一類時(shí)間模上的半線性脈沖方程的振蕩問(wèn)題

蘆 偉,宋里宏,李耀紅

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，宿州，234000；2.海軍航空工程學(xué)院7系，煙臺(tái)，264001

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一類時(shí)間模上的半線性脈沖方程的振蕩問(wèn)題

蘆 偉1,宋里宏2,李耀紅1

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，宿州，234000；2.海軍航空工程學(xué)院7系，煙臺(tái)，264001

本文研究了帶阻尼項(xiàng)的時(shí)間模上的半線性脈沖時(shí)滯動(dòng)力方程:

的振蕩性問(wèn)題，通過(guò)使用一個(gè)特殊的脈沖不等式和Riccati技巧，得到此類方程解的振蕩性的若干判定準(zhǔn)則，并通過(guò)例子驗(yàn)證了結(jié)論的實(shí)際意義。

時(shí)間模；脈沖；半線性；時(shí)滯；振蕩性

近年來(lái)，對(duì)微分方程振蕩理論的研究與應(yīng)用幾乎滲入所有學(xué)科和應(yīng)用領(lǐng)域，尤其是時(shí)間模上的動(dòng)力方程的研究廣泛出現(xiàn)在工業(yè)控制理論、生物數(shù)學(xué)模型、電磁理論、神經(jīng)系統(tǒng)理論等領(lǐng)域[1-18]。脈沖的引入為時(shí)間模上的動(dòng)力方程的研究提出了新的課題[3]。本文討論如下帶阻尼項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階脈沖時(shí)滯方程：

(1)

(2)

(H2)F(t),f(t):C(T→R)且uF(u)>0,uf(u)>0；

(H3)δ(t),θ(t):T→T滿足δ(t)≤t,θ(t)≤t,limt→∞δ(t)=+∞,limt→∞θ(t)=+∞；

(H4)存在正常數(shù)L,κ使得F(u)/u≥L,f(u)/u≤κ(u≠0)且φ(t)=Lp(t)-κq(t)>0；

(H6)F(t):C1(T→R)滿足對(duì)所有的不為零的變量u有F′(u)>0，對(duì)任意ab>0有F(ab)≥F(a)F(b)。

本文使用的時(shí)間模上的微積分基本概念參見文獻(xiàn)[1-2]。

近年來(lái)，研究時(shí)間模上動(dòng)力方程的振蕩性問(wèn)題已有較多的成果[4-18],而對(duì)時(shí)標(biāo)上脈沖型動(dòng)力方程的研究并不深入。文獻(xiàn)[15]和[16]研究了非線性項(xiàng)帶σ(t)的特殊情況，得出了一些判定振蕩性的充分條件，本人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣振蕩問(wèn)題的研究，并考慮多時(shí)滯的影響，較之文獻(xiàn)[18]考慮更為一般的方程，并且使用積分平均技巧和一個(gè)特殊的不等式，因此得到的結(jié)果具有一定的理論意義。

1 主要結(jié)果

下面使用積分平均技巧建立方程(1)的如下類型的振蕩定理，為此，假設(shè)在域Ω:={(t,s):t≥s≥t0}上，存在函數(shù)H,H′s∈C1(Ω,R)，滿足：

H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,H′s(t,s)≤0,t>s≥t0

(3)

則當(dāng)t≥t0時(shí)，有：

(4)

引理2[2]假設(shè)g∈R+，即g∈Crd(T，R)并且對(duì)于任意的tk,t∈[t0,+∞]T，滿足1+μ(t)g(t)>0，則初值問(wèn)題yΔ(t)=g(t)y(t),y(t0)=y0∈R在[t0,+∞]T上有唯一的正解eg(t,t0)，也記為eg(·,t0)，它滿足半群性質(zhì)eg(a,b)eg(b,c)=eg(a,c)。

引理3[19]假設(shè)X和Y都是非負(fù)數(shù)，則有：

Xλ+(λ-1)Y-λXYλ-1≥0,λ>1

當(dāng)且僅當(dāng)X=Y時(shí)等式成立。

(5)

(6)

根據(jù)引理2和(6)式，對(duì)t∈(tk,tk+1]T,k=1,2,3,…，又可得到：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

則方程(1)是振蕩的。

證明 設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,∞)T上的一個(gè)非振蕩解，不失一般性，可假設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解(x(t)是方程(1)的最終負(fù)解可類似證明)，不妨設(shè)當(dāng)t≥T≥t0時(shí)x(t)>0，由定理的條件知引理4成立。下面定義廣義的Riccati變換：

由引理4知，當(dāng)t≥T≥t0時(shí)，w(t)>0,又：

(12)

根據(jù)xΔ(t)和A(t)(xΔ(t))γ的單調(diào)性知，當(dāng)t>tk>T時(shí)：

A(t)(xΔ(t))γ≤A(σ(t))(xΔ(σ(t)))γ,x(σ(t))≥x(t)

(13)

將(13)式代入(12)式得：

(14)

使用時(shí)間模上指數(shù)函數(shù)微分的鏈?zhǔn)椒▌t[2]得：

(15)

(16)

(17)

由(16)和(17)得到：

(18)

移項(xiàng)并以s代替t得：

(19)

(19)式兩邊同乘以H(t,s)，并對(duì)s在t>s>tk≥t1上進(jìn)行分段積分，則：

(20)

再由條件(H5)知，對(duì)t∈(tk,tk+1],k=1,2,…有：

(21)

使用分部積分法可推出對(duì)所有的t>s>tk≥t1>T都有：

(22)

將(22)帶入(20)得：

因此

(23)

從而

(24)

這與條件(11)發(fā)生矛盾，因此方程(1)是振蕩的。證畢。

定理2 假設(shè)(H1)～(H5)和(5)成立,并且假設(shè)：

(25)

這里[ψ(t)]+如定理1一樣定義，則方程(1)是振蕩的。

(26)

(27)

根據(jù)引理1可知：

(28)

取t→∞時(shí)由條件(25)知(28)式的右端小于零，這與w(t)>0相矛盾。命題得證。

接下來(lái)考慮當(dāng)f(t)=0,F′(t)>0時(shí)方程(1)的振蕩定理。

定理3 假設(shè)(H1)～(H6)和條件(5)成立，并且進(jìn)一步假設(shè)：

(29)

則方程(1)的解是振蕩的。

證明 設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)非振蕩解，不失一般性，假設(shè)x(t)>0最終成立，沿襲引理4的證明，可以得到x(t)>0,xΔ(t)>0,t∈(tk,tk+1]T,tk>t0,k=1,2,…，

(30)

(31)

根據(jù)(H3)(H4)(H5)可以看出：

(32)

使用引理1可得：

(31)

根據(jù)條件(29)，式(31)右端當(dāng)t→∞時(shí)為負(fù)，這與w(t)>0矛盾。命題得證。

2 例子

例1 考慮方程：

(32)

不難驗(yàn)證條件(H2)(H3)(H5)滿足，取L=1易看出(H4)滿足。

所以條件(5)被滿足。又因?yàn)椋?/p>

根據(jù)定理3得方程(32)是振動(dòng)的。

例2 考慮方程：

(33)

3 結(jié) 論

考慮的時(shí)間模上的脈沖動(dòng)力方程較以往的脈沖動(dòng)力方程更加一般化，同時(shí)還考慮了雙時(shí)滯的影響和二階項(xiàng)系數(shù)函數(shù)的脈沖問(wèn)題。定理的結(jié)果可涵蓋非時(shí)滯方程的情況并且對(duì)脈沖的影響又加以說(shuō)明，因此本文的結(jié)果是對(duì)已有定理的進(jìn)一步推廣,并且更加細(xì)致和新穎。脈沖振動(dòng)的判定準(zhǔn)則可作為橋梁、輪船甲板等材料耐受力的檢測(cè)工具，因此本文所研究的問(wèn)題又具有很好的實(shí)際應(yīng)用意義。

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(責(zé)任編輯：汪材印)

幾種常見參考文獻(xiàn)的著錄格式

一、專著

[序號(hào)]主要責(zé)任者.文獻(xiàn)題名[文獻(xiàn)類型標(biāo)識(shí)].出版地：出版者，出版年.起止頁(yè)碼.

例：[1]范琳，周紅.二語(yǔ)語(yǔ)篇閱讀推理的心理學(xué)研究[M].北京：北京大學(xué)出版社，2011:3

二、期刊文章

[序號(hào)]主要責(zé)任者.文獻(xiàn)題名[J].刊名，年，卷(期)：起止頁(yè)碼.

例：[1]魏楚元.計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)開放式實(shí)驗(yàn)教學(xué)[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2007,26(6):9-11

三、專著或文集中析出文獻(xiàn)

[序號(hào)]析出文獻(xiàn)作者.析出文獻(xiàn)題名[M]//專著或文集作者.專著或文集名.出版地：出版者，出版年：起止頁(yè)碼.

例：[1]紀(jì)珊珊.傳播學(xué)視野下的微博研究[D].合肥:安徽大學(xué)新聞傳媒學(xué)院,2011:6

四、學(xué)位論文

[序號(hào)]主要責(zé)任者.文獻(xiàn)題名[文獻(xiàn)類型標(biāo)識(shí)].存放地：大學(xué)到系部，出版者，出版年：起止頁(yè)碼.

例：[1]張茹.歌劇《趙氏孤兒》中的音樂(lè)特色[D].西安：西安音樂(lè)學(xué)院音樂(lè)系，2014:1-33

五、報(bào)紙文獻(xiàn)

[序號(hào)]主要責(zé)任者.文獻(xiàn)題名[文獻(xiàn)類型標(biāo)識(shí)].報(bào)紙名稱，年-月-日(版序)

例：[1]辛漸.2009年全國(guó)留學(xué)人數(shù)近23萬(wàn)[N].大河報(bào)，2010-06-18(3)

六、標(biāo)準(zhǔn)文獻(xiàn)

[序號(hào)]標(biāo)準(zhǔn)代號(hào).標(biāo)準(zhǔn)名稱[S].出版地：出版單位，出版年七、網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)

[序號(hào)]作者名.作品名[EB/OL].[訪問(wèn)時(shí)間,0000-00-00].網(wǎng)址

例：[1]辛苑薇.2012成新浪微博失去的一年[EB/OL]．[2016-07-11].http://www.donews.com/net

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.04.026

2017-01-21

安徽省教育廳資助項(xiàng)目(KJ2012A265; 2013zdjy151,2016tszy083);宿州學(xué)院資助項(xiàng)目(2014XJHB07；2014XJZY01；2015JB13,201610379194)。

蘆偉(1964-)，安徽宿州人，教授，研究方向：泛函微分方程。

O

A

1673-2006(2017)04-0091-07