解析“哥德巴赫猜想”方法綜述

申學(xué)勤 王若仲（王洪） 彭曉 譚謨玉 徐武方 王波 王江齡　劉鵬

【摘要】對(duì)于“哥德巴赫猜想”，通過我們研究團(tuán)隊(duì)共同討論，最終得出了解決“哥德巴赫猜想”的一種思路.其中主要是利用篩法公式Y(jié)=m（1-d1÷p1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其中di=1或2（i=1，2，3，…，t），m為任意給定的一個(gè)比較大的正整數(shù)（m≥3）；p1，p2，p3，…，pt均為不大于2m的全體奇素?cái)?shù)（pi

【關(guān)鍵詞】哥德巴赫猜想；奇素?cái)?shù)；奇合數(shù)；順篩；順軸；逆軸

德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫于1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任一不小于6的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和.“哥德巴赫猜想”歷史上的研究方法，比較有名的大致有下面四種：（1）篩法；（2）圓法；（3）密率法；（4）三角求和法.其中，篩法是求不超過自然數(shù)N（N>1）的所有素?cái)?shù)的一種方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，篩法的基本出發(fā)點(diǎn)，即加權(quán)篩法；圓法是三角和（指數(shù)和）估計(jì)方法；密率法（概率法）是函數(shù)估值法.“哥德巴赫猜想”至今沒有徹底解決.

思路綜述：

一、首先定義奇合數(shù)，定義順篩，定義順軸，定義逆軸

奇合數(shù)就是既是奇數(shù)又是合數(shù)的正整數(shù).例如，15，21，35，49等等這樣的一些奇數(shù)稱為奇合數(shù).

因?yàn)閷?duì)于任一比較大的正整數(shù)M，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于M的全體奇素?cái)?shù)（pi

順篩就是二千多年前的埃拉托斯特尼篩法.埃拉托斯特尼篩法可以用來尋找一定范圍內(nèi)的素?cái)?shù)（比如，m這個(gè)數(shù)，m這個(gè)數(shù)不是太大）.操作的程序是先將第一個(gè)數(shù)2留下，將它的倍數(shù)全部畫掉；再將剩余數(shù)中最小的3留下，將它的倍數(shù)全部畫掉；繼續(xù)將剩余數(shù)中最小的5留下，將它的倍數(shù)全部畫掉，……，如此直到?jīng)]有可畫的數(shù)為止.

順軸就是一條帶有箭頭符號(hào)且方向向右的數(shù)軸.逆軸就是一條帶有箭頭符號(hào)且方向向左的數(shù)軸.

二、對(duì)于任一比較大的偶數(shù)2m，利用順軸和逆軸構(gòu)建一個(gè)篩選數(shù)學(xué)模型

因?yàn)榕紨?shù)2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=…=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1，可以把偶數(shù)2m看成是由一條順軸與一條逆軸平行且呈軸對(duì)稱的一個(gè)平面圖形的數(shù)學(xué)模型.

比如，32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+13=21+11=23+9=25+7=27+5=29+3=31+1.

三、對(duì)于任一比較大的偶數(shù)2m，利用偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的篩選數(shù)學(xué)模型，怎樣進(jìn)行篩選

現(xiàn)在利用偶數(shù)32來說明這種數(shù)學(xué)模型的篩選思路：

對(duì)于偶數(shù)32，從“奇數(shù)+奇數(shù)”的情形來分析，把偶數(shù)32當(dāng)作16對(duì).

對(duì)于偶數(shù)32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+3=31+1.

第一步，在順軸上篩除3的奇數(shù)倍（3除外），因?yàn)楹Y除的情形針對(duì)的是成雙成對(duì)，所以在逆軸上對(duì)應(yīng)的奇數(shù)也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=5+27=7+25=11+21=13+19=17+15=19+13=23+9=25+7=29+3=31+1；

第二步，在逆軸上篩除3的奇數(shù)倍（3除外），同理在順軸上對(duì)應(yīng)的奇數(shù)也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=25+7=29+3=31+1；

第三步，在順軸上篩除5的奇數(shù)倍（5除外），同理在逆軸上對(duì)應(yīng)的奇數(shù)也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=29+3=31+1；

第四步，在逆軸上篩除5的奇數(shù)倍（5除外），同理在順軸上對(duì)應(yīng)的奇數(shù)也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=13+19=19+13=29+3=31+1；

最后，篩除1和31，可得32=3+29=13+19=19+13=29+3.

為什么在順軸上不再篩除7的奇數(shù)倍（7除外），11的奇數(shù)倍（11除外），13的奇數(shù)倍（13除外），17的奇數(shù)倍（17除外），19的奇數(shù)倍（19除外），23的奇數(shù)倍（23除外），29的奇數(shù)倍（29除外），31的奇數(shù)倍（31除外）呢？在逆軸上不再篩除7的奇數(shù)倍（7除外），11的奇數(shù)倍（11除外），13的奇數(shù)倍（13除外），17的奇數(shù)倍（17除外），19的奇數(shù)倍（19除外），23的奇數(shù)倍（23除外），29的奇數(shù)倍（29除外），31的奇數(shù)倍（31除外）呢？因?yàn)?2<7，所以利用奇素?cái)?shù)3和奇素?cái)?shù)5就能夠把32以內(nèi)“奇合數(shù)+奇合數(shù)=32”和“奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)=32”的情形全部篩除了.

四、對(duì)于任一比較大的偶數(shù)2m，怎樣利用偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的篩選數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行一般化的篩選.也就是歸納篩選的規(guī)律

對(duì)于正實(shí)數(shù)x，符號(hào)〔x〕記為不大于x的最大正整數(shù).

“哥德巴赫猜想”針對(duì)的是不小于6的全體偶數(shù)，問題是很大很大的偶數(shù)仍然可以表示為“奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)”嗎？在數(shù)學(xué)理論上通常是利用極限的情形來解決無窮的問題.所以，為了解決無窮大的情形，必須從極限這一根本點(diǎn)著手.在無窮多偶數(shù)中，只需設(shè)定某一相當(dāng)大的偶數(shù)滿足篩出的最大化（也就是篩出的極限情形），只要證明了極限的情形成立，其他情形顯然成立.

為了解決無窮的問題，假定有一個(gè)非常大的偶數(shù)2m，設(shè)奇素?cái)?shù)p1，p2，p3，…，pt均為不大于2m的全體奇素?cái)?shù)（pi

設(shè)集合A={1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}，也就是偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)集合A，又設(shè)集合A1={p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，…，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}；其中奇數(shù)（2m1-1）p1為該集合中的表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m2-1）p2為該集合中的表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2m3-1）p3為該集合中的表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，…，奇數(shù)（2mt-1-1）pt-1為該集合中的表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù)，奇數(shù)（2mt-1）pt為該集合中的表達(dá)形式下不大于奇數(shù)（2m-1）的最大奇數(shù).

根據(jù)偶數(shù)2m對(duì)應(yīng)的篩選數(shù)學(xué)模型，可得極限篩法公式

【參考文獻(xiàn)】

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