數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的幾何直觀教學(xué)

廣東韶關(guān)市仁化縣教育局教研室 凌衛(wèi)文

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的幾何直觀教學(xué)

廣東韶關(guān)市仁化縣教育局教研室 凌衛(wèi)文

什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？目前沒有準確統(tǒng)一的定義，但許多專家學(xué)者從數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)出發(fā)，認為應(yīng)為抽象、推理、模型思想。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的幾何直觀教學(xué)怎樣實施？如何在幾何直觀教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 幾何直觀教學(xué) 契合點

什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？目前沒有準確統(tǒng)一的定義，但許多專家學(xué)者從數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)出發(fā)，認為應(yīng)為抽象、推理、模型思想。幾何直觀則主要是利用圖形描述和分析問題，它有助于探索解決問題的思路，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的幾何直觀教學(xué)怎樣實施？如何在幾何直觀教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？筆者認為要做好以下三點。

一、關(guān)注數(shù)學(xué)畫的表征歸納，培養(yǎng)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實材料進行加工，提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達進而形成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象思想是一般化的思想方法，對于培養(yǎng)人的抽象思維能力和理性精神具有重要意義。學(xué)生能夠“畫數(shù)學(xué)”，需要在幾何直觀起點階段經(jīng)歷兩次抽象過程。第一次抽象：具體情境到幾何圖案的抽象。數(shù)學(xué)中的抽象與直觀總是相對的，對第一次接觸這種直觀方式的學(xué)生來說，用幾何圖案描述情境更為抽象。此階段，幾何直觀首要的任務(wù)是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)如何用圓、三角形等簡單的幾何圖案一一對應(yīng)地去替代實物，畫出所述情境的示意圖，在替代過程中去發(fā)展抽象能力。第二次抽象：示意圖到線段圖的抽象。由于學(xué)生個體生活經(jīng)驗和認知水平的差異，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)后，學(xué)生已進入自由表征階段，利用圖形描述問題呈現(xiàn)出鮮明的開放性特征：表征符號個性化、表達形式多樣化。實物圖、示意圖、線段圖等不同水平層次的表征兼而有之。如：

案例1：桃子有2個，蘋果的個數(shù)是桃子的4倍。蘋果有幾個？（畫一畫）

學(xué)生的數(shù)學(xué)畫如下：

站在問題解決的視角下，這些數(shù)學(xué)畫發(fā)揮的作用是一樣的，沒有優(yōu)劣之分。但從數(shù)學(xué)的簡約性、解決復(fù)雜問題的優(yōu)越性、數(shù)學(xué)教育的目的等維度去思考，線段圖有著其他直觀圖形無法比擬的優(yōu)勢。在此階段，需要教師引導(dǎo)學(xué)生對這些數(shù)學(xué)畫進行適度的數(shù)學(xué)抽象，通過整理、比較、分析、歸納，幫助學(xué)生從形與量的具象表達聚焦到量量關(guān)系的抽象表達上，這對發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)有益處。

圖2

上述教學(xué)可做如下引導(dǎo)：（1）你們認為這些數(shù)學(xué)畫怎樣？從這些圖中你能看出桃子和蘋果的關(guān)系嗎？（2）這些畫中，什么一樣，什么不一樣？（3）哪幾幅圖比較簡潔？哪幅圖最簡潔？（4）如果再畫一次，你會選哪幅數(shù)學(xué)畫？（5）畫一畫：小鹿有4頭，斑馬的匹數(shù)是小鹿的5倍。斑馬有多少匹？教師的抽絲剝繭，讓學(xué)生感受到了線段圖的簡潔，逐步建立“以1代多”的表象，經(jīng)歷具體到抽象的過程，幾何直觀教學(xué)與抽象能力的培養(yǎng)得到恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合。

二、聚焦解題思路的分享交流，發(fā)展推理能力

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，演繹推理和合情推理都是不可或缺的。培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。幾何直觀教學(xué)中，讓學(xué)生借助圖形探明解決問題的思路后，有條理地、清楚地表達自己的思考過程和結(jié)果就是一種很好的推理訓(xùn)練。案例2：書店運來一批文藝書，售出后，還剩1350

本。這批文藝書共有多少本？

一生畫圖，解答如下：

很多學(xué)生不理解，該生邊指著線段圖邊解說：這條線段表示的是這批文藝書。售出就是把文藝書平均分成了8份，售出了其中的5份，那就還剩3份。3份是1350本，1份就是450本。求這批文藝書共有多少本，就是求8份是多少，所以用450×8=3600。這個解說過程其實就是一個演繹推理的過程。

案例3：一場體育比賽中，一共有10名運動員。如果每兩人握手一次，共握幾次手？

學(xué)生出示上圖，分享道：每兩人握手一次，2名運動員握手1次；3名運動員握手2+1=3次；4名運動員，握手3+2+ 1=6次。我發(fā)現(xiàn)這些加法算式有規(guī)律，后面的數(shù)總比前面的數(shù)少1，最大的數(shù)比人數(shù)少1，最小的數(shù)是1。所以6名運動員握手次數(shù)就可能是5+4+3+2+1=15次。這是合情推理中的歸納推理，學(xué)生的探索過程就是推理過程。

幾何直觀教學(xué)中還蘊藏著其他豐富的推理教學(xué)素材，如圖1，∠B=150°-105°=45°，用的是關(guān)系推理；圖2，不通分利用數(shù)軸比較分數(shù)的大小，解說需用到演繹推理中的三段論等。可以說，每一次思路的解說都是一次推理的訓(xùn)練，教師應(yīng)增強學(xué)生分享意識，積極提供交流平臺，幫助學(xué)生發(fā)展推理能力。需要特別注意的是：幾何直觀強調(diào)學(xué)生的頓悟與直覺，對這類快速獲得答案的學(xué)生更應(yīng)提供分享交流的機會，促使他們把幾何直覺轉(zhuǎn)化為邏輯推理能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)精神。

三、巧用圖形建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義地說，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模即“把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型提供的解答來解釋現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)知識的這一運用過程也就是數(shù)學(xué)建模”。數(shù)學(xué)的模型思想需要通過建模教學(xué)來逐步滲透，使學(xué)生不斷感悟。幾何圖形是推動思維展開的基礎(chǔ)，也是獲得數(shù)學(xué)深度理解的依托，因此在幾何直觀教學(xué)中，可抓住恰當(dāng)?shù)臅r機，巧用直觀圖形完成數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。

案例4：10以內(nèi)加減法學(xué)習(xí)完后從本質(zhì)上進行減法模型的建構(gòu)

1.出示情景問題。（畫一畫，算一算）

（1）班級圖書角有8本《童話故事》，借走了6本，還剩多少本？

（2）草地上原來有10只鴨子，現(xiàn)在只有7只。有多少只鴨子到河里去了？

2.呈現(xiàn)學(xué)生的示意圖、算式，利用信息技術(shù)手段完成示意圖的抽象。

3.這兩題都用減法計算，比一比，這兩幅圖有哪些地方是相同的？

4.看圖說一說，什么情況用減法計算？（已知總數(shù)和部分數(shù)，求另一部分數(shù)）

圖形語言較之其他數(shù)學(xué)語言更為直觀、明了，更有利于學(xué)生比較、分析、綜合。在學(xué)生示意圖的基礎(chǔ)上，教師利用信息技術(shù)手段去除示意圖中非本質(zhì)的屬性，逐步抽象成只表達數(shù)量關(guān)系的色條圖。通過觀察色條圖，學(xué)生明白了“知道總數(shù)和部分數(shù)，求另一部分數(shù)用減法計算，用總數(shù)-部分數(shù)=另一部分數(shù)”。減法的本質(zhì)模型得以順利構(gòu)建。

此外，分數(shù)、小數(shù)模型，分數(shù)的加減法、乘除法的計算模型，基本平面圖形的面積計算模型等，都可在幾何直觀教學(xué)的基礎(chǔ)上完成抽象建構(gòu)。

數(shù)學(xué)十大核心概念在本質(zhì)上都不同程度地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模的基本思想，幾何直觀也不例外。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，在幾何直觀教學(xué)時挖掘契合點，精心設(shè)計教學(xué)過程，抓住契機一一落實，這樣，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育質(zhì)的跨越。