精講多練精心輔導(dǎo)

彭江濤++劉雪梅++陳尚弟

高等代數(shù)是我院信息與計算科學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，也是中國民航大學(xué)的校級精品課程，課程歸屬信息與計算科學(xué)專業(yè).高等代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的提高事關(guān)學(xué)生的后繼課程的學(xué)習(xí)以及信息專業(yè)的發(fā)展和學(xué)生的培養(yǎng)質(zhì)量.為了提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量，高等代數(shù)課程組的教師對該課程的教學(xué)進行了改革.我們的舉措是“精講多練、精心輔導(dǎo)、學(xué)法指導(dǎo)、思想滲透、引導(dǎo)應(yīng)用”.這一舉措分三個層次.

精講多練是提高高等代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的第一層次；精心輔導(dǎo)、學(xué)法指導(dǎo)、思想滲透是第二個層次；引導(dǎo)應(yīng)用是第三個層次.

一、精講多練

課堂教學(xué)是教學(xué)活動的主戰(zhàn)場，更是傳授知識和提高能力的主要環(huán)節(jié).教師講什么、怎么講對教學(xué)質(zhì)量的提高至關(guān)重要.“精講多練”這個看似古老的教學(xué)理念和方法，我們認(rèn)為它并不過時，特別對數(shù)學(xué)專業(yè)來說，這是一個永恒的有效方法，關(guān)鍵是要處理好“精講什么”與“怎么精講”的關(guān)系，處理好“多練什么”和“如何多練”的關(guān)系.為此，我們主要采用了幾個措施.

（一）精心準(zhǔn)備、團隊協(xié)作、群策群力

要做到精講，首先要做到精心，既要精心準(zhǔn)備講課的全部內(nèi)容，又要精心選擇精講的內(nèi)容，還要精心設(shè)計講課的方式方法.我們充分發(fā)揮團隊的力量，我們的高等代數(shù)課程組共有六位教師，其中既有經(jīng)驗豐富的老教師，又有年富力強的青年教師，目前承擔(dān)高等代數(shù)課堂教學(xué)任務(wù)的是兩位年輕的教師.課程組在課程的每一章開始講解之前，進行一次教研活動，大家獻計獻策，根據(jù)自己的經(jīng)驗和對內(nèi)容的理解，共同分析課程內(nèi)容的重點和難點，確定哪些內(nèi)容需要精講，哪些只需簡講.例如，開課前代數(shù)幾何課群組六位教師集中研討，重新審定了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點、難點，教學(xué)實施方案等.主講教師重新備課，精煉授課內(nèi)容，重點剖析理論體系的來龍去脈，著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力.在不影響整個理論體系的前提下刪去部分選學(xué)內(nèi)容，省略部分較難理解的理論證明，從而壓縮部分學(xué)時.例如傳統(tǒng)的二次型標(biāo)準(zhǔn)形的教學(xué)中，用初等的配方法證明標(biāo)準(zhǔn)形的存在性，再用矩陣來表示配方法，從而實現(xiàn)二次型向標(biāo)準(zhǔn)形的轉(zhuǎn)化，在實際教學(xué)中，我們略去了初等的配方法證明，改用一個具體的例子說明，然后介紹了所謂的合同變換（即對方陣做一次初等行變換之后立即做一次相應(yīng)的初等列變換），如此調(diào)整之后使學(xué)生容易接受，且節(jié)約了一個課時的時間可以給學(xué)生來做練習(xí).以做習(xí)題的方式來掌握基礎(chǔ)知識，強化課程重點，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要過程.

（二）精選例題、深入講解、及時點評

例題對進一步深入理解概念、定義和定理有重要的作用.我們一方面對教材中的例子進行優(yōu)化，一方面精心補充新的例子，進行深入的講解，并對解題方法進行及時的點評.例如，判斷向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)，我們選擇了這樣一個例子[1]：

設(shè)向量組αi=（ai1，ai2，…，ain），i=1，2，…，n，且行列式

D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann≠0.

求證向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān).

證法一 設(shè)k1α1+k2α2+…+knαn=0，則得線性方程組

a11k1+a21k2+…+an1kn=0，a12k1+a22k2+…+an2kn=0，…a1nk1+a2nk2+…+annkn=0.

因為這個齊次方程組的系數(shù)行列式正好是D′≠0，故此方程組只有唯一的零解k1=k2=…=kn=0.

證法二 假設(shè)α1，α2，…，αn線性相關(guān)，則向量組α1，α2，…，αn中必有某個向量，不妨設(shè)αi是其余向量的線性組合，即有

αi=k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+kαn，

用-k1，…，-ki-1，-ki+1，…，-kn分別乘D的第1，…，i-1，i+1，…，n各行后，都加到第i行上，則D的第i行的元素全都變?yōu)榱?，故D=0，這與D≠0矛盾.

點評 證明一個向量組的線性無關(guān)，通常采用兩種基本方法.欲證α1，α2，…，αn線性無關(guān)，只需證明：由k1α1+k2α2+…+knαn=0，可以推出k1=k2=…=kn=0.證法一屬于這種方法.第二種是反證法，因線性相關(guān)與線性無關(guān)是兩個互相排斥的概念，故在證明這類命題時，反證法具有基本的重要性，上面證法二就屬于這種證法.當(dāng)然還可以利用向量組的等價性、極大無關(guān)組、秩等方法證明向量組的線性相關(guān)性.例如，為判斷向量空間Pn中向量組α1，α2，…，αm的線性相關(guān)性，以這些向量的分量為列做矩陣A，若A的秩小于向量組的個數(shù)m，則該向量組線性相關(guān)；若A的秩等于向量組的個數(shù)m，則該向量組線性無關(guān).

通過點評，學(xué)生能盡快地掌握解決這類問題的基本方法.有時，我們也讓學(xué)生參與解題方法的點評.

（三）精選習(xí)題、多方練習(xí)

做習(xí)題對數(shù)學(xué)專業(yè)來說就是做實驗，一方面，能檢驗學(xué)生對已學(xué)知識的掌握情況，另一方面，也能使學(xué)生進一步熟悉所掌握的知識.

目前高等代數(shù)教材中基礎(chǔ)習(xí)題過于簡單，補充題目又難度較大，學(xué)生做題的積極性不高.我們通過增加課堂練習(xí)，補充適當(dāng)?shù)牧?xí)題來促使學(xué)生思考，加強學(xué)生對理論知識的理解，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力.

二、精心輔導(dǎo)、學(xué)法指導(dǎo)、思想滲透

沒有教師的精心輔導(dǎo)和學(xué)生的刻苦學(xué)習(xí)，一切好的教學(xué)理念和教學(xué)方法對教學(xué)質(zhì)量的提高都難以產(chǎn)生好的效果.為此，我們抓住以下三個環(huán)節(jié).

（一）分組輔導(dǎo)、責(zé)任到人

理學(xué)院的信息與計算科學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計專業(yè)每一屆約有60左右名學(xué)生，我們將學(xué)生分成六組，每組約十幾人，課程組的每位教師負(fù)責(zé)輔導(dǎo)一組.每周由輔導(dǎo)教師和學(xué)生商量在一個固定的時間和地點對本組學(xué)生進行答疑和輔導(dǎo).由于每組的學(xué)生人數(shù)少，輔導(dǎo)教師能夠近距離地了解學(xué)生，并能進行有針對性和個性的輔導(dǎo)，這對課堂教學(xué)是一個極好的補充.

（二）誘導(dǎo)提問、學(xué)法指導(dǎo)

在教學(xué)和輔導(dǎo)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生不會提問題或者說所提問題質(zhì)量不高.我們在輔導(dǎo)過程中采用啟發(fā)和誘導(dǎo)的方式，逐漸引導(dǎo)學(xué)生會提問題.學(xué)生能提出好的問題，表明學(xué)生的能力獲得了提高，也說明教學(xué)質(zhì)量也有提高.例如，多項式理論部分，輔導(dǎo)過程中向?qū)W生提出了這樣的問題：“兩個互素的多項式有公共根嗎？”“不可約多項式會有重根嗎？”

另一方面，一些學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也不得當(dāng)，教師在輔導(dǎo)和答疑過程中指導(dǎo)他們?nèi)绾卫斫饽硞€概念.

（三）思想滲透、融會貫通

高等代數(shù)中的概念、定義和定理體現(xiàn)了很多的數(shù)學(xué)思想、方法論和哲學(xué)原理.通過數(shù)學(xué)思想和哲學(xué)原理的滲透，實現(xiàn)對概念和原理的深入理解和融會貫通.例如，在教學(xué)或質(zhì)疑過程中告知學(xué)生，求多項式的最大公因式的輾轉(zhuǎn)相除法與求整數(shù)的最大公因數(shù)的思想是一致的，這個方法是機械的，它們可以用計算機來實現(xiàn).這體現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)概念的辯證和統(tǒng)一.

三、引導(dǎo)應(yīng)用

應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要一環(huán).由于高等代數(shù)是基礎(chǔ)課，所用教材中大量的概念、定義和定理主要是理論推導(dǎo)，從例題到習(xí)題很少有直接的解決現(xiàn)實問題的例題和習(xí)題.這大大影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也不利于學(xué)生對基本概念的理解和基本方法的深入掌握.我們利用答疑的機會給學(xué)生補充了大量的應(yīng)用方面的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動地運用所學(xué)知識解決實際問題.

例如，在學(xué)習(xí)完線性方程組的理論之后，我們引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用線性方程組解決網(wǎng)絡(luò)流問題.當(dāng)科學(xué)家、工程師或經(jīng)濟學(xué)家研究一些數(shù)量在網(wǎng)絡(luò)中的流動時自然推導(dǎo)出方程組.例如[2]，城市規(guī)劃和交通工程人員監(jiān)控一個網(wǎng)格狀的市區(qū)道路的交通流量模式；電器工程師計算流經(jīng)電路的電流；經(jīng)濟學(xué)家分析通過分銷商和零售商的網(wǎng)絡(luò)從制造商到顧客的產(chǎn)品銷售.許多網(wǎng)絡(luò)中的方程組涉及成百上千的變量和方程.再如，在學(xué)習(xí)完線性變換和矩陣的特征值和特征向量后，學(xué)生們只知道這一理論和方法在研究線性變換和矩陣的可對角化問題中起關(guān)鍵作用，但不知道它們在概率統(tǒng)計、隨機過程、振動、機械壓力、電子系統(tǒng)、量子力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、遺傳學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域起著重要作用.我們利用答疑的時間給學(xué)生補充了下面幾個例子[3]：

美國在1940年建造的塔科馬（Tacoma）海峽橋，一開始這座橋有小的波動.許多人好奇地在這座移動的橋上駕駛汽車，大約4個月后，振動變得更大.最后這座橋落到水中，對于這座橋倒塌的解釋是：由于風(fēng)的頻率太接近這座橋的固有頻率引起的振動.而這座橋的固有頻率是橋的建筑系統(tǒng)的絕對值最小的特征值.這就是特征值對于工程師分析建筑物的結(jié)構(gòu)時非常重要的原因.

特征值也可用于檢查固體的裂縫或缺陷，當(dāng)一根梁被撞擊，它的固有頻率（特征值）能夠被聽到.如果這根梁有回響聲，那么它沒有裂縫.如果聲音遲鈍，那么這根梁有裂縫，因為裂縫或缺陷會引起特征值變化.靈敏的儀器能被用于更精確地“看見”和“聽到”特征值.

特征值在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中也有許多應(yīng)用，如，在研究進口總額與國內(nèi)總產(chǎn)值、存儲量、消費量之間的依賴關(guān)系時，首先收集數(shù)據(jù)，然后建立線性回歸分析模型，對參數(shù)進行估計.一種估計方法是主成分估計，它基于特征值和特征向量，在一定條件下主成分估計比最小二乘估計有較小的均方誤差.

這些應(yīng)用性問題的補充，不僅極大地開闊了學(xué)生的眼界，也很好地調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也增強了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的意識和能力.

四、教學(xué)管理和成績考核

嚴(yán)格的管理和合理的考核是改革取得良好效果的重要保障.

（一）加強課堂管理

為了確保學(xué)生的上課質(zhì)量，必須營造好的課堂氛圍，因此，任課教師每節(jié)課都會清查人數(shù)，強調(diào)紀(jì)律性，杜絕了遲到、早退等現(xiàn)象，很好地保證了教學(xué)的秩序.另外，通過設(shè)置一些開放性問題，增加了課堂討論環(huán)節(jié)，既活躍了課堂氣氛，又調(diào)動了學(xué)生的興趣，取得了不錯的效果.

（二）調(diào)整考核方式

高等代數(shù)課程原有考核方式是平時成績占15%，期末考試占85%.由于期末考試成績的比例過大，學(xué)生養(yǎng)成了一種平時應(yīng)付差事，期末考試前突擊復(fù)習(xí)的不良習(xí)慣，如此則達不到培養(yǎng)抽象思維能力和邏輯推理能力的目的.為了改變這種情況，高等代數(shù)課提高了平時成績和期中考試的比例，讓教師有了更多的靈活性，同時也迫使學(xué)生重視學(xué)習(xí)的連貫性，改變平時疏于學(xué)習(xí)、考前突擊的學(xué)習(xí)狀態(tài).

五、結(jié)論和改革的效果

經(jīng)過了一個學(xué)年的努力，“精講多練、精心輔導(dǎo)、加強質(zhì)疑”的改革收到了不錯的效果：

1.由于精煉了內(nèi)容，突出了重點，略去了部分煩瑣且不易理解的證明，使學(xué)生更易于接受高等代數(shù)的理論體系，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)的興趣，提高了上課效率，保持了學(xué)習(xí)的連貫性，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ).同時，由于增加了習(xí)題課的課時，使高等代數(shù)的課堂教學(xué)與學(xué)生高中階段的學(xué)習(xí)模式有了更多的相同點，因此，學(xué)生可以更快地融入課堂，更快地適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí).

2.在質(zhì)疑輔導(dǎo)環(huán)節(jié)中，代數(shù)幾何組的教師全員上崗，大大縮小了輔導(dǎo)小組的規(guī)模，更便于組織，且容易發(fā)現(xiàn)共性的問題，使學(xué)生對課堂知識理解得更加深刻，大大減小了后續(xù)的課堂教學(xué)的壓力.通過小范圍的輔導(dǎo)也容易使同組學(xué)生取長補短、互相幫助，形成良好的互動與競爭的氛圍.

3.質(zhì)疑輔導(dǎo)一方面可以幫助后進學(xué)生，使其進步，更重要的一方面是可以發(fā)現(xiàn)對數(shù)學(xué)有興趣、有數(shù)學(xué)頭腦的好苗子，可以幫助他們建立起信心，短期內(nèi)可以培養(yǎng)他們參加數(shù)學(xué)競賽，將來可以培養(yǎng)他們考研，甚至從事專門的數(shù)學(xué)工作.在2014年10月，我們選派了2013級的10名學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)組天津賽區(qū)的比賽，其中有兩人獲天津市二等獎，并且有一人是我校所有參賽學(xué)生中成績最好的.特別值得一提的是在參賽的時候這些學(xué)生還沒有學(xué)完高等代數(shù)的課程.

下面通過近三屆學(xué)生的高等代數(shù)成績對比，來看一看改革的效果.我們從年級人數(shù)、及格率、平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差幾個方面來總體分析.

從高等代數(shù)（1）的成績對比來看，參加了質(zhì)疑輔導(dǎo)的2013級學(xué)生及格率要高于2011級和2012級學(xué)生，平均成績基本持平，而標(biāo)準(zhǔn)差則明顯低于前兩個年級.特別值得一提的是2013級的學(xué)生人數(shù)比前兩個年級的要多，所以取得這個效果可以說是很好的.

從高等代數(shù)（2）的成績對比來看，參加了質(zhì)疑輔導(dǎo)的2013級學(xué)生及格率、平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差與2011級基本持平，但是與2012級學(xué)生比較則處于較低的水平.分析原因如下：1.2012級學(xué)生的高等代數(shù)（2）期末試題難度偏小，導(dǎo)致整體成績較高，而其他兩個年級的試題難度相當(dāng)，比較能反映學(xué)生狀況；2.2013級學(xué)生有兩個學(xué)生缺考（沒有參加期末考試），其成績未統(tǒng)計在內(nèi)，所以2013級的期末成績未完全反映全體學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況；3.三個年級都多少出現(xiàn)了人員流失的情況（轉(zhuǎn)專業(yè)），而且流失的學(xué)生多是成績較好的，因此對整個年級的總評成績有較大影響，特別是在2013級流失學(xué)生大大多于2011級的情況下仍然維持了一個及格率基本持平、平均成績基本持平、標(biāo)準(zhǔn)差基本持平的狀況，足見改革的效果是不錯的.

盡管“精講多練、精心輔導(dǎo)、加強質(zhì)疑”的改革取得了不錯的成績，但是我們還是在其中發(fā)現(xiàn)了一些問題：有學(xué)生不能正確認(rèn)識質(zhì)疑輔導(dǎo)，認(rèn)為是給其增加負(fù)擔(dān)；有學(xué)生對質(zhì)疑輔導(dǎo)形成依賴，忽視課堂學(xué)習(xí)；學(xué)校轉(zhuǎn)專業(yè)的政策造成了優(yōu)秀學(xué)生的流失，同時也給未轉(zhuǎn)專業(yè)的學(xué)生的心理造成了一定的負(fù)擔(dān)，影響了學(xué)習(xí)的狀態(tài).如何解決上述問題還是值得我們進一步探討的.

【參考文獻】

[1]李師正，等.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]D C Lay.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[3]丘維聲.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.