淺談函數(shù)“恒成立問題”與“最值問題”的等價(jià)轉(zhuǎn)化

福建省連城一中 張濤生

縱觀近10年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)壓軸題，基本體現(xiàn)以下三個(gè)方面的基本關(guān)系。

（一）各類不等式與函數(shù)最值的關(guān)系，如下表。

不等式類型 與最值的關(guān)系

?

（二）函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間D的x1、x2，都有恒成立，

3、已知f(x)對(duì)總存在對(duì)于使得設(shè)f(x)在區(qū)間D1上的值域?yàn)锳，g(x)在D2上的值域?yàn)锽，則A?B.

主要有以下三方面的題型。

一、與三角形構(gòu)建有關(guān)的“恒成立問題”

例1，已知若 在區(qū)間[0，2]上任取三個(gè)數(shù)a、b、c，均存在著f(a)、f(b)、f(c)為邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：

[命題意圖]：把“三角形存在性問題”轉(zhuǎn)化任意的兩邊之和大于第三邊，轉(zhuǎn)化為兩條最小邊之和大于最大邊。

二、與不等式有關(guān)的“恒成立問題”

例2，已知函數(shù)（x）+g（x）.若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整數(shù)m的最小值；

解：令

當(dāng)m≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，

又因?yàn)镚

所以關(guān)于x的不等式G（x）≤mx-1不能恒成立.

當(dāng)m＞0時(shí).

令G′所以當(dāng)時(shí)，G′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，G′（x）＜0.

因此函數(shù)G（x）在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)G（x）最大值為.

令h （m）=因?yàn)閔（1）h（2）

又因?yàn)閔（m）在m∈（0，+∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)m≥2時(shí)，h（m）＜0.

所以整數(shù)m的最小值為2.

[解題思路]：利用計(jì)算函數(shù)在區(qū)間D的最大值和最小值解決函數(shù)的恒成立問題。

例3，如果函數(shù)滿足對(duì)任意的都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？

三、與等式有關(guān)的“恒成立問題”

例4，已知

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)任意的總存在使求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：設(shè)在區(qū)間[1,e]上f(x)的值域?yàn)锳，在[0,3]上g(x)的值域?yàn)锽，

則依題意A?B易知g(x)在[0,1]上遞增，在[1,3]上遞減，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，A = [1 - ae,- a]

③當(dāng)時(shí)，f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，可得

④當(dāng)時(shí)，f(x)在[1,e]上

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

以上這些例題中，本質(zhì)問題就是構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大（小）值，進(jìn)而研究函數(shù)在區(qū)間D上的最值，通過求導(dǎo)，得出極值點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出函數(shù)的最大（?。┲?，確定參數(shù)的取值范圍，這是這類問題的基本解題思想。