Eigen模型中誤差閾展寬機制的研究

田中修，李多芳，曹天光，耿金鵬，展永

（河北工業(yè)大學理學院，天津300401）

Eigen模型中誤差閾展寬機制的研究

田中修，李多芳，曹天光，耿金鵬，展永

（河北工業(yè)大學理學院，天津300401）

物種演化本質上是生物群體與他們周圍環(huán)境之間相互作用的一個隨機過程.即演化模型中的一些物理參量是受外界環(huán)境漲落的影響.本工作中，是把模型中的適應度和突變率這2個物理參量同時處理為高斯分布隨機變量，當二者同步耦合隨機化時，轉變區(qū)域的寬度與適應度和突變率的漲落強度分別呈線性和指數型關系；二者在非同步耦合隨機化的情況下，轉變區(qū)域的寬度與變量漲落強度間的關系與之前相一致.此時，不同的漲落強度下，變量與轉變區(qū)域的寬度呈現出不同的趨勢.當適應度和突變率二者同時隨機化時，突變率隨機化占據了主導地位，這就需要將突變概率矩陣中矩陣元作進一步的分析，進而研究誤差閾的展寬機制.

突變率；高斯分布隨機變量；耦合隨機化；突變概率矩陣；誤差閾

0 引言

達爾文進化論，提出了選擇和突變是生物演化的2個主要驅動力，對生物學產生了深遠的影響.1971年，Eigen等人把選擇和突變這2個參量引入到無生命的化學反應體系中，從而建立了物種演化的數學模型，即Eigen模型[1].Eigen模型預言了2個重要的結果：準物種和誤差閾[2-3].突變序列圍繞主系列形成的一種分布稱之為準物種.而誤差閾是一閾值，當突變率越過此閾值后，生物大分子將不再攜帶遺傳信息且各序列將隨機地分布在序列空間中.

自然界中的物種演化總是受到各種隨機因素的影響，其中包括基因突變與外部的環(huán)境漲落[4-5].也就是說，物種演化模型中的物理參量是受這些隨機因素支配的.即這些物理參量是隨機性的而非是確定性的，應當被處理成隨機變量.在之前的研究工作中，本課題組把Eigen模型中的適應度和突變率這2個變量分別處理成高斯分布隨機變量[6-7].而本研究工作中，是把模型中的適應度和突變率這2個變量同時處理成高斯分布隨機變量，進而研究誤差閾的展寬現象.

當適應度和突變率這2個物理參量同時進行隨機化時，突變率的隨機化占主導地位[8].本文試圖從根源出發(fā)，探討突變率是如何影響生物的進化過程，這就需要對突變概率矩陣中矩陣元作進一步的討論，進而研究誤差閾展寬的機制.

1 模型

Eigen模型描述的是自復制分子的進化過程，不同的生物大分子攜帶著特定的遺傳信息.這些生物大分子，例如，具有固定長度為N的序列.在DNA分子或RNA分子中，如果僅考慮嘌呤和嘧啶，生物分子的每一位點都是一個二進制變量，序列的總數為2N.為了簡化模型，引入漢明距離將序列進行分類.將任意2條序列之間堿基數目的差異定義為漢明距離.與主序列相比，具有相同漢明距離的序列被歸為一類，最終得到N+1類序列.Eigen模型演化的動力學方程：

q代表序列每一位點的復制精度.假定只發(fā)生點突變，每一位點的突變率相同且相互獨立，突變率表示為

為了研究Eigen模型的隨機特性，需要把適應度和突變率同時處理為高斯分布隨機變量.變量滿足概率密度分布函數：

2 非同步耦合隨機化的研究

由誤差閾展寬與隨機變量漲落強度之間的關系，可以定量的定義完全隨機化模型中誤差閾的范圍.誤差閾范圍的起點為確定性模型中的臨界點（相變點）.誤差閾范圍的終點為2個互補序列間相對濃度的相對差異小于0.01時的位點[11].相對差異c為：

根據誤差閾的起點和終點，給出了隨機變量在不同漲落強度下轉變區(qū)域的范圍和寬度.

圖1直觀的給出了適應度的漲落強度和突變率的漲落強度與誤差閾寬度的關系.從圖1a）可以看出，當突變率漲落強度為零（適應度單獨隨機化）時，誤差閾寬度與適應度的漲落強度呈線性關系.而當突變率漲落強度不再為零（完全隨機化）時，誤差閾寬度與適應度的漲落強度也呈線性關系且斜率逐漸變小.由圖1b）可知，當適應度漲落強度為零（突變率單獨隨機化）時，誤差閾寬度與突變率的漲落強度近似呈指數型關系.同樣的，而當適應度漲落強度不再為零（完全隨機化）時，誤差閾寬度與適應度的漲落強度也近似呈指數型關系且斜率也是逐漸變小.

表1 適應度和突變率在不同漲落強度下，誤差閾的范圍和寬度Tab.1 The range and width of the error thresholds at different fluctuation strength of fitness and mutation rate

圖1 適應度漲落強度d和突變率漲落強度d0取不同值時所對應的誤差閾寬度Fig.1 The fitness fluctuation strength dand mutation rate fluctuation strength d0at different values corresponding to the error threshold width

3 突變概率矩陣的研究

當適應度和突變率同時隨機化時，突變率隨機化占主導地位.而突變率隨機化之后最直觀的體現應該是突變矩陣中矩陣元的變化.本文試圖從突變矩陣出發(fā)，探討突變率是如何影響生物進化過程的.引入漢明距離后將序列進行分類，可以得到n+1階矩陣.突變概率矩陣Q的形式為：

在誤差閾附近，得到了突變概率矩陣元素隨突變率的變化，如圖2所示.圖2a）表示的是在確定性模型中突變概率矩陣隨位點突變率的演化情況.從圖中可以看出，突變概率矩陣中對角線附近的突變概率分布隨突變率的增加而發(fā)生一定的旋轉，旋轉中心為矩陣的中心元素.同時，突變概率分布的峰脊形狀發(fā)生改變.而在隨機化后的模型中，如圖2b）所示，出現相似突變概率分布時的突變率與確定性模型相比發(fā)生了滯后.同時，在隨機化模型中，突變概率矩陣元素的峰值出現了邊緣效應，即與確定性模型相比，矩陣元素的峰脊呈現出中間高兩邊低的特征.突變概率矩陣的特性決定了序列群體相對濃度的穩(wěn)態(tài)分布，因此，突變概率分布的特征可能是穩(wěn)態(tài)時分子物種的誤差閾發(fā)生展寬的主要原因.

圖2 在誤差閾附近，確定突變概率矩陣與隨機突變概率矩陣的對比Fig.2 In the vicinity of the error threshold，a comparison is made between the determine mutation probability matrix and the random mutation probability matrix

4 結論

誤差閾是分子物種從生存到死亡的臨界突變率，其對原始物種保護和病毒的滅亡尤其是對抗病毒策略的設計都具有重要的意義[12-13].隨著病毒抗藥性的不斷增強，傳統(tǒng)的消滅病毒的方法存在諸多的困難.準物種概念給出了兩種病毒滅亡的方式：致死突變和越過誤差閾.而通過增加病毒的突變率使其越過自身誤差閾而消滅病毒的方法已在相關的病毒實驗中得到了證實[14-15].

對于實際生物演化過程來說，對理論模型進行隨機化討論是必要的.在Eigen模型中，當適應度和突變率這兩個物理量隨機化之后誤差閾的寬度與二者的漲落強度分別呈線性和指數型關系.而二者在非同步耦合隨機化的情況下，曲線的斜率隨著漲落強度的增大而逐漸減小.在突變概率矩陣中，隨機化模型中的矩陣元在誤差閾附近的演化滯后于確定性模型，且矩陣元素的峰值還出現了邊緣效應.因此，本文從序列位點突變率隨機化的角度闡述了在隨機漲落情況下群體誤差閾拓寬的機理，為準物種理論走向實際應用提供一定的理論參考和借鑒.

致謝：感謝中國原子能科學研究院顧建中研究員對本工作的指導和討論.

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[責任編輯 楊屹]

The extension mechanism of the error threshold in Eigen model

TIAN Zhongxiu,LI Duofang,CAO Tianguang,GENG Jinpeng,ZHAN Yong
（School of Sciences,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China）

Species evolution is essentially a random process of interaction between biological populations and their environments.As a result,some physical parameters in evolution modles are subject to statistical fluctuations.In this work,two important parameters in the Eigen model.The fitness and mutation rate are treated as Gaussian distributed random variables simultaneously.When the two are coupled by randomization,the width of the crossover region is linearly and exponentially related to the fluctuation of the fitness and the mutation rate.In the case of the random coupling,the relationship between the width of the crossover region and the fluctuating strength of the variable is consistent with the previous one.At the same time,the variable and the width of the crossover region show different trends under different fluctuation strengths. When both fitness and mutation rate are randomized,the randomization of mutation rate dominates,which requires further analysis of the matrix elements in the mutation probability matrix,and then studies the extension mechanism of the error threshold.

mutation rate;Gaussian distributed random variable;coupled randomization;mutation probability matrix;error threshold

Q61

A

1007-2373（2017）02-0032-05

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.02.006

2016-11-25

河北省自然科學基金（C2013202192）

田中修（1990-），男，碩士研究生．通訊作者：展永（1954-），男，教授，博士生導師．