例談點(diǎn)亮解題教學(xué)的三個(gè)原則

江蘇省南京市第二十九初級(jí)中學(xué) 陳 靜

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)解題為學(xué)生提供了一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)思想方法的平臺(tái)，因此，加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練尤為重要。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)就是把數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授當(dāng)成一個(gè)載體， 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀題，解題和反思。筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)中碰到的幾個(gè)問(wèn)題談?wù)匋c(diǎn)亮解題教學(xué)的三個(gè)原則。

一、要把學(xué)生的好奇心放在第一位，學(xué)生的問(wèn)題是教師進(jìn)行學(xué)習(xí)指導(dǎo)的重要窗口

在解題教學(xué)的過(guò)程中，許多教師熱衷于追求課堂的高密度與快節(jié)奏，常常包辦代替學(xué)生的思維，卻忽略了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的好奇心。長(zhǎng)此以往，形成解題教學(xué)只是教師教、學(xué)生學(xué)的尷尬局面，學(xué)生因此失去了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

例1：如圖，A C=4，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)C且與AC的夾角為60°，則直線l上有點(diǎn)P，使得∠APB＝30°，則PC的長(zhǎng)為4 或 2.

分析：先找出點(diǎn)P 的位置.由于點(diǎn)P滿足∠APB＝30°，學(xué)生很容易根據(jù)之前的一些畫圖經(jīng)驗(yàn)想到構(gòu)造圓周角∠APB，這樣需要先構(gòu)造圓心角∠AOB＝60°，

如圖1，以AB為邊長(zhǎng)構(gòu)造等邊△AOB，再以點(diǎn)O 為圓心，OA為半徑畫圓，與直線l交 于 點(diǎn)P1、P2， 則∠AP1B=∠AP2B=∠AOB.下面怎么求P1C和P2C呢？

教學(xué)中，有學(xué)生說(shuō)出了自己的思路：連接P1O，立刻發(fā)現(xiàn)△AP1C的兩個(gè)內(nèi)角都是60，于是△AP1C是等邊三角形，P1C=AC=4，則∠OP1P2＝60°，結(jié)合

OP1=OP2得到△OP1P2也是等邊三角形，所以P1P2＝2，P2C =2.

這里面存在一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，連接P1O后，怎么保證P1、O、A三點(diǎn)共線？如果這一點(diǎn)沒(méi)法保證，那后面的證明全都無(wú)效了！這引起了學(xué)生極大的好奇心，多數(shù)學(xué)生沒(méi)想到自己以為的三角形竟有可能是一個(gè)四邊形.于是，全班一起研究怎么證明P1、O、A三點(diǎn)共線.有學(xué)生嘗試?yán)萌呛瘮?shù)的知識(shí)解決，有學(xué)生嘗試用面積法解決，卻總是犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩種解題思路，均可以繞開(kāi)證明P1、O、A三點(diǎn)共線而解決問(wèn)題.

思路1：如圖2，連接P1O、P2O、CO，由OA=OB=OC，得∠AOB=∠OBA=60°，再 由 O B=O C得∠BOC=30°，于是∠AOC=90°，由sin可推出∠OCB=30°，進(jìn)而∠OCP1=30°. 過(guò)點(diǎn)O作OH⊥直線l，則在△OHC中，可求出在△OH P1中，算出HP1=1，最后得到P1C= 4，P1P2＝2，所以P2C =2.

思路2：如圖3，連接P1O.分別過(guò)點(diǎn)O、B作OH⊥直線l，BM⊥直線l，易得矩形OBMH.在△B M C中，易算出則在△ O H P1中 ， 由，得∠OP1C= 60°.在△OHP1和△BMC中，可分別算出HP1=1，MC=1，又MH=OB=2，所以P1C=4.

事實(shí)上，借著這個(gè)思路還可以解決P1、O、A三點(diǎn)共線的問(wèn)題：延長(zhǎng)P1O交線段AC于點(diǎn)A1，則由OB∥P1C得∠BOA1=60°，而∠BOA=60°，因此點(diǎn)A與A1重合。

只有及時(shí)準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維問(wèn)題，才能更有效地進(jìn)行解題教學(xué)，提高學(xué)生的思維水平。 讓學(xué)生帶著疑問(wèn)并懷有一顆好奇心是讓學(xué)生更為親近老師的一種魔力，它超脫了所有的教學(xué)技術(shù)。學(xué)生們的疑問(wèn)是教師手中最強(qiáng)大的武器。我們?nèi)绻心懥咳ヒ饘W(xué)生的疑問(wèn)，讓他們感到困惑，喚起他們真正的思考，并且從他們的問(wèn)題里，老師可以得到很多信息，來(lái)幫助做些調(diào)整教學(xué)，采用多樣化的教學(xué)方法。

二、數(shù)學(xué)解題要勇于面對(duì)各種冗雜，數(shù)學(xué)思維向來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)有似是而非

在解題教學(xué)的過(guò)程中，面對(duì)較為復(fù)雜的解題過(guò)程時(shí)，教師本身要做好解題示范，思考問(wèn)題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，書(shū)面表達(dá)時(shí)也要正確規(guī)范.

例2：如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)

（1）用直尺和圓規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求（1）中所作⊙O的半徑.

解答：（1）如圖5. ⊙O即為所求.

如圖6，連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r.可得OA＝OE＝r.

∴OF＝EF－OE＝2－r.

∴在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2.∴r2＝12＋(2－r)2.

如果是這樣答題，本題的第二問(wèn)的6分只能得到3分，因?yàn)楹雎粤艘粋€(gè)重要的事實(shí)：線段AB的垂直平分線為什么恰好交CD于點(diǎn)E？這樣思維是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹？梢圆捎猛环ㄗC明AB的垂直平分線與CD的交點(diǎn)與點(diǎn)E恰好是同一個(gè)點(diǎn)。

具體將前面的解題過(guò)程修正如下：

如圖7，在（1）中設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E'.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠FAD＝∠D＝90.

∴四邊形AFE'D是矩形.

∴E'F＝AD＝2，DE'＝AF＝1.

∴點(diǎn)E'與點(diǎn)E重合.

在與學(xué)生的交流中，有學(xué)生提到在解題時(shí)，他們其實(shí)已經(jīng)感覺(jué)到過(guò)程有點(diǎn)問(wèn)題了，但覺(jué)得證明起來(lái)太過(guò)繁瑣，于是就默認(rèn)AB的垂直平分線恰好交CD于點(diǎn)E。事實(shí)上，學(xué)習(xí)本身就是一種艱苦復(fù)雜的勞動(dòng)，需要有積極的態(tài)度、強(qiáng)烈的動(dòng)機(jī)和濃厚的興趣才能有好的效果.尤其是數(shù)學(xué)這門學(xué)科，更是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的重要載體，必須用科學(xué)的態(tài)度面對(duì)，沒(méi)有似是而非.

三、數(shù)學(xué)解題需要注重實(shí)踐，更需要注重反思

在解題教學(xué)的過(guò)程中，常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生做完題目后沒(méi)有反思的習(xí)慣，更沒(méi)有自我監(jiān)控和總結(jié)的意識(shí)。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，要多注意這方面能力的培養(yǎng)。在解題反思的過(guò)程中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)自己思維的不足，解題方法的優(yōu)化，還可以總結(jié)出一般性的結(jié)論，這是十分難得的思維品質(zhì)。

解題教學(xué)，最終是為了教會(huì)學(xué)生“思維”。如果通過(guò)解題教學(xué)，真的能夠激發(fā)出學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴求和好奇心，培養(yǎng)起學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣、規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)，解題后自我反思、總結(jié)和提升，一定可以發(fā)展學(xué)生較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這才是我們數(shù)學(xué)教師追求的解題教學(xué)的真諦。