gòu)型共同構(gòu)成的復(fù)合屈曲構(gòu)型,而且屈曲程度最低的區(qū)段恰好為7個封隔器所處位置附近,這是因為封隔器的主要元件為橡膠材質(zhì)的膠筒,與套管之間摩擦系數(shù)遠(yuǎn)高于鋼結(jié)構(gòu)與套管之間的摩擦系數(shù),這也說明了在考慮管柱與套管之間摩擦?xí)r,管柱的螺旋屈曲構(gòu)型不再是均勻螺旋線。

4.6 誤差分析

為了衡量封隔器位移計算結(jié)果的準(zhǔn)確與否,將數(shù)值分析結(jié)果中封隔器位移與測井?dāng)?shù)據(jù)相比對如圖10所示。

封隔器1、2、3、4、5、6、7的模擬偏差分別為6.7%、10.7%、16.7%、9.5%、5.6%、13.3%和9.1%。

現(xiàn)場磁定位數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)性受限于很多因素,本身存在一定偏差。

綜上所述,雖然計算結(jié)果中最大誤差達(dá)到16.7%,但誤差來源較多,計算方法本身并不存在重大問題,而且數(shù)值分析結(jié)果趨勢上與磁定位結(jié)果吻合,這證明使用文中建立的管-管摩擦接觸模型對管柱井下受力變形情況進(jìn)行數(shù)值模擬研究的方式是可行的,可以使用此方法進(jìn)行井下工具串動后位置的預(yù)測。

圖10 數(shù)值分析與磁定位結(jié)果對比Fig.10 Comparison of numerical analysis and magnetic positioning

5 結(jié)束語

建立了基于梁-梁接觸理論的管柱摩擦接觸有限元方法;在考慮摩擦的基礎(chǔ)上進(jìn)行了中33-P250井的管柱變形情況的數(shù)值分析,在存在摩擦的情況下管柱屈曲構(gòu)型為復(fù)合不等距屈曲;對比了有限元分析結(jié)果與磁定位數(shù)據(jù),驗證了本文中提出的摩擦接觸模型可用于管柱的屈曲分析與工具位置預(yù)測。

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(編輯 沈玉英)

Post-buckling analysis of tubes based on beam-to-beam contact theory

WANG Zunce1, CAO Mengyu1, XU Dekui2, WEN Houzhen1, XU Yan1, CHEN Ming1, Lü Fengxia3

(1.MechanicalScientificandEngineeringCollegeofNortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China;2.CollegeofMechanicalEngineeringandAppliedElectronicsTechnology，BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China;3.MechanicalEngineeringCollegeofChangzhouUniversity,Changzhou213016,China)

To explore the buckling form of the straight long tube under complicated conditions, the buckling analysis based on the beam-to-beam contact theory is carried out. The beam is discretized according to the beam-to-beam contact theory in consideration of shear and bending deformation. The finite element method(FEM) model considering the variable section and frictional contact is built, where the tube-to-tube contact element is used. By using this method, the FEM model concerned with the layered productions actual working conditions is presented. The result turns out that the tubes buckling form under the complex condition, is multiple and not equidistant. Moreover, the buckling form with friction is not the standard sine type or the spiral configuration, and the reliability of these results has been proved by the magnetic positioning data.

tube;tube-to-tube contact element; beam-to-beam contact theory; frictional contact; multiple buckling; magnetic positioning;subsurface tool

2016-03-12

國家青年科學(xué)基金項目(11402051)；東北石油大學(xué)研究生創(chuàng)新科研項目(YJSCX2016-021 NEPU)

王尊策(1962-), 男, 教授,博士,博士生導(dǎo)師,研究方向為石油流體機(jī)械及相關(guān)力學(xué)問題。E-mail:wangzc@nepu.edu.cn。

1673-5005(2017)02-0132-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2017.02.016

O 343.9

A

王尊策,曹夢雨,徐德奎,等. 基于梁-梁接觸理論的管柱屈曲分析[J]. 中國石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2017,41(2):132-138.

WANG Zunce, CAO Mengyu, XU Dekui, et al. Post-buckling analysis of tubes based on beam-to-beam contact theory [J]. Journal of China University of Petroleum (Edition of Natural Science), 2017,41(2):132-138.