生活中的幾何

文 /韓麗華

智慧數(shù)學(xué)

生活中的幾何

文 /韓麗華

責(zé)任編輯：王二喜

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.在中考中，生活中的幾何問(wèn)題越來(lái)越受到命題者的青睞.

一、生活中的幾何原理

例 1 （2016年永州卷）對(duì)下列生活現(xiàn)象的解釋,其數(shù)學(xué)原理運(yùn)用錯(cuò)誤的是（ ）

A．把彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理.

B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個(gè)點(diǎn)就能畫(huà)出一條筆直的墨線是運(yùn)用了“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的原理.

C．將自行車(chē)的車(chē)架設(shè)計(jì)為三角形形狀是運(yùn)用了“三角形穩(wěn)定性”的原理.

D．將車(chē)輪設(shè)計(jì)為圓形是運(yùn)用了“圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性”的原理.

解析：任選兩個(gè)點(diǎn)就能畫(huà)出一條筆直的墨線是運(yùn)用了“兩點(diǎn)確定一條直線”的原理，B不正確.其他各選項(xiàng)正確.選B.

溫馨小提示：用數(shù)學(xué)原理解釋生活中的現(xiàn)象，熟悉常見(jiàn)的幾何定理是解題的關(guān)鍵.

二、刀片上的角度

例 2 （2016年湖州卷）圖1是我們常用的折疊式小刀，圖2中刀柄外形是一個(gè)矩形挖去一個(gè)小半圓，其中刀片的兩條邊沿線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成∠1與∠2，則∠1與∠2的和是______度．

圖1

圖2

解析：如圖2，AB椅CD，蟻AEC=90°.

所以∠1+∠2=∠AEF+蟻CEF=蟻AEC=90°．填90.

溫馨小提示：利用平行線和矩形的性質(zhì)，解決了將刀片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角度的計(jì)算問(wèn)題.

三、足球射門(mén)的角度

例 3 （2016年金華卷）足球射門(mén)，不考慮其他因素，僅考慮射門(mén)點(diǎn)到球門(mén)AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門(mén)越好.在圖3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射門(mén)點(diǎn)在（ ）

圖3

A.點(diǎn)C. B.點(diǎn)D或點(diǎn)E.

C. 線段DE（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn). D. 線段CD（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn).

解析：連接EB，AD，DB，AC，CB，作過(guò)點(diǎn)A，B，D的圓，可以確定點(diǎn)E在圓上，點(diǎn)C在圓外，根據(jù)圓周角及圓外角的性質(zhì)可以得到蟻AEB=蟻ADB>蟻ACB，所以最好的射門(mén)點(diǎn)是線段DE（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn).選C.

溫馨小提示：構(gòu)造輔助圓，根據(jù)圓周角、圓內(nèi)角及圓外角的性質(zhì)確定各張角的大小，進(jìn)而得出結(jié)論．

四、地毯的面積

例 4 （2016年金華卷）一樓梯如圖4所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA 與CA 的夾角為茲.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（ ）

圖4

溫馨小提示：利用平移思想，將地毯的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為直角三角形兩條直角邊的和，就容易求面積.

五、求標(biāo)語(yǔ)的長(zhǎng)度

圖5

例 5 （2016年宜昌卷）楊陽(yáng)同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達(dá)B處的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ)．其具體信息匯集如下：如圖5，ABOHCD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，ODCD，垂足為D，已知AB=20米．求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度．

∵ 相鄰兩平行線間的距離相等，∴BO=DO，

溫馨小提示：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

六、求行走的路程

例 6 （2016年十堰卷）如圖6，小華從點(diǎn)A 出發(fā)，沿直線走10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線走10米，又向左轉(zhuǎn)24°，一直這樣走，當(dāng)他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（ ）

圖6

A.140米. B.150米. C.60米. D.240米.

解析：正多邊形的外角和是360°，每次左轉(zhuǎn)24°，所以360÷24=15，走的路程是一個(gè)邊長(zhǎng)為10米的正十五邊形的周長(zhǎng)，一共走了150米. 選B.

溫馨小提示：本題把正多邊形外角的計(jì)算與路程結(jié)合在一起，考查外角和的應(yīng)用.

七、破碎的玻璃片

例 7 （2016年紹興卷）小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖7的四塊，為了能在商店配到一塊相同形狀的玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號(hào)應(yīng)該是（ ）

圖7

A.①② B.①④ C.③④D.②③

解析：只有②③兩塊角的兩邊互相平行，它們延長(zhǎng)線的交點(diǎn)就是平行四邊形的頂點(diǎn)．選D．

溫馨小提示：要確定平行四邊形，只需確定四個(gè)頂點(diǎn)．

八、求閣樓的高度

圖8

例 8 （2016年陜西卷）小亮、小芳等同學(xué)想測(cè)量“望月閣”的高度，因觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，于是他們用平面鏡進(jìn)行測(cè)量．方法如下：如圖8，在直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)C，鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A 在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地 面的高度ED=1.5米 ，CD=2米.然后 ，在陽(yáng)光 下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量. 方法如下：小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮的影長(zhǎng)FH=2.5米，身高FG=1.65米．

解得AB=99.

答：“望月閣”的高AB為99米．

溫馨小提示：要熟練掌握平行投影的性質(zhì)和光線的入射角等于反射角的特征.

九、求物體上升高度

例 9 （2016年蘭州卷）如圖9，用—個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了（ ）

圖9

A.仔cm. B.2仔cm. C.3仔cm. D.5仔cm.

解析：當(dāng)滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°時(shí)，重物上升的距離就是點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)

溫馨小提示：將物體上升高度轉(zhuǎn)化為弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

十、求扇形的面積

例 10 （2016年青島卷）如圖10，一折疊紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB 長(zhǎng)為25cm，貼紙部分的寬BD為15cm，若紙扇兩面貼紙，則貼紙的面積為（ ）

圖10

解析：∵AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，

溫馨小提示：扇環(huán)的面積等于兩個(gè)扇形面積之差.