判斷幾種不同的初等函數(shù)的方法研究

石又尹

摘要：初等函數(shù)是最常見的一種函數(shù)類型，它不僅包括了一部分常見的簡單函數(shù)，同時(shí)還包括了由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合所得到的函數(shù)。在中學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我對不同初等函數(shù)的判斷方法是非常基本的，本文主要從初等函數(shù)的概念出發(fā)，立足初等函數(shù)的判斷，也對幾種不同的初等函數(shù)的方法進(jìn)行研究，為相關(guān)的學(xué)習(xí)提供參考。

關(guān)鍵詞：判斷；初等函數(shù)；方法；不同

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們所接觸到的函授基本上都是初等函數(shù)，因此，怎么樣對一個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷，確定它是否是初等函數(shù)不僅是初等函數(shù)學(xué)習(xí)的最基本內(nèi)容，同時(shí)也是為我們大學(xué)進(jìn)行高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下的扎實(shí)基礎(chǔ)。對于初中函數(shù)的判斷來說，它有一定的方法和推論。如果能夠?qū)@些內(nèi)容進(jìn)行掌握，就能夠幫助我們更好地進(jìn)行這方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

一、初等函數(shù)的概述

初等函數(shù)是最常用的一類函數(shù)，它包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)等，同時(shí)還包括了由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。初等函數(shù)是中學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，常見的初等函數(shù)如下：

①常數(shù)函數(shù)：對定義域中的一切x對應(yīng)的函數(shù)值都取某個(gè)固定常數(shù)的函數(shù)。

②冪函數(shù)：形如y=xa的函數(shù)，式中a為不等于零的常數(shù)。

③指數(shù)函數(shù)：形如y=ax的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)。

④對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作y=loga x，式中a為不等于1的正常數(shù).指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間成立關(guān)系式，loga ax=x。

⑤三角函數(shù)：即正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tgx，余切函數(shù)y=ctgx，正割函數(shù)y=secx，余割函數(shù)y=cscx。

⑥反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)y=arc sinx，反余弦函數(shù) y=arc cosx（-1≤x≤1，0≤y≤π），反正切函數(shù) y=arc tgx，反余切函數(shù)y=arc ctgx（-∞

二、初等函數(shù)的判斷意義

在中學(xué)，關(guān)于初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，很重要的一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容是學(xué)會(huì)如何對初等函數(shù)進(jìn)行判斷，也就是說，要學(xué)會(huì)掌握方法，判斷一個(gè)函數(shù)是否是初等函數(shù)。如果要運(yùn)用方法對一個(gè)函數(shù)是否是初等函數(shù)進(jìn)行判斷，這是要對初等函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行合理的掌握，同時(shí)還要掌握一定的方法，幫助我們快速地進(jìn)行判斷。任何的初等函數(shù)，在它自己的定義區(qū)間上都是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，如果在大學(xué)中進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，就會(huì)知道連續(xù)函數(shù)的概念是非常重要的，它在微分學(xué)、積分學(xué)、常微分方程、無窮級數(shù)及復(fù)變函數(shù)中出現(xiàn)的頻率都是非常高的，因此在中學(xué)階段學(xué)會(huì)對初等函數(shù)進(jìn)行判斷是非常重要的，也是基礎(chǔ)內(nèi)容[1]。

三、判斷幾種不同的初等函數(shù)的方法研究

1、用定義法來判斷已知的函數(shù)是否是初等函數(shù)

從初等函數(shù)的定義出發(fā)，利用定義來對一個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷，是初等函數(shù)判斷方法當(dāng)中最基本的，也是檢驗(yàn)我們對初等函數(shù)概念掌握情況的一個(gè)重要方式。從初等函數(shù)的定義出發(fā)，我們可以知道，有常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本的初等函數(shù)通過有限次四則運(yùn)算或者函數(shù)的復(fù)合所得到的函數(shù)也是初等函數(shù)，并且復(fù)合型的初等函數(shù)是考試中最?？嫉念}目。在對這類型題目進(jìn)行解答的時(shí)候，首先要對復(fù)合的函數(shù)進(jìn)行合理的結(jié)構(gòu)明晰，要清楚地知道它是有哪些函數(shù)進(jìn)行復(fù)合所得到的，這些參與復(fù)合的函數(shù)是否是初等函數(shù)，同時(shí)還要對這個(gè)復(fù)合所得到的函數(shù)是否有意義進(jìn)行判斷，如果它是沒有意義的，那么它就不是初等函數(shù)。此外，還要掌握一些基本的非初等函數(shù)類型，例如高斯函數(shù)、狄里克雷函數(shù)和黎曼函數(shù)。

2、對分段函數(shù)是否是初等函數(shù)進(jìn)行判斷

分段函數(shù)也是高中函數(shù)學(xué)些常見的內(nèi)容，那么分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？如果不是，怎么樣的分段函數(shù)才是初等函數(shù)，也是同學(xué)們要掌握的知識(shí)。這個(gè)時(shí)候我們就需要掌握兩個(gè)基本的推論，第一個(gè)推論是初等函數(shù)的絕對值是初等函數(shù)，第二個(gè)推論，是基本的初等函數(shù)，它的絕對值函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)也是初等函數(shù)。簡單點(diǎn)來說，就是我們對分布函數(shù)進(jìn)行判斷的時(shí)候，可以采用變形的方式把它轉(zhuǎn)換成含有基本初等函數(shù)，絕對值函數(shù)有現(xiàn)身四則運(yùn)算或者復(fù)合運(yùn)算法一個(gè)具體的表達(dá)式，然后再利用上面的這兩個(gè)推論來進(jìn)行判斷，確定它是否是初等函數(shù)[2]。

3、其它的判斷方法拓展

除了使用上述兩種方法來對初等函數(shù)進(jìn)行判斷之外，還可利用連續(xù)性來進(jìn)行判斷，如果一個(gè)分段函數(shù)在它的定義上是連續(xù)的，那么它就是初等函數(shù)，反之則不是初等函數(shù)。由于在中學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的學(xué)習(xí)是非常有限的，這是大學(xué)高等數(shù)學(xué)所重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)性學(xué)科《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，因此對于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以進(jìn)行有選擇性的開展，在有條件的情況下可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和了解，這樣才能夠更好的幫助我們對初等函數(shù)進(jìn)行判斷。

四、結(jié)語

綜上所述，函數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，也是非常重要的一部分內(nèi)容，在中學(xué)我們所接觸到的函數(shù)都是初等函數(shù)，但是如何對函數(shù)進(jìn)行判斷確定它是否是初等函數(shù)是非常重要的，是檢驗(yàn)我們對初等函數(shù)的基本性質(zhì)是否掌握得當(dāng)?shù)囊粋€(gè)有效途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐俊芳.初等函數(shù)的判定方法[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，4（5）：19-20

[2]盛天鈞，馮杰.分段函數(shù)為初等函數(shù)的判定定理[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào)，2001，14（2）：69-72