淺談函數(shù)圖像分析類問題的解題策略

雷瀟瀟

【摘要】近年來，函數(shù)圖像問題一直是高考經(jīng)久不衰的話題，而對于給定的復(fù)合函數(shù)的表達式，要判斷出它的圖像這類問題也逐漸成為高考的一個命題熱點.本文簡單談?wù)労瘮?shù)圖像分析類問題的解題策略.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)圖像；函數(shù)模型；奇偶性；特殊點

這類題目的考查一般是選擇題，給出一個復(fù)合函數(shù)（非基本初等函數(shù)）的表達式及4個待選圖像，要求能從待選圖像的上下、左右分布范圍、變化趨勢、奇偶性、特殊點等方面來分析它們的不同，進而選出正確答案.基本方法有：

一、函數(shù)模型的方法

觀察所給定的函數(shù)表達式是否可以由某一基本初等函數(shù)經(jīng)過平移變換、伸縮變換和對稱變換而得到.

二、定性分析的方法

在對函數(shù)表達式進行定性分析之前，首先求出定義域，再一一確定該函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、漸近線、對稱中心等.

三、定量分析的方法

通過定量的計算來分析該函數(shù)的值域、特殊點、極限點以及無窮遠處的取值或范圍.

解決一道題并不難，關(guān)鍵是要去挖掘更深一層的意義，總結(jié)方法，這樣才能有更大的收獲.下面以高考題為例，進一步闡明.

例1 （2012年新課標全國卷理10）已知函數(shù)f（x）=1ln（x+1）-x，則y=f（x）的圖像大致為（ ）.

A

B

C

D

分析 由y=f（x）的定義域為{x|x>-1且x≠0}，排除D；因為f′（x）=-1x+1-1[ln（x+1）-x]2=x（x+1）[ln（x+1）-x]2，所以當x∈（-1，0）時，f′（x）<0，y=f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故選擇B.

評注 該函數(shù)并不能直接由某一個基本初等函數(shù)經(jīng)過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在求得定義域之后，也可通過定量分析來比較答案，當x從-1的右方無限趨近于-1時，ln（x+1）無限趨于-∞，x無限趨于-1，所以ln（x+1）-x無限趨于-∞，從而當x從-1的右方無限趨近于-1時，f（x）從負的一邊無限趨于0，（f（x）<0，且f（x）趨于0）.同樣可知f（x）在0的兩側(cè)均趨于-∞.

例2 （2015年浙江卷文5）函數(shù)f（x）=x-1xcosx（-π≤x≤π且x≠0）的圖像可能為（ ）.

A

B

C

D

分析 由定義域關(guān)于原點對稱，并且f（-x）=-x+1xcosx=-x-1xcosx=-f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，所以可排除A、B選項；取x=π，則f（π）=π-1πcosπ=-π-1π<0，故選D.

評注 該函數(shù)并不能直接由某一個基本初等函數(shù)經(jīng)過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在定性分析中，我們也可以得這樣的結(jié)果，當x趨于0時，x-1x趨于-∞，cos0=1，故此時f（x）<0且趨于-∞，也可選出答案.所以，在做題中觀察答案的異同更能找到突破口，再選擇更簡便的方法.

例3 （2011年山東卷理9）函數(shù)y=x2-2sinx的圖像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故排除A選項；令f（x）=x2-2sinx，則f′（x）=12-2cosx，所以該函數(shù)的單調(diào)性不斷變化且呈周期性變化，故排除B；當x>2π時，x2>π，2sinx≤2，即當x>2π時，恒有f（x）>0，故選擇C.

評注 該函數(shù)并不能直接由某一個基本初等函數(shù)經(jīng)過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.對于含有三角函數(shù)的式子，對其求導(dǎo)并發(fā)現(xiàn)它的單調(diào)區(qū)間是呈周期性變化的，并注意到正余弦函數(shù)的有界性也是解題的關(guān)鍵.

例4 （2013年四川卷理7）函數(shù)y=x33x-1的圖像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 由函數(shù)解析式可得，該函數(shù)定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故排除A；當x<0時，x3<0，3x-1<0，故此時y>0，故排除B；當x趨于+∞時，3x-1遠遠大于x3的值且都為正，故x33x-1趨于0且大于0，排除D，故選C.

評注 該函數(shù)并不能直接由某一個基本初等函數(shù)經(jīng)過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在分析x<0的部分時，也可定量選取當x=-1時，相應(yīng)的函數(shù)值y=（-1）33-1-1=32>0來排除B選項.

例5 （2016年新課標全國卷理7）函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2，2]的圖像大致為（ ）.

A

B

C

D

分析 函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函數(shù)，令f（x）=2x2-e|x|，當x∈[0，2]時，f′（x）=4x-ex，f′14·f′（1）=（1-e14）（4-e）<0，因此，在14，1內(nèi)存在一點x0使f（x）的導(dǎo)數(shù)值為零，且x0是極小值點，由此排除A、C選項；取x=2，f（2）=8-e2，0<8-e2<1，所以排除B選項，故選D.

評注 該函數(shù)并不能直接由某一個基本初等函數(shù)經(jīng)過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.由四個選項來看，圖像均關(guān)于y軸對稱，不同之處在于相同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和x=±2時函數(shù)值與1的大小關(guān)系，所以從這兩方面去分析便可選出正確答案.