與二次函數(shù)有關(guān)的常規(guī)壓軸題教學(xué)設(shè)計

云南省楚雄第一中學(xué) 石慧分

教學(xué)內(nèi)容分析：

1.函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一,它不僅是初中代數(shù)內(nèi)容的引申,更為高中學(xué)習(xí)一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎(chǔ)。

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,對學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)的形成起推動作用;

3.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式等知識的聯(lián)系,使學(xué)生能更好地將所學(xué)知識融會貫通.

學(xué)情分析：

1.初三學(xué)生在新課的學(xué)習(xí)中已掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)等基本知識;

2.學(xué)生的分析、理解能力較學(xué)習(xí)新課時有明顯提高;

3.學(xué)生具有一定的自主探究和合作學(xué)習(xí)能力。

總體設(shè)計思路：

本節(jié)課試圖以一個例題為引，把每小題分拆開來，逐層分析，層層遞進(jìn)，學(xué)習(xí)“庖丁解?！钡姆椒?，讓學(xué)生深入到每一小題中去，親自體驗，再總結(jié)出相應(yīng)的解題規(guī)律，從而揭開壓軸題的神秘面紗，打消學(xué)生的畏難心理。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與能力：掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)符號之間的關(guān)系。

2.過程與方法：能根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的解析式；使學(xué)生掌握類比、轉(zhuǎn)化等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，形成既能自主探究，又能合作探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

3.情感態(tài)度與價值觀：在教學(xué)中滲透函數(shù)美與函數(shù)數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在教學(xué)活動中學(xué)會與人相處，并體驗成功的喜悅。

教學(xué)重點：

根據(jù)不同已知條件，正確求出二次函數(shù)的解析式；熟悉二次函數(shù)的圖像性質(zhì)。

教學(xué)難點：

在綜合題目中，熟練靈活地運(yùn)用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決相關(guān)問題，體會數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)的方法：

啟發(fā)式教學(xué)、探究式學(xué)習(xí)。

教學(xué)過程設(shè)計：

一、直接拋出問題，引入課堂

問題：如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，經(jīng)過A、B的拋物線與x軸的另一個交點為C（1,0）

（1）求拋物線關(guān)系式；

（2）在拋物線對稱軸上是存在一點P，使△PBC周長最??？若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）在線段AB上是否存在點Q，使以A、C、Q為頂點的三角形與△AOB相似？ 若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

師：此題三個小題，每一小題都可單獨(dú)成題。那么，解決每一小題都需要哪些知識點？解決思路是什么？

下面我們一一來解決這些問題。

生：根據(jù)老師的提問，思考解決第一小題所需的知識及思路，并回憶二次函數(shù)解析式的幾種形式。

二、解決問題

（一）解決第一問：求拋物線的關(guān)系式

1.已知二次函數(shù)與x軸交于 （1，0），（3,0），與y軸交于（0,3），求拋物線關(guān)系式。

2.已知二次函數(shù)頂點坐標(biāo)是（1，1），點（3,9）在拋物線上，求拋物線關(guān)系式。

3.已知對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過B（2，0）、C（0，4）兩點，求拋物線的關(guān)系式

師：解決以上三個小題，每個小題所需要的知識和方法有什么異同？

生：動手做題，并思考老師的提問，回答問題。

師生小結(jié)：待定系數(shù)法求拋物線的關(guān)系式常規(guī)情況

1.已知3點，關(guān)系式一般設(shè)為：一般式，列三元方程組

2.已知2點+對稱軸，關(guān)系式一般設(shè)為：頂點式，列二元方程組；

3.已知頂點+1點，關(guān)系式一般設(shè)為：頂點式，列一元方程。

解決問題：如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，經(jīng)過A、B的拋物線與x軸的另一個交點為C（1,0）

（1）求拋物線關(guān)系式；

師：問1：這個題中已知幾個點？如何求點坐標(biāo)？

問2：拋物線關(guān)系式設(shè)為哪種形式？

生：根據(jù)教師提示及所學(xué)方法，解決此題。

師生：做題過程板書于黑板上。

（二）解決第二問：二次函數(shù)中面積、線段最值問題

1.如圖,點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值 .

師：（1）解決此題你有幾種方法？

（2）你的解題步驟是什么？

（3）大家分組討論。

生：用自己的方法嘗試解決此題，遇到困難時小組一起討論。

設(shè)計意圖：教會學(xué)生做完題目后要學(xué)會總結(jié)規(guī)律，內(nèi)化成自己的方法。

師生小結(jié)：二次函數(shù)中求面積、線段最值問題的思路

1.求面積：

第一步：先把多邊形切割為幾個易計算面積的三角形或特殊四邊形；

第二步：把面積用含假設(shè)未知數(shù)的式子表示出來；

第三步：利用函數(shù)性質(zhì)求出最值及所求點坐標(biāo)。

.問題解決：

（2）在拋物線對稱軸上是存在一點P，使△PBC周長最小？若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

師：（1）此題和上一題有何異同？

（2）你的解題步驟是什么？

（3）大家分組討論。

生：用自己的方法嘗試解決此題，遇到困難時小組一起討論。

師生：做題過程板書于黑板上。

師生小結(jié)：二次函數(shù)中求面積、線段最值問題的思路

2.求線段：

第一步：由 “兩點之間，線段最短”，利用軸對稱找到所求點；

第二步：求出點所在直線關(guān)系式，用“求交點坐標(biāo)”方法求出點的坐標(biāo)。

（三）解決第三問：二次函數(shù)中直角三角形、等腰三角形、相似三角形存在問題

（3）在線段AB上是否存在點Q，使以A、C、Q為頂點的三角形與△AOB相似？ 若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

師：相似三角形的判定有哪些？

生：回答出三角形相似的所有判定定理

師：如何理解定理中的“對應(yīng)”二字？本題中，對應(yīng)邊角定了嗎？

生：發(fā)現(xiàn)題中邊角并沒有對應(yīng)，想到分類討論。

師：你是用哪條判定定理來做此題的？

生：想到此題中三角形的特殊性，想到了兩種思路：直角三角形判定的思路和一般三角形相似的思路。

師：請用你的方法完成此題。

生：立即完成此題。

師：各組選舉代表，分別總結(jié)自己的方法。哪種方法可操作性更強(qiáng)？

生：各組討論，發(fā)現(xiàn)并不是所有的思路都有可操作性。

師生：做題過程板書于黑板上。

師生小結(jié)：