貝葉斯公式的推廣

王彩琴

【摘要】貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，在概率論的計(jì)算中起到很重要的作用.本文舉例說(shuō)明了推廣后的公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型比原來(lái)的公式更廣.從而使我們更好地了解到貝葉斯公式存在于我們生活的各個(gè)方面，貝葉斯公式在我們的日常生活中非常重要.

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式；概率；推廣

一、貝葉斯公式的應(yīng)用

（一）貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應(yīng)用

例1 某地區(qū)肝癌的發(fā)病率為0.0 004，先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查.醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存在錯(cuò)誤的.已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性（有?。?，而沒(méi)有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無(wú)?。?現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，問(wèn)其真患肝癌的概率是多少？

解 記B為事件“被檢查者患有肝癌”，A為事件“檢查結(jié)果為陽(yáng)性”，由題設(shè)知：

P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，

P（A|B）=0.99，P（A|B）=0.001.

我們現(xiàn)在的目的是求P（B|A），由貝葉斯公式得

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.0004×0.990.0004×0.99+0.9996×0.001=0.284.

這表明，在檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的人中，真患肝癌的人不到30%.進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵，在實(shí)際中由于技術(shù)和操作等種種原因，降低錯(cuò)檢的概率有時(shí)很困難的.所以，在實(shí)際中，常采用復(fù)查的方法來(lái)減少錯(cuò)誤率，或用另一些簡(jiǎn)單易行的輔助方法先進(jìn)行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對(duì)被懷疑的對(duì)象進(jìn)行檢查，此時(shí)被懷疑的對(duì)象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高了，譬如，對(duì)首次檢查的人群再進(jìn)行復(fù)查，此時(shí)P（B）=0284，這時(shí)再用貝葉斯公式計(jì)算得

P（B|A）=0.284×0.990.284×0.99+0.716×0.001=0.997.

這就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了.

（二）貝葉斯公式在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

例2 為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質(zhì)量和性能，國(guó)外出版一種專門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質(zhì)量數(shù)據(jù)的舊車雜志.比如，有個(gè)買主想買某種型號(hào)的舊車，他從舊車雜志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%的傳動(dòng)裝置有質(zhì)量問(wèn)題.除了從舊車雜志上尋找有關(guān)舊車質(zhì)量的信息外，在舊車市場(chǎng)上買舊車時(shí)還需要有懂車的內(nèi)行來(lái)幫忙.比如，可以找會(huì)修車的朋友幫忙開(kāi)一開(kāi)，檢查各主要部件的質(zhì)量.因?yàn)榕f車雜志上給出的是某種車輛質(zhì)量的平均信息，就要買的某一輛車來(lái)講可能是好的傳動(dòng)裝置，也可能會(huì)有問(wèn)題.比較常見(jiàn)的方法是花一點(diǎn)錢請(qǐng)個(gè)汽車修理工幫忙開(kāi)幾圈，請(qǐng)他幫助判斷一下傳動(dòng)裝置和其他部件的質(zhì)量.當(dāng)然，盡管汽車修理工很有經(jīng)驗(yàn)，也難免有判斷不準(zhǔn)的時(shí)候.假定從過(guò)去的記錄知道某個(gè)修理工對(duì)于傳動(dòng)裝置有問(wèn)題的車，其中90%他可以判斷出有問(wèn)題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問(wèn)題.對(duì)于傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會(huì)判斷沒(méi)問(wèn)題，另外的20%他會(huì)認(rèn)為有問(wèn)題，即發(fā)生判斷的錯(cuò)誤.根據(jù)這些已知信息，請(qǐng)你幫助買主計(jì)算如下問(wèn)題：

（1）若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動(dòng)裝置有問(wèn)題的車的概率是多少？

（2）若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置有問(wèn)題”時(shí)，該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率是多少？

（3）當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題”時(shí)，而該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率是多少？

解 第（1）問(wèn)是簡(jiǎn)單的，即有30%的可能性買到一輛傳動(dòng)裝置有問(wèn)題的舊車，我們?cè)谶@里只利用舊車雜志的信息.

第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)是貝葉斯估計(jì)或者利用貝葉斯公式進(jìn)行決策的問(wèn)題.

（2）

我們不妨令：

A1=實(shí)際有問(wèn)題，A2=實(shí)際沒(méi)問(wèn)題，

B1=修理工判斷“有問(wèn)題”，B2=修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”.

則可將貝葉斯公式改寫成：

P（實(shí)際有問(wèn)題|修理工判斷“有問(wèn)題”）

=P（A1）P（B1|A1）P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）.

根據(jù)已知條件，計(jì)算式中各項(xiàng)的概率分別為：

P（A1）=P（實(shí)際有問(wèn)題）=0.3，

P（A2）=P（實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.7，

P（B1|A1）=P（修理工判斷“有問(wèn)題”|實(shí)際有問(wèn)題）=0.9，

P（B1|A2）=P（修理工判斷“有問(wèn)題”|實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.2，

P（B2|A1）=P（修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”|實(shí)際有問(wèn)題）=0.1，

P（B2|A2）=P（修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”|實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.8，

代入上式

P（實(shí)際有問(wèn)題|修理工判斷“有問(wèn)題”）

=0.3×0.90.3×0.9+0.7×0.2=0.66.

這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“有問(wèn)題”時(shí)，實(shí)際有問(wèn)題的概率為0.66，即修理工的判斷有問(wèn)題使得真有問(wèn)題的概率由0.3增長(zhǎng)到0.66.

（3）P（實(shí)際有問(wèn)題|修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”）

=P（A1）P（B2|A1）P（A1）P（B2|A1）+P（A2）P（B2|A2）

=0.3×0.10.3×0.1+0.7×0.8=0.05.

這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“沒(méi)問(wèn)題”時(shí)，實(shí)際有問(wèn)題的概率為0.05，即修理工的判斷沒(méi)問(wèn)題而實(shí)際上有問(wèn)題的概率由0.3下降到0.05.