基于最小二乘法的LabVIEW擬合橋梁撓曲線研究

朱定國(guó)

(上海市水利工程設(shè)計(jì)研究院，上海市 200061)

0 引言

橋梁在外荷載作用下的變形、結(jié)構(gòu)材料的變異等都能夠通過(guò)撓度的變化表現(xiàn)出來(lái)，撓度是橋梁健康狀態(tài)最直觀、有效的參數(shù)之一，所以橋梁撓度及線形測(cè)量的精度、準(zhǔn)確性及測(cè)試效率一直是業(yè)界所關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。

目前橋梁撓度測(cè)量一般采用如下方法[1-5]：（1）利用百分表和千分表測(cè)量撓度。此法固定底座安裝不易，數(shù)據(jù)采集困難，效率較低。（2）GPS撓度觀測(cè)。此法系統(tǒng)價(jià)格昂貴，測(cè)量精度低，測(cè)點(diǎn)少，受干擾大。（3）利用水準(zhǔn)儀進(jìn)行撓度觀測(cè)。此法誤差因素多，測(cè)量速度慢耗時(shí)長(zhǎng)，儀器操作復(fù)雜，而且需要封橋，時(shí)間長(zhǎng)，效率較低。（4）用加速度計(jì)測(cè)量橋梁加速度，通過(guò)兩次積分得撓度。此法難以選擇合適的加速度計(jì)，存在較大的幅值誤差，安裝布線困難，難以進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。（5）采用傾角儀測(cè)量撓度。此法精度不夠，反算結(jié)構(gòu)撓度較慢，使用范圍較窄。（6）利用連通管方法測(cè)量撓度。此法測(cè)量環(huán)境有限制，液面易揮發(fā)和污染。

綜上所述，我們可以看到橋梁撓度測(cè)量的方法有很多，但是每種方法都有其缺點(diǎn)，要么操作復(fù)雜耗時(shí)長(zhǎng)，要么精度效率低，要么價(jià)格昂貴，所以為了橋梁健康監(jiān)測(cè)與檢測(cè)的需要，有必要設(shè)計(jì)一種基于光纖光柵傳感器的撓度測(cè)量方法，達(dá)到實(shí)時(shí)長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)橋梁撓曲線的目的。本文介紹了基于平均曲率采用最小二乘法分跨擬合橋梁撓曲線測(cè)試方法的原理、算法，推導(dǎo)了相應(yīng)的公式，介紹并應(yīng)用LabVIEW編寫(xiě)了相應(yīng)的專業(yè)軟件，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了其具有很高的精度?？梢詾橥悩蛄旱姆治鲅芯?、監(jiān)測(cè)評(píng)估提供參考依據(jù)。

1 橋梁的應(yīng)變、曲率和撓度的關(guān)系

曲率是度量梁彎曲變形的程度，用k表示。由材料力學(xué)的知識(shí)，曲率等于曲率半徑的倒數(shù)即：

由材料力學(xué)還知某點(diǎn)線應(yīng)變：

其中y為該點(diǎn)到中性軸的距離。

由上面兩式可得：

對(duì)于同一橫截面曲率是常數(shù)，由式（3）可知曲率k與線應(yīng)變?chǔ)懦删€性關(guān)系，知道某點(diǎn)的線應(yīng)變?chǔ)乓约霸擖c(diǎn)到中性軸的距離y就能得到該點(diǎn)的曲率，進(jìn)而由很多個(gè)點(diǎn)的曲率可以得到曲率函數(shù)，且曲率函數(shù)積分兩次后就是撓曲線，這樣就可以利用曲率建立起應(yīng)變與撓度的關(guān)系。

2 平均曲率

由式（3）可知要想求出傳感器所在截面的曲率必需先測(cè)出傳感器到中性軸的距離y。而這一距離是很難精確測(cè)量的，所以本文擬采用平均曲率的方法加以解決。即將兩個(gè)FBG傳感器安裝在與中性軸平行的位置。下面給出了3種情況：圖1(a)為FBG傳感器都位于梁的中性軸下面，圖1(b)為分別位于上下方，圖1(c)為都位于上方。

如圖1(a)所示，測(cè)點(diǎn)1、2的單元曲率為：

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

如圖1（b）所示，測(cè)點(diǎn)1、2的單元曲率為：

圖1 單元中FBG安裝示意圖

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

如圖1（c）所示，測(cè)點(diǎn)1、2的單元曲率為：

由上兩式可得此單元的平均曲率為：

由式（4）、（5）、（6）可知單元的平均曲率與梁的中性軸的位置無(wú)關(guān)，只要將兩個(gè)傳感器平行于中性軸安裝，此單元的平均曲率可統(tǒng)一表示為：

3 最小二乘法曲線擬合原理

最常見(jiàn)的最小二乘法擬合曲線模式是多項(xiàng)式：

由式(7)可知，通過(guò)將兩個(gè)FBG傳感器平行于中性軸安裝就可以測(cè)得此單元的曲率ki，然后沿橋梁的縱向安裝若干組這樣的傳感器就可以得到一組測(cè)量數(shù)據(jù)（xi，ki），然后通過(guò)最小二乘法就可以擬合出曲率曲線了。

4 分跨擬合撓曲線原理

假設(shè)待測(cè)橋梁有n跨，基函數(shù)取為：

則第k（1≤k≤n）跨的曲率函數(shù)為：

k跨內(nèi)各單元曲率由式（7）得到。

將式（9）積分兩次即可得到撓曲線：

C1、C2為積分常數(shù)，可由左右兩端支座沉降求得，如左端沉降為Δ左，右端沉降為Δ右，設(shè)跨長(zhǎng)為l，則：

求得每跨撓曲線后，疊加即可得到整個(gè)待測(cè)橋梁的撓曲線：

5 數(shù)值模擬驗(yàn)證

本文采用LabVIEW軟件作為工具編寫(xiě)了根據(jù)測(cè)得的曲率用最小二乘法擬合橋梁撓曲線的軟件。為了證明此方法的可行性與準(zhǔn)確性，這里對(duì)簡(jiǎn)支梁在多種不同荷載作用下的撓曲線進(jìn)行了數(shù)值模擬。模擬中根據(jù)各截面處的平均曲率，運(yùn)用根據(jù)最小二乘法所編寫(xiě)的LabVIEW程序擬合了撓曲線，并且將擬合值與理論值進(jìn)行了比較，得到了相對(duì)誤差。

通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)精度對(duì)跨度不敏感，但是精度對(duì)傳感器安裝截面?zhèn)€數(shù)較敏感，為了達(dá)到良好的精度，截面?zhèn)€數(shù)取多為宜，本次模擬假設(shè)簡(jiǎn)支梁跨度為50 m，每隔5 m安裝一組傳感器，即以9個(gè)截面安裝傳感器。

5.1 受跨中集中荷載

跨度l=50 m的簡(jiǎn)支梁受跨中集中荷載作用，P=300 kN，截面特性 EI=3.5×1010N·m2，如圖 2所示：

圖2 簡(jiǎn)支梁受跨中集中荷載

根據(jù)理論計(jì)算，圖2所示結(jié)構(gòu)撓曲線和曲率表達(dá)式為：

由式(16)求得結(jié)構(gòu)的理論曲率值，然后根據(jù)LabVIEW編寫(xiě)的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結(jié)構(gòu)的撓曲線（如圖3），圖中還列出了擬合值與式(15)計(jì)算的理論值的相對(duì)誤差。

圖3 跨中集中荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖3中可以看出本文方法擬合得到的撓度值與理論撓度值誤差很小，最大誤差為1.21667%，能滿足工程需要。

5.2 受3/4跨集中荷載

跨度l=50m的簡(jiǎn)支梁受3/4跨集中荷載作用，P=300 kN，EI=3.5×1010N·m2截面特性，如圖4所示：

圖4 簡(jiǎn)支梁受3/4跨集中荷載

根據(jù)理論計(jì)算，圖4所示結(jié)構(gòu)撓曲線和曲率表達(dá)式為：

由式(19)、(20)求得結(jié)構(gòu)的理論曲率值，然后根據(jù)LabVIEW編寫(xiě)的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結(jié)構(gòu)的撓曲線（如圖5），圖中還列出了擬合值與式(17)、(18)計(jì)算的理論值的相對(duì)誤差。

圖5 3/4跨集中荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖5中可以看出本文方法擬合得到的撓度值與理論撓度值誤差很小，最大誤差為1.372 7%，能滿足工程需要。

5.3 受均布荷載

跨度l=50m的簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，q=10 kN，截面特性EI=3.5×1010N·m2，如圖 6所示。

圖6 簡(jiǎn)支梁受均布荷載

根據(jù)理論計(jì)算，圖6所示結(jié)構(gòu)撓曲線和曲率表達(dá)式為：

由式（22）求得結(jié)構(gòu)的理論曲率值，然后根據(jù)LabVIEW編寫(xiě)的橋梁撓曲線擬合軟件擬合出結(jié)構(gòu)的撓曲線（如圖7），圖7中還列出了擬合值與式（21）計(jì)算的理論值的相對(duì)誤差。

圖7 均布荷載擬合撓曲線及與理論撓度值的比較

從圖7中可以看出當(dāng)所受荷載為均布荷載時(shí)，精度非常高，幾乎沒(méi)有誤差（如圖7），最大誤差僅為0.005 757%。我們知道，實(shí)際橋梁主要受車輛荷載，經(jīng)橋面板分配后，主要承受的就是均布荷載或三角荷載，這樣采用此方法來(lái)擬合橋梁撓曲線就具有更好的效果。

6 結(jié)論

目前已有的基于光纖Bragg光柵的各種傳感器基本上都是直接或間接地利用應(yīng)變或溫度改變光柵中心波長(zhǎng)，達(dá)到測(cè)試被測(cè)物理量的目的。FBG的測(cè)試基本物理量是應(yīng)變，無(wú)法直接測(cè)試撓度。而撓度又是橋梁健康狀態(tài)最直觀、有效的表現(xiàn)形式之一。本文基于該現(xiàn)象，采用最小二乘法由截面的平均曲率分跨擬合橋梁的撓曲線，達(dá)到由FBG測(cè)試橋梁撓曲線的目的。并通過(guò)使用LabVIEW軟件編制由曲率擬合撓曲線的專業(yè)程序，可以得到任意荷載作用、跨長(zhǎng)、支座沉降情況下的撓曲線方程。

通過(guò)簡(jiǎn)支梁受跨中集中荷載、3/4跨集中荷載以及均布荷載3種工況，用所編制的程序擬合得到的撓度值與理論撓度值進(jìn)行比較。比較發(fā)現(xiàn)用最小二乘法擬合橋梁撓曲線的方法具有很高的精度。比較3種結(jié)果，發(fā)現(xiàn)程序精度與荷載的作用方式有關(guān)，當(dāng)所受荷載為均布荷載時(shí)，精度非常高，幾乎沒(méi)有誤差（如圖7）。我們知道，實(shí)際橋梁主要受車輛荷載，經(jīng)橋面板分配后，主要承受的就是均布荷載或三角荷載，這樣采用此方法來(lái)擬合橋梁撓曲線就具有更好的效果，此方法用于實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)橋梁的撓度變化曲線是可行的。

[1]汪正興,王 波,鐘繼衛(wèi),朱世峰.基于液一氣耦合壓差原理的橋梁撓度測(cè)量系統(tǒng)研究[J].橋梁建設(shè),2009（S2）：78-83.

[2]胡伍生.水準(zhǔn)測(cè)量法觀測(cè)橋梁撓度的應(yīng)用 [J].華東公路,1996（2）：72-74.

[3]袁向榮.橋梁動(dòng)撓度計(jì)算的加速度積分方法[J].廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,6（1）：75-78.

[4]葉貴如,周玉龍.傾角儀在大跨度橋梁撓度檢測(cè)中的應(yīng)用[J].公路交通科技,2009,26（l1）：103-107.

[5]曾威,于德介,胡柏學(xué),劉克明,郭建文.基于連通管原理的橋梁撓度自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,34（7）：44-47.